Table Of ContentKazimierz Cegiełka
Jerzy Przyjemski
Karol Szymański
MATEMATYKA
Podręcznik
dla liceum ogólnokształcącego
i technikum
Klasa IV i V
Wydanie drugie
nu
Warszawa 1990
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Projekt okładki i karty tytułowej
Andrzej Łubniewski
Redaktor
Wojciech Jędrychowski
Redaktor techniczny
Agnieszka Ziemkiewicz
Korektorzy
Maria Grzęda i Ewa Mingin
Podręcznik zatwierdzony do użytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej.
Opracowany na podstawie programu nauczania matematyki Nr. OP23-4120-27/84
z dnia 31 lipca 1984 r.
Przeznaczony dla wszystkich profili klasy IV liceum ogólnokształcącego oraz dla klas
IV—V liceum zawodowego i technikum.
ISBN 83-02-04184-X
i.
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Warszawa 1989
WYDAWNICTWA SZKOLNE I PEDAGOGICZNE
WARSZAWA 1990
Wydanie drugie. Nakład 99 820 + 180 egz.
Arkuszy w>d. 17,81, arkuszy druk. 20,5
Papier offsetowy ki. III, 70 g, rola 84 cm
Oddano do składania 11.01.1990 r.
Podpisano do druku w marcu 1990 r.
Druk ukończono w maju 1990 r.
Zam. 5743/5I2/k. MEN „15"
ŁÓDZKA DRUKARNIA OŚWIATOWA
Łódź, ul. Kominiarska 1
SPIS TREŚCI
Rozdział I
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZE STATYSTYKĄ .... 6
§ 1. Zdarzenia i ich częstości 6
1.1. Stabilność częstości . 6
Zadania
1.2. Zbiór zdarzeń elementarnych < • 13
Zadania ' 14
1.3. Algebra zdarzeń 15
Zadania 18
§ 2. Pojęcie prawdopodobieństwa 19
2.1. Własności częstości 19
Zadania 22
2.2. Określenie prawdopodobieństwa 23
Zadania 27
2.3. Własności prawdopodobieństwa 29
Zadania 35
2.4. Określanie prawdopodobieństw za pomocą drzewa 36
Zadania 49
2.5. Prawdopodobieństwo warunkowe 52
Zadania 59
§ 3. Niezależność zdarzeń 60
3.1. Niezależność pary zdarzeń 60
Zadania 63
3.2. Niezależność-trójki zdarzeń 64
Zadania 67
§ 4. Schemat Bernoulliego 67
Zadania 79
§ 5. Zmienna losowa i jej zastosowania 82
5.1. Zmienna losowa.. 82
Zadania -85
5.2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej 86
Zadania ' 97
3
Rozdział II
ZASTOSOWANIA RACHUNKU POCHODNYCH 102
§ 6. Pochodna funkcji złożonej 102
6.1. Pojęcie funkcji złożonej 102
Zadania • 109
6.2. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej 111
Zadania >. 115
§ 7. Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku wymiernym 116
Zadania 121
§ 8. Zastosowanie rachunku pochodnych do badania funkcji 122
8.1. Podstawowe własności funkcji 122
Zadania 128
8.2. Granice w nieskończoności 130
Zadania 144
8.3. Granice jednostronne 146
Zadania • 161
8.4. Szkicowanie wykresów funkcji " 163
Zadania 168
§ 9. Funkcja pierwotna 170
Zadania 178
Rozdział III
OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ 180
§ 10. Objętość i pole powierzchni graniastosłupa 180 7
Zadania 192
§ 11. Objętość i pole powierzchni ostrosłupa 194
Zadania 204
§ 12. Objętość i pole powierzchni walca 206
Zadania 214
§ 13. Objętość i pole powierzchni stożka 214
Zadania 218
§ 14. Objętość kuli i pole sfery 220
Zadania 225
Rozdział IV
TEORIE AKSJOMATYCZNE 227
§ 15. Logika matematyczna 227
15.1. Rachunek zdań 227
Zadania 231
15.2. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory 231
Zadania 239
§ 16. Twierdzenia i ich dowody T 241
Zadania 248
§ 17. Teoria grup ' 249
Zadania 255
4
§ 18. Aksjomaty Peano liczb naturalnych 257
Zadania 259
§ 19. Geometria euklidesowa i nieeuklidesowa " 259
Zadania i 267
Rozdział V
ZADANIA POWTÓRZENIOWE 268
Odpowiedzi do zadań . . 281
Skorowidz rzeczowy 325
Rozdział /
RACHUNEK
PR A WDOPODOB/EŃSTWA
ZE STATYSTYKĄ
§ 1. Zdarzenia i ich częstości
1.1. Stabilność częstości
Z elementami rachunku prawdopodobieństwa mieliśmy do czynienia
w starszych klasach szkoły podstawowej. Przypomnimy teraz podsta-
wowe pojęcia, wprowadzimy nowe, a następnie pokażemy niektóre ich
zastosowania przy rozwiązywaniu zadań o treści statystycznej.
W życiu codziennym spotykamy się z różnymi zjawiskami. Pewne
z nich są ściśle zdeterminowane. I tak np., jeżeli przez s oznaczymy dłu-
gość drogi przebytej przez swobodnie spadające ciało w czasie t to dłu-
y
gość ta wyraża się wzorem s — gdzie g oznacza przyspieszenie
grawitacyjne. Można więc w każdej chwili obliczyć długość drogi prze-
bytej przez swobodnie spadające ciało znając czas jego spadania.
W niektórych zjawiskach nie można z góry przewidzieć wyniku ich
zakończenia. Należą do nich m.in.: rzut monetą, rzut kostką do gry,
losowanie kuli z urny zawierającej ponumerowane kule, losowanie kart
z talii, dokonywanie pomiarów (np. pomiar średnicy śruby), odczyt
ciśnienia atmosferycznego itp. W każdym z tych doświadczeń nie potra-
fimy przewidzieć wyniku z różnych powodów. Na końcowy wynik
danego doświadczenia wpływa bowiem wiele przyczyn, z których tylko
część jesteśmy w stanie kontrolować. Na przykład przy rzucie monetą
nie jesteśmy w stanie sprecyzować dokładnie wszystkich warunków jego
wykonania.
Podobnie jest w doświadczeniach polegających na obserwacji zja-
wisk zachodzących w przyrodzie. Wyników niektórych z nich nie można
6
góry przewidzieć, np.: liczby bakterii w badanej próbce, liczby cząs-
z
tek radioaktywnych rejestrowanych w ciągu jednostki czasu przez dane
urządzenie liczące, pici rodzącego się dziecka, liczby Polek w następnych
latach.
Takie doświadczenie, które może zakończyć się jednym z możliwych
wyników: co^ ct> ,<*>$> • • •> ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego
2
jest praktycznie lub teoretycznie niemożliwe, natomiast częstości tych
wyników przy wielokrotnym powtarzaniu tego doświadczenia wydają
się przewidywalne, nazywamy doświadczeniem losowym (krótko: doś-
wiadczeniem).
Jeśli wśród n powtórzeń doświadczenia D wynik pojawił się k
razy ([neN , keN, k < w), to przez częstość tego wyniku wśród n
+
powtórzeń doświadczenia D rozumiemy liczbę
Przykład 1.1. Rzuciliśmy 10 razy kostką do gry i otrzymaliśmy ko-
lejno ściany z następującymi liczbami oczek: 2, 4, 5, 1, 2, 1, 3, 6, 4, 5.
Częstość wypadnięcia ściany z czterema oczkami wśród wszystkich
2 1
wyników tego doświadczenia jest równa — = Natomiast częstość
wypadnięcia ściany z czterema oczkami wśród wszystkich parzystych
,2
wyników tego doświadczenia jest równa — (mamy bowiem pięć wyników
parzystych: 2, 4, 2, 6, 4).
W określeniu doświadczenia losowego zwrot „częstości (...) wydają
się przewidywalne" wyrażą następujący fakt: w różnych seriach powtó-
rzeń (lub obserwacji) tego samego doświadczenia losowego częstości
pojawienia się interesującego nas wyniku są prawie takie same i wraz
ze wzrostem liczebności serii mają tendencję do zbliżania się do pewnej
liczby. Mówimy wówczas, że częstość taka stabilizuje się. Należy jednak
pamiętać, że losowy charakter doświadczenia wyraża się m.in. tym, że:
1) jeśli wynik co w pewnej serii powtórzeń doświadczenia D lub jego
obserwacji pojawił się z częstością c, to nie w każdej następnej serii bę-
dzie też występował z częstością c;
2) jeśli w poszczególnych dotychczasowych seriach powtórzeń doś-
wiadczenia D lub jego obserwacji częstości wyniku co były różne, to nie
oznacza to, że w każdych następnych seriach (obserwacjach) też będą
różne.
7
Przykład 1.2. Rozważmy doświadczenie polegające na rzucie mo-
netą.
Wynikiem rzutu monetą jest pojawienie się orła lub reszki, przy czym
z góry nie można przewidzieć, poszczególnych rezultatów. Jednak daje
się zauważyć, że częstości występowania orła i reszki wśród dużej liczby
powtórzeń tego doświadczenia są bliskie wartości y. Potwierdzają to dane
przedstawione w tablicach 1 i 2. Tablica 1 zawiera rezultaty ekspery-
mentów przeprowadzonych przez G.L. Buffona (francuski przyrodnik
i filozof (1707—88)) i K. Pearsona (angielski matematyk i filozof (1857—
—1936)). Natomiast tablica 2 prezentuje wyniki losowania orła uzyskane
za pomocą maszyny cyfrowej GIER w Uniwersytecie Warszawskim
w 1970 roku.
Tablica 1
Częstość
Liczba rzutów Liczba pojawień pojawienia
monetą się orła się orła
n k k
n
Buffon 4040 2048 0,5069
12000 6019 0,5016
PPeeaarrssoonn
24000 12012 0,5005
Tablica 2
Częstość
Liczba rzutów Liczba pojawień pojawienia
monetą się orła się orła
n k k
n
200 116 0,5800
300 153 0,5100
500 251 0,5020
1000 504 0,5040
2000 1002 0,5010
5000 2529 0,5058
10 000 4982 0,4982
8 V
Do ustalenia częstości niektórych wyników można wykorzystać
dane statystyczne.
Przykład 1.3. Tablica 3 zawiera dane o częstości urodzenia się chłopca
w Austrii w latach 1893—1903, a tablica 4 podobne dane dla dziewczy-
nek urodzonych w Polsce w latach 1928—1932 oraz 1957—1966.
Na podstawie danych z tablicy 4 mamy prawo przypuszczać, że
dziewczynki stanowić będą około 48,3% wszystkich noworodków, które
urodzą się w Polsce w przyszłym roku.
Dla porównania podajemy wyniki uzyskane przez P. Laplace'a
(francuski astronom, matematyk i filozof (1749—1827)) — częstość
urodzenia się dziewczynki we Francji w latach 1800—1802 wynosiła
0,4834.
Tablica 3
Rok Częstość urodzenia się chłopca
1893 0,516
' 1894 0,515
1895 0,514
1896 0,514
1897 0,514
1898 0,514
1899 0,514
1900 0,515
1901 0,514
1902 0,514
1903 0,513
Tablica 4
Liczba urodzo-
Częstość Częstość
Liczba urodzeń nych dziewczy-
Nr k Rok w roku po k
w tysiącach nek w tysią-
k latach
cach
1 1928 991,0 477,3 0,4816 0,4816
2 1929 994,1 479,3 0,4821 0,4819
3 1930 1022,8 494,7 0,4837 0,4825
4 1931 964,6 467,6 0,4848 0,4831
5 1932 934,7 452,2 0,4838 0,4832
9
