Решение задач математической физики на Mathcad: практикум для вузов. Часть 1

44 Pages·2014·2.884 MB·Russian

by  Лебедев М.О.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Балтийский государственный технический университет "Военмех"

М.О. ЛЕБЕДЕВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ НА
MATHCAD

Часть 1

Практикум

Санкт-Петербург
2014
УДК 517.958:004.42(076)
Л34

Лебедев, М.О.
Л34 Решение задач математической физики на Mathcad. Ч.1.: практикум / М.О. Лебедев;
Балт. гос. техн. ун-т. – СПб., 2014. – 70 с.
ISBN 978-5-85546-812-0

Рассмотрены методы решения средствами Mathcad обыкновенных дифференциальных уравнений как с
начальными (задача Коши), так и с граничными условиями простейших задач математической физики. При-
ведены примеры решения и задания.
Предназначен для студентов (бакалавров и магистров), обучающихся по направлениям (15.03.03 и
15.04.03) «Прикладная механика» и специальностям «Динамика и прочность машин», «Вычислительная ме-
ханика и компьютерный инжиниринг», «Триботехника».
УДК 517.958:004.42(076)
Рецензенты: канд. техн. наук, проф., зав. каф. «Информационные системы и технологии»
СПбЛТУ А.М.Заяц; канд. техн. наук, проф. БГТУ Л.П. Юнаков

Утверждено
редакционно-издательским
советом университета

 М.О. Лебедев, 2014
ISBN 978-5-85546-812-0  БГТУ, 2014

ВВЕДЕНИЕ

Основными математическими средствами исследования задач математической физики служат
теория дифференциальных уравнений, приближенные методы и вычислительная математика. Раз-
витие компьютерной техники и информационных технологий привело к появлению специализи-
рованных матема-тических пакетов таких, как Mathcad, Maple, Mathlab и др. Эти пакеты позволя-
ют получать численное решение за счет как встроенных функций, предназначенных для решения
задач определенного вида, так и возможности "ручного программирования" хода решения. При
этом процесс программирования решения задачи мало отличается от естественного описания эта-
пов численного решения задачи на бумаге
В данном практикуме рассматриваются численные методы решения дифференциальных урав-
нений (систем дифференциальных уравнений), в том числе и уравнений математической физики, в
среде пакета Mathcad.

ЗНАКОМСТВО С MATHCAD

Белая область, занимающая большую часть главного окна Mathcad (рис. 1)  это рабочий лист
документа Mathcad.

Рис. 1. Вид главного окна Mathcad
Новый документ создается автоматически при запуске программы. Инструментальные панели
содержат командные кнопки. Сами панели могут располагаться как на рабочем листе документа
(рабочие панели Programming, Calculator и Greek), так и в верхней (заголовочной) части окна про-
граммы (на рис. 1 часть таких панелей выделена жирной рамкой). Командные кнопки служат для
выполнения конкретных команд Mathcad. Альтернативой командным кнопкам являются горячие
клавиши – комбинации одновременно нажимаемых клавиш на клавиатуре. Назначение основных
2
панелей, порядок работы с ними, описание горячих клавиш достаточно полно описаны в литера-
туре (см., например, [1–3]).
На рабочем листе документа записываются выражения, которые последовательно вычисляют-
ся. Выражения могут включать числовые константы, переменные и функции. В Mathcad есть
большое количество встроенных функций (часть их видна на панели Calculator), но пользователь
может определить (создать) собственные функции, необходимые для решения конкретной задачи.
Имена переменных и функций в Mathcad могут включать произвольное количество символов ла-
тинского или греческого алфавита и цифр. Но начинаться могут только с символа (не с цифры).
Кроме того, могут быть использованы символы подчеркивания "_", процента "%" и апострофа,
вводимого горячими клавишами Ctrl+F71. Имена переменных (функций) регистрозависимы, это
значит, что Mathcad различает прописные и строчные символы. Так, переменные N и n – это две
разных переменных. Видимость объявленных (определенных) пользователем переменных и функ-
ций подчиняется правилу "слева-направо, сверху-вниз". То есть переменная (функция) может быть
использована в выражении, если она расположена левее и выше самого выражения. Чтобы опре-
делить переменную, необходимо в рабочей области ввести (напечатать) идентификатор этой пе-
ременной и присвоить ей какое-либо значение. Например, чтобы определить переменную y, при-
своив ей начальное значение "1", необходимо нажать клавишу с символом y (ввод имени
переменной), после чего ввести оператор присвоения. Оператор присвоения может быть введен
или щелчком на кнопке (на рис. 2 кнопка выделена рамкой), или горячими клавишами Shift+:. В
результате в рабочей области получим .

Рис. 2. Кнопка оператора присвоения

Справа от оператора присвоения ":=" вводим значение переменной, например, "1". Таким обра-
зом, определяем переменную y, имеющую начальное значение "1": .
Все используемые в Mathcad переменные должны быть определены. Новые переменные могут
быть определены с помощью выражений, в которых используются ранее введенные переменные.
Если в выражении есть не определенная ранее переменная (в данном примере а), она выделяется
красным цветом2: .
Функции в отличие от переменных нельзя присвоить какое-либо значение. Значение функции
зависит от значений ее параметров. Чтобы определить функцию следует:
1) ввести имя функции (так же, как имя переменной);
2) после имени функции в круглых скобках через запятую указать список ее параметров; пара-
метрами могут быть любые, в том числе и ранее не определенные переменные;
3) после списка параметров вставить оператор присваивания;
4) справа от оператора присваивания ввести выражение, в котором используются параметры
функции, а также ранее определенные переменные. Например, определение функции z, имеющей
два параметра (x и y) и использующей переменную а:
Чтобы увидеть значение функции, которое она принимает для конкретных значений ее пара-
метров, нужно ввести имя функции, в круглых скобках указать значения параметров или перемен-
ные, которым ранее были присвоены значения, после чего ввести оператор Вычислить. Оператор

1 Все горячие клавиши – клавиатурные комбинации – будут выделены жирным шрифтом, разделенные знаком "+". Это
значит – нажать клавишу, указанную в комбинации первой, и, не отпуская ее, нажать вторую клавишу.
2 См. эл. версию.
3
Вычислить может быть введен или щелчком на кнопке (на рис. 3 кнопка выделена рамкой) или
клавишей =. В результате получим .

Рис. 3. Кнопка оператора "Вычислить"

Обратите внимание, в первом случае в качестве значений параметров x и y в функцию были пе-
реданы значения "1" и "2" соответственно. И функция вычислила значение 1.5213. Во втором
a yx
случае в качестве параметров были переданы значения ранее определенных переменных x и y ("2"
и "1" соответственно), и функция вычислила значение 1.5121.5.
a yx
Кроме вычисляемых выражений, в рабочий документ Mathcad можно вводить текстовые ком-
ментарии. Чтобы начать их ввод, необходимо нажать на " (кавычки), после чего появится область,
в которую можно ввести комментарий. Например,
.
Комментарии не влияют на ход вычислений и используются для облегчения понимания алго-
ритма вычислений.

Работа № 1. ВВЕДЕНИЕ В MATHCAD

Основная цель работы – получить навыки работы с документом Mathcad. Работа состоит в оп-
ределении простых переменных и функций и использовании их в последующих математических
выражениях и графиках.
Пример.
1. Определим произведение двух величин cab.
Определяем переменную a, присваивая ей начальное значение.
Слева в скобках приведена последовательность нажатия клавиш, справа – результат в докумен-
те Mathcad. Горячие клавиши (клавиатурные комбинации) выделены жирным шрифтом.
(a, Shift+:, 1, 0)→a := 10
Оператор ":=" означает "присвоить". То есть это выражение означает: "переменной a присвоить
значение 10".
Определяем переменную b:
(b, Shift+:, 2)→b := 2
Определяем переменную c как произведение ab:
(c, Shift+:, a, *, b)→c := a∙b
Чтобы просмотреть значение, которое имеет переменная, используем оператор "равно" ("=").
Проверяем значение c:
(c, =)→c = 20
Фрагмент документа Mathcad с этим кодом:

4
Переменная с подчеркнута волнистой линией зеленого цвета, так как введенная нами перемен-
ная с переопределяет встроенную переменную Mathcad (скорость света). В Mathcad подчеркива-
ние зеленой волнистой линией всегда означает, что происходит переопределение ранее опреде-
ленной переменной (функции и т.д.).
2.Определим функцию одной переменной t: f(t)etsin(2t).
(f, (, t,) , Shift+:, e, Shift+^, t, 3, ,*, sin, 2,*, π,*, t) →
→ f(t):= et∙sin(2∙π∙t)
Подчеркнутые символы (sin и π) не вводились вручную, а выбирались щелчком левой кнопки
мыши на панелях Calculator и Greek соответственно (рис. 4).

Рис. 4. Выбор функции и переменной на инструментальных панелях

Функцию синуса можно ввести вручную. В этом случае потребовалась следующая последова-
тельность символов:

(s, i, n, (, 2, *, π, *, t, ))→ sin(2∙π∙t)
Выбор функции щелчком на панели сразу помещает все необходимые символы в теку-
щую позицию курсора.
Определяем значение нашей функции в точках: t=0, t=0.25, t=1.25
(f, (, 0, ), =)→ f(0) = 0
(f, (, 0, ., 2, 5, ), =)→ f(0.25) = 1.284
(f, (, 1, ., 2, 5, ), =)→ f(1.25) = 3.49

Фрагмент документа Mathcad с этим кодом:

3.Строим график определенной функции на интервале от 0 до 5.

3 Нажатие пробела изменяет область (положение) курсора ввода. Два пробела подряд в данном случае "опускают" кур-
сор ввода с уровня показателя степени до уровня переменной.
5
Для этого в свободное место документа, ниже определения функции, делаем щелчок левой
кнопкой мыши (устанавливаем курсор ввода). Затем на панели инструментов Graph щелкаем на
кнопке для создания графика (рис. 5).

Рис. 5. Кнопка для построения графика

Вместо щелчка по кнопке на панели Graph можно нажать горячие клавиши Shift+@. В резуль-
тате в документе Mathcad появится заготовка для графика (рис. 6).

Рис. 6. Заготовка для построения графика функции
одной переменной

Под осью абсцисс указываем переменную функции (в данном случае t) и диапазон изменения
переменной (соответственно 0 и 5). Слева от оси ординат вводим функцию, график которой стро-
им (рис. 7).

Рис. 7. Ввод параметров для построения графика функции

Чтобы была видна сетка, нужно на графике щелкнуть правой кнопкой мыши и в открывшемся
меню выбрать пункт Format. В открывшемся окне поставить "галочки" в позициях (включить)
Grid lines для обеих осей. Цвет линий сетки можно выбрать щелчком левой кнопки мыши на боксе
справа от переключателей Grid lines (рис. 8).
6
Рис. 8. Отображение сетки на графике

4. Определим функцию двух (и более) переменных. Процедура аналогична определению функ-
ции одной переменной. Определим функцию g(u,v)euvsin(u)cos(v).
(g, (,u, v,), Shift+:, e, Shift+^, u,+, v, , ,*, sin, (,u, ), *, cos, (,v,))→ → g(u,v) := eu+v∙sin(u)∙cos(v)
Определение значений функции нескольких переменных в выбранных точках и функции одной
переменной полностью аналогично. Вычислим значение этой функции в точках u=0.5, v=0.5 и
u=0.1, v=1.5:
(g, (, 0, ., 5, ,, 0, ., 5, ), =)→ g(0.5,0.5) = 1.144
Фрагмент документа Mathcad с этим кодом:

В качестве аргументов функций могут использоваться не только константы, но и ранее опреде-
ленные переменные. Сами функции могут применяться в различных математических выражениях
Mathcad. Например, значение квадратного корня этой функции в точке u=0.5, v=0.5
(√, g, (, 0, ., 5, ,, 0, ., 5, ), =)→ √g(0.5,0.5) = 1.069 или .
Знак операции извлечения квадратного корня был вставлен щелчком на соответствующей
кнопки панели инструментов Calculator. Вместо выбора с панели инструментов операция извле-
чения квадратного корня могла быть добавлена в документ с помощью клавиши "\" (обратный
слеш).
Построим график функции g(u,v) как функции от u при различных значениях переменной v. В
свободном месте документа создаем заготовку для графика. Под осью абсцисс указываем пере-
менную функции (в данном случае u) и диапазон изменения переменной (соответственно 0 и 3).
Слева от оси ординат вводим функцию g(u,0) (v=0), затем запятую ",". При этом добавляется еще
одна строка слева от оси ординат (рис. 9). В появившейся строке вводим (g, (, u, 1, )). В итоге по-
лучаем график (рис. 10).

7
Рис. 9. Построение нескольких одно- Рис. 10. Графики функции двух пере-
мерных графиков функции менных при различных значениях
двух переменных аргумента v

5. Графически решим нелинейное уравнение 2xx23xsin(x)2x50. Чтобы найти его ре-
шение, определим функцию F(x)2xx23xsin(x)2x5, построим ее график и определим, в
какой точке этот график пересекает ось абсцисс (т. е. выполняется условие F(x)=0). Порядок опре-
деления функции и построения графика только что рассмотрели. На рис. 11 приведен фрагмент
документа Mathcad с необходимым кодом.

Рис. 10. Графическое решение нелинейного уравнения
Практические задания к работе № 1
a3
1.Определить значения выражения  при
4 ab
a = 0.125; 0.5; 1.25 и b = –0.1; 0.1; 2.
2.Построить график функции f(x)x2ex2 .
3.Решить графически систему уравнений:
xy2,

2x3y0.

b
4.Дано выражение a . Параметр a может принимать значения: 1, 1.5, 2, параметр b:
1.1sin(x)
 
–1, 0.5; x, . При каких a , b и x выражение получает максимальное и минимальное значение?

Работа №2. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основная цель работы – получить навыки использования функций Mathcad, предназначенных
для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (дифференциальных уравнений,
содержащих функции одной переменной).

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка

dy
Пусть задано дифференциальное уравнение (ДУ) 1-го порядка y0 и начальное условие
dx
y(0)1. Данное уравнение имеет решение y(x)ex. Это решение будем использовать для про-
верки численного решения, которое получим с помощью Mathcad.
8
Для численного решения ДУ, которые могут быть разрешены относительно старшей производ-
ной можно использовать функцию OdeSolve (имя этой функции не чувствительно к регистру, т. е.
его можно набирать в документе Mathcad OdeSolve, или Odesolve, или odesolve и т.д.). Пример ис-
пользования функции OdeSolve для решения заданного уравнения:

Ключевое слово Given набирается вручную на клавиатуре. При записи дифференциального
d
уравнения для ввода производной необходимо использовать клавишу ? или кнопку с панели
dx
Calculus. При этом в документе Mathcad появляется шаблон для записи производной (рис. 12).
В "знаменатель" записываем аргумент x, а справа от оператора диф-
ференцирования функцию y(x) (см. также пример). Обратите внимание
на знак "=" ("жирное равно") – булево равенство. Чтобы его поставить,
нужно нажать клавиатурную комбинацию Ctrl+= или выбрать его на па-
нели инструментов Boolean. Оператор yOdesolve(x2) выполняет чис-
ленное решение ДУ. Между ключевым словом Given и оператором ре-
Рис. 12. Выбор операции шения записывается само дифференциальное уравнение и начальное
дифференцирования условие. Фактически оператор y:=Odesolve(x,2) является определением
функции y от аргумента x. Чтобы увидеть значение функции y в какой-
либо точке, необходимо в документе Mathcad ниже и/или левее оператора y:=Odesolve(x,2) на-
брать (например, нас интересует значения в точках 0, 0.5, 1):
(y, (, 0, ), =)→ y(0) = 1
(y, (, 0, ., 5, ), =)→ y(0.5) = 0.607
(y, (, 1, ), =)→ y(1) = 0.368
Можно построить график функции y(x). В одной системе координат построим график найден-
ной функции y(x) и точного решения. Для этого определим в Mathcad еще одну функции
f(x)ex. На рис. 13 показано определение функции f(x) и графики точного решения и найденно-
го.

Рис. 13. Графики точного решения f(x) и найденного численного решения y(x)

Решение дифференциального уравнения 2-го порядка

d2u du
Пусть задано ДУ 2-го порядка и его граничные условия:  u0,u(0)1,u()0. Данное
dx2 dx
ДУ также разрешимо относительно своей старшей производной, для этого можно использовать
функцию Odesolve. Фрагмент кода Mathcad для решения заданного уравнения:

9
Для ввода производной порядка ше первого необходимо ис-
пользовать горячие клавиши Ctrl+? (чтобы ввести знак "?", фак-
тически всегда необходимо нажимать клавишу Shift, поэтому фак-
тическая комбинация горячих клавиш будет Ctrl+Shift+?) или
dn
кнопку с панели Calculus (рис. 14).
dxn
В знакоместа появившегося шабло- на записываем соответст-
Рис. 14. Выбор операции
вующие значения (см. фрагмент). Гра- ничные условия задаем так-
"производная n-го порядка"
же с логическим (булевым) равенст- вом. Точным решением этого
x  3   3   3 
ДУ будет u(x)e2cos xC sin x, где C ctg .
  2  2  2  2  2 
      
На рис. 15 приведены графики точного w(x) и численного u(x) решений.

Рис. 15. Точное w(x) и численное u(x) решения ДУ второго порядка

Дифференциальное уравнение не обязано быть линейным (оно должно быть разрешимо отно-
d2w
сительно старшей производной). Пусть задано уравнение вида w2sin(x),w(0)1,w()0.
dx2
Решение этого уравнения в Mathcad приведено на рис. 16.

Рис. 16. Решение нелинейного ДУ с помощью функции OdeSolve

Дифференциальное уравнение может содержать параметры. В этом случае при использовании
функции OdeSolve в качестве результата получаем "функцию функций" – фактически множество
функций от переменной интегрирования для каждого значения параметра. Рассмотрим 1-й при-
dy
мер, когда ДУ имеет вид ky0, y(0)1. Здесь k – некоторый параметр (его числовое значение
dx
может меняться). Решение задачи показано на рис. 17. Параметр может входить не только в само
уравнение, но и в граничные условия, как например на рис. 18.
10