Matematyka dla studiów inżynierskich. Część I algebra i geometria

180 Pages·2000·0.97 MB·Polish

by  Stanisław Białas

Stanisław Białas, Adam Ćmiel, Andrzej Fitzke
(cid:5)
Matematyka
(cid:2)
dla studiów inżynierskich
(cid:4)
(cid:3)
cz.I Algebra i geometria
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
1573 pozycja wydawnictw dydaktycznych
AkademiiGórniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie
(cid:1)c Wydawnictwa AGH, Kraków 2000
ISSN 0239–6114
RedaktorNaczelny Uczelnianych Wydawnictw
Naukowo-Dydaktycznych:prof. dr hab. inż. Andrzej Wichur
Z-ca RedaktoraNaczelnego: mgr Beata Barszczewska-Wojda
Recenzent:prof. dr hab. inż. Stanisław Kasprzyk
SkryptjestadresowanydostudentówstudiówinżynierskichAGH(cid:5).Początkowestronyskryp-
tu,to powtórka zagadnień ze szkoły średniej, elementy logiki iteorii zbiorów.
Wramachalgebryomówiono:liczbyzespolone,macierzeiwyznacznikiorazukładrównańli-
niowych.Wektory,geometriaanalitycznanapłaszczyźn(cid:2)ieiwprzestrzeni,tohasładotyczące
geometrii. Forma prezentacji matematyki w skrypcie jest bardzo elementarna. Oprócz defi-
nicjiitwierdzeńzamieszczono dużoprzykładówzrozwiązaniami, zrezygnowanozdowodów.
Na końcu każdego rozdziału podano zadania, przeznaczone do samodzielnego rozwiązania
(cid:4)
przez Czytelnika.
Thebook(handbook)isintendedmainlyforengineeringstudentsoftheAcademyofMining
(cid:3)
and Metallurgy. On the firest pages of this book we revise some topics of secondary school
mathematics, logic and set theor(cid:3)y. The next chapter covers complex numbers, matrices,
determinantsand linear equat(cid:2)ions.
The vector algebra, plane analytical geometry and three dimentional geometry fill the last
chapter.Thematterispresentedinaveryelementaryway:thedefinitions,theoremsaswell
as a numeroussolved examples are given,but we renounced themore detailed and rigorous
proofs. The reader in(cid:1)terested in calculus can findthe exercias at theand of any chapter.
Projektokładkiistronytytułowej: Beata Barszczewska-Wojda
Opracowanieedytorskie: Ewa Kmiecik
Korekta:Ewa Kmiecik
Układtypograficzny iskładkomputerowysystememTEX:
Jacek Kmiecik,preTEXt,tel.[phone]
RedakcjaUczelnianychWydawnictw Naukowo-Dydaktycznych
al.Mickiewicza30,30–059Kraków
tel.[phone], tel./fax[phone]
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
(cid:5)
1. Powtórka wybranych zagadnień ze szkoły średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Wartość bezwzględna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Przykłady funkcji odwrotnych.Funkcjecyklometryczne. . . . . . . . . . . . . 10
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(cid:2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Elementy logiki i teorii zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Rachunekzdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
(cid:4)
2.2. Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Zbiory: definicje i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Działania na zbiorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
(cid:3)
2.5. Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
(cid:3)
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
(cid:2)
ALGEBRA
3. Liczby zespolone(cid:1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Definicje i działania naliczbach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4. Pierwiastek z liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Postać wykładnicza liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Wielomiany i funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1. Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Funkcjewymierne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. Macierze i wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2. Definicje i podstawowe rodzaje macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3. Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1. Równość, dodawanie i odejmowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2. Mnożenie macierzy przez skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.3. Mnożenie macierzy przez macierz, potęga macierzy . . . . . . . . . . . 65
3
Spis treści
5.4. Macierze transponowane i ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5. Wyznacznik z macierzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.1. Definicja wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2. Własności wyznacznika i twierdzenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . 73
5.6. Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7. Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.1. Definicja macierzy odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.2. Własności macierzy odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6. Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1. Definicje i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
(cid:5)
6.2. Twierdzenie Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4. Praktyczne metody rozwiązywania układurównań liniowych . . . . . . . . . . 101
(cid:2)
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
GEOMETRIA
(cid:4)
7. Geometria analityczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1. Geneza geometrii analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
(cid:3)
7.2. Wektory,kątyi współrzędne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2.1. Wektory . . . . .(cid:3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2.2. Rzut i współrz(cid:2)ędna wektora naosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.3. Kąt zwykły iskierowany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.4. Kąty między wektorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.5. Kartezjański układ współrzędnych napłaszczyźnie . . . . . . . . . . . 119
(cid:1)
7.2.6. Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.7. Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni . . . . . . . . . . . . 122
7.2.8. Wektory w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.9. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.10.Współrzędne sferyczne w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.11.Kombinacja liniowa wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2.12.Iloczyn skalarny wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.13.Iloczyn wektorowy wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.14.Iloczyn mieszany trójki wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3. Geometria analityczna na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.1. Wiadomości ogólne o równaniach linii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.2. Równania parametrycznelinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.3. Punktywspólne dwóch linii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.4. Równanie kierunkowe prostej na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.5. Równanie prostej przechodzącej przezdwa punkty . . . . . . . . . . . 148
7.3.6. Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.7. Równanie wektorowe i parametryczne prostej na płaszczyźnie . . . . . 151
7.3.8. Odległość punktuod prostej napłaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . 153
4
Spis treści
7.3.9. Wzajemne położenie prostychna płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . 154
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.4. Geometria analityczna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.4.1. Równania płaszczyzny w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.4.2. Równania prostej w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4.3. Odległość punktuod prostej lub płaszczyzny w przestrzeni . . . . . . 164
7.4.4. Wzajemne położenie płaszczyzn i prostych w przestrzeni . . . . . . . . 166
7.4.5. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.4.6. Kąt między dwiema płaszczyznami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Skorowidz oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
5
(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
Wstęp
Skrypt jest adresowanydo studentów studiów inżynierskich AGH. W ostatnich
latach liczba studentów na tych studiach gwałtowanie wzrosła, a jednocześnie rady-
kalniezmniejszonoilośćgodzinprzeznaczonychnanauczanie(cid:5)matematyki.Szczególny
wzrost liczby studentów nastąpił na zaocznych studiach inżynierskich — dotyczy to
prawie wszystkich wydziałów AGH.
Te fakty spowodowały,że przyszły inżynier ni(cid:2)e ma możliwości studiowaniama-
tematyki.Studentstudiówinżynierskichmożesięuczyćjedyniewybranychzagadnień
„królowejnauki”.
W tejsytuacji WydziałInżynierii Mechaniczneji Robotyki AGHzaproponował
(cid:4)
napisanie skryptu z matematyki, który treścią i formą byłby adekwatny do liczby
godzin i możliwości studentów studiów inżynierskich, szczególnie zaocznych.
Początkowe strony skryptu s(cid:3)ą „pewną formą powtórki” wybranych zagadnień
z programu matematyki w szkole średniej. Przedmiotem rozważań pierwszej części
(cid:3)
skryptu są: liczby zespolone, macierze i wyznaczniki, układy równań liniowych, ele-
(cid:2)
mentyalgebrywektorów,geometriaanalitycznanapłaszczyźnieiwprzestrzeni.Druga
część skryptu będzie dotyczyć rachunku różniczkowegoi całkowego.
Formaprezentacjimatematykiwskrypciejestbardzoelementarna.Opróczdefi-
nicji i twierdzeńza(cid:1)mieszczonodużoprzykładówzrozwiązaniami;zrezygnowanozdo-
wodów, a przedstawione dowody stanowią jedynie formę ćwiczeń. Przykłady z roz-
wiązaniami mają stanowić pomoc w zrozumieniu podstawowych pojęć i algorytmów
obliczeńzalgebryigeometriianalitycznej.Rysunkiuzupełniajądefinicje,twierdzenia
iprzykłady.Nakońcukażdegorozdziałuumieszczonozadaniaprzeznaczonedosamo-
dzielnegorozwiązaniaprzezCzytelnika.Takichzadań,lubotakimstopniutrudności,
mogą się spodziewać studenci na kolokwiachlub egzaminach.
Numeracja twierdzeń, rysunkówi wzorówdotyczy danegorozdziału. Np. twier-
dzenie 3.1 jest pierwszym twierdzeniem w rozdziale 3.
7
(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
Rozdział 1.
Powtórka wybranych zagadnień ze szkoły średniej
1.1. Wartość bezwzględna
Wartością bezwzględną liczby a ∈ R, którą oznacza(cid:5)my przez |a|, nazywamy
liczbę
(cid:1)
a gdy a(cid:3)0, (cid:2)
|a|=
−a gdy a<0.
Np. |−6|=6, |5|=5, |0|=0. (cid:4)
Podstawowe własności wartości bezwzględnej podaje następujące
(cid:3)
Twierdzenie 1.1. Jeżeli(cid:3)a,b∈R, to:
(cid:2)
1) |ab|=|a||b|,
(cid:2) (cid:2)
(cid:2)a(cid:2) |a|
2) (cid:2) (cid:2)= , dla b(cid:5)=0,
b |b|
(cid:1)
3) |a−b|=|b−a|,
4) |a+b|(cid:6)|a|+|b|.
Niech W(x) będzie pewną funkcją zmiennej x∈R. Dowodzi się, że nierówność
|W(x)|(cid:6)a dla a>0,
jest równoważnanierównościom
−a(cid:6)W(x)(cid:6)a.
Natomiast nierówność
|W(x)|(cid:3)a dla a>0,
jest równoważnanierównościom
W(x)(cid:6)−a lub a(cid:6)W(x).
9
1. Powtórka wybranych zagadnień ze szkoły średniej
Przykład
Rozwiązać nierówność
|x+2|(cid:6)3 (1.1)
W tym przykładzie W(x) = x+2, a = 3. Stąd nierówność (1.1) jest równoważna
nierównościom
−3(cid:6)x+2(cid:6)3
czyli
−3 (cid:6)x+2 i x+2 (cid:6)3 (cid:5)
−5 (cid:6)x i x (cid:6)1.
Zatem nierówność (1.1) spełniają x∈(cid:7)−5,1(cid:8).
(cid:2)
Przykład
Rozwiązać nierówność
(cid:4)
|x−1|>4 (1.2)
Rozważana nierówność jest równow(cid:3)ażnanierównościom
(cid:3)
x−1<−4 lub 4<x−1
(cid:2)
czyli
x<−3 lub(cid:1)5<x.
Oznacza to, że nierówność (1.2) spełniają x∈(−∞,−3) lub x∈(5,∞).
1.2. Przykłady funkcji odwrotnych. Funkcje cyklometryczne
Przykład
Weźmy pod uwagę funkcję
y =3x+1 (1.3)
gdzie x jest zmienną niezależną, a y zmienną zależną. Każdej wartości x ∈ R jest
przyporządkowana wartość y = 3x+1. Wykresem tej funkcji jest linia prosta, na
rysunku 1.1 linia ciągła.
Z (1.3) otrzymamy
1 1
x= y− (1.4)
3 3
10