Table Of ContentMATEMATISK OG TEORETISK
F Y S I K K
AV
EGIL HYLLERAAS
II. DEL
MEKANIKK OG STATISTIKK
OSLO 195 1
GRØNDAHL & SONS FORLAG
PRINTED IN NORWAY
GRØNDAHL & SØNS BOKTRYKKERI
OSLO
INNHOLD
II Del.
Mekanikk og statistikk.
Kapitel 1.
ELEMENTÆRE MEKANISKE PROBLEMER.
Side
1. Innledning.................................................................................................. 1
2. Mekanikkens grunnlover. De Newtonske aksiomer................... 4
Treghetsloven. Mekanikkens grunnligning. Newtons tredje lov.
Kraft og arbeide. Parallellogramsatsen. Koordinatsystemer. Det
«absolutte» rom.
3. Fallbevegelse og andre éndimensjonale bevegelser...................... 11
Generelle betingelser for integrasjon av bevegelsesligningen ved
éndimensjonal bevegelse. Elementære eksempler.
4. Frie og tvungne elastiske svingninger............................................ 16
Egensvingninger og egenfrekvens. Tvungne svingninger. Resonans.
Elektrisk svingekrets med selvinduksjon og kapasitet.
5. Dempede svingninger.............................................................................. 20
Forandring av frekvens og amplitude. Periodiske og aperiodiske
svingninger. Tvungne dempede svingninger. Forandring av am
plitude og forskyvning av fase ved tvungne dempede svingninger.
Tvungne dempede elektriske svingninger. Den ytre krafts ar
beide og oscillatorens energi ved dempede svingninger.
6. Andre svingningsproblemer................................................................. 26
Det matematiske pendel. Sykloidpendelet. Anharmoniske oscilla
torer. Molekylsvingninger og planetbevegelse.
7. Flerdimensjonale problemer................................................................. 34
Kinetisk og potensiell energi ved konservative krefter. Innledende
bemerkninger om integrasjon av bevegelsesligningene for fler-
dimensjonale systemer. Den frie partikkels bevegelse.
8. Impulslov og momentsats for partikkelsystemer eller faste
legemer...................................................................................................... 41
Definisjon av tyngdepunkt, impulsmoment og treghetsmoment.
Tyngdepunktsloven. Flatesatsen. Arbeide og kinetisk energi
VI
Side
referert til tyngdepunktet. Anvendelse av flatesatsen til bestem
melse av planet baner.
9. Relativ bevegelse........................................................... 47
Aksesystemer med ujevn bevegelse. Relativ akselerasjon. Be-
vegelsesligninger i relative koordinater. Fritt fall i forhold til den
roterende jord. Foucaults pendel.
Kapitel 2.
LAGRANGES OG HAMILTONS MEKANIKK.
10. Prinsippet om det virtuelle arbeide og d’Alemberts prinsipp. 55
Antall frihetsgrader for et system av massepunkter. Virtuelle for
skyvninger og virtuelt arbeide. Generelle koordinater. d’Alem-
berts prinsipp.
11. Lagranges ligninger i generelle koordinater .............................. 63
Treghetskrefter uttrykt ved den kinetiske energi.
12. Fermats, Maupertuis’ og Hamiltons prinsipp.............................. 65
Fermats prinsipp om den korteste lystid eller korteste «optiske»
lys vei. Maupertuis’ prinsipp om den minste virkning. Hamiltons
prinsipp.
13. Andre utlodninger og anvendelser av de Lagrangeske ligninger 72
Utledning av de Lagrangeske ligninger ved hjelp av Hamiltons
prinsipp. Direkte utledning fra bevegelsesligningene. De La
grangeske ligningers form ved ikke-konservative krefter. De rela-
tivistiske ligninger i den Lagrangeske form.
14. Delvis integrasjon av de Lagrangeske ligninger......................... 78
Generaliserte impulser. De Lagrangeske ligninger og energifunk-
sjonen. Den kinetiske energi i den relativistiske mekanikk. Den
kinetiske energi ved elektromagnetiske krefter.
15. Hamiltons ligninger........................................................................... 82
Energien som funksjon av koordinater og impulser. Utledning
av Hamiltons ligninger fra de Lagrangeske. De kanoniske lig
ningers sammenheng med Hamiltons prinsipp.
16. Generelle metoder for løsning av de kanoniske ligninger .... 87
Sykliske variable og bevegelseskonstanter. Hamilton-Jacobis
differensialligning og virkningsfunksjonen. Integrasjon av beve
gelsesligningene.
17. Kanoniske transformasjoner............................................................... 92
Koordinat-impulsrom. Den kanoniske transformasjonsfunksjon.
18. Løsning av bevegelsesproblemet ved separasjon av de variable 95
Bane og banebevegelse.
VII
Side
Kapitel 3.
KONTINUERLIGE LEGEMERS DYNAMIKK.
19. Faste legemers bevegelse..................................................................... 98
Et legemes treghetsmoment og treghetsprodukter. Bevegelseslig-
ninger for stive legemer. De Eulerske vinkler for rotasjonsbe-
vegelsen.
20. Bevegelse av et legeme om et fast punkt eller tyngdepunktet 104
Gyroskopet. Precesjon av jevndøgnspunktene. Gyroskopkom-
passet.
21. Indre bevegelse i faste legemer........................................................ 114
Forrykning og deformasjon. Deformasjonstensoren. Eksempler
på deformasjon. En-, to- og tredimensjonale kontinua.
22. Hamiltons prinsipp for kontinuerlige elastiske medier............. 120
Bevegelsesligninger og potensiell energi for den svingende streng.
Potensiell energi og spenning for den svingende membran. Hamil
tons prinsipp for tredimensjonale elastiske legemer.
23. Spenninger og elastisitetskoeffisienter............................................ 12/
Flatekrefter eller spenninger. Antall elastisitetskoeffisienter for
et fast legeme. Reduksjon av antall uavhengige elastisitetskoeffi
sienter ved høyere gittersymmetri.
24. Bølger i isotrope elastiske medier.................................................... 133
Utledning av den elastiske volumkraft. Transverselle og longi-
tudinelle bølger. Longitudinelle bølger i ikke formfaste medier.
Kapitel 4.
HYDRODYNAMIKK.
25. Væskers kinematikk.............................................................................
Momentane koordinater og identifiseringskoordinater. Hastighets
felt. Akselerasjon og totalt deriverte i hydrodynamikken. Kon-
tinuitetsligningen for kompressible og inkompressible væsker. Hastig
hetspotensial og Laplaces ligning for inkompressible væsker. Kine-
matiske grensebetingelser.
26. De hydrodynamiske bevegelsesligninger ........................................
Bevegelsesligninger for friksjonsfrie væsker. Bevegelsesligninger for
væsker med indre friksjon.
27. Ideale væskers hydrodynamikk........................................................
Definisjon av ideale væsker. Stasjonær strømning i ideale væsker.
Torricellis lov. Vena contracta.
28. Strømhvirvler i ideale væsker ..........................................................
Kelvins sirkulasjonsteorem. Hvirvler og hvirvelrør. Helmholtz
sats om hvirvelens bevarelse. Beregning av et hastighetsfelt når
hvirvlingen er kjent. Den rettlinjede homogene hvirvel.
VIII
Side
29. Strømninger i en inkompressibel ideal væske .......................... 159
Todimensjonal strømning og konform avbildning. Strømning om
kring en kule.
30. Bølger i ideale væsker....................................................................... 165
Gravitasjonsbølger. Bølger som skyldes molekylære krefter. Trykk
bølger og lydbølger. Energi og energitransport i en trykkbølge.
31. Væsker med indre friksjon................................................................ 172
Alminnelige betraktninger. En væske mellom to roterende sylindre
Strømning av en væske gjennom et rør. Poisseuilles lov. En kules
bevegelse gjennom en seig væske.
Kapitel 5.
TERMODYNAMIKK.
32. Temperatur og temperaturskalaer................................................... 181
Måling og definisjon av temperaturer. Det absolutte nullpunkt
og absolutt temperatur.
33. Tilstandsligningen............................................................................... 184
Tilstandsformer. Tilstandsvariable. Sammenheng mellom trykk,
temperatur og volum. Tilstandsdiagrammer.
34. Varmelærens 1. hovedsetning........................................................... 188
Varme og energi. Loven om energiens bevarelse. Indre energi i
en gas. Ideale gaser. Entropi for en ideal gas.
35. Varmelærens 2. hovedsetning........................................................... 193
Reversible og irreversible prosesser. Perpetuum mobile av 2. art.
En varmekraftmaskins virkningsgrad. Virkningsgrad ved rever
sible prosesser. Sammenligning av virkningsgraden for to varme-
kraftmaskiner. Entropien som tilstandsstørrelse. 2. hovedsetning
og entropien. Entropilovens anvendelse på fordampning og
smeltning.
36. Termodynamiske potensialer ........................................................... 203
Entropi og fri energi. Gibbs’ potensial og enthalpi. Maxwells
termodynamiske relasjoner. Joule—Kelvins eksperiment. Bestem
melse av den absolutte temperatur ved hjelp av ikke ideale gaser.
37. Tilstandsligninger for ikke ideale gaser....................................... 208
van der Waals’ tilstandsligning. Kritiske data for en van der
Waals-gas.
Kapitel 6.
KINETISK GASTEORI.
Innledende bemerkninger................................................................... 212
38. Sammenheng mellom kinetisk energi og trykk i en gas........ 214
Bevegelsesmengde og trykk ved molekylstøt. Tilstandsligningen
for en molekylær gas. Partialtrykk i gasblandinger.
IX
Side
39. Hastighetsfordeling ved uordnet varmebevegelse....................... 216
Støt mellom molekyler. Energiut veksling mellom molekyler.
Ekvipartisj onsteoremet.
40. Maxwells hastighetsfordelingslov......................................................... 224
Energiutveksling og hastighetsfordeling. Strengere utledning av
Maxwells lov.
41. Middelverdier av støtprosesser ......................................................... 231
Middelverdier av hastighet og hastighetskvadrat. Middelverdier
av relative hastigheter. Støttall og midlere fri veilengde for mole
kyler i en gas.
42. Masse-, energi- og impulstransport i en gas................................ 235
Utjevning av egenskaper i en inhomogen gas. Diffusjon. Diffu-
sjonsligningen. Uordnet vandring av molekyler. Varmeledning.
43. Intermolekylære krefter og tilstandsligningen................................ 243
Clausius’ virialteorem. Gastrykk og virial. Omformning av
virialet ved sentralkrefter. Tilstandsligningen for molekyler av
endelig størrelse. Tilstandsligningen ved kollisjonskrefter.
Kapitel 7.
STATISTISK MEKANIKK.
44. Faseronimet og faseceller..................................................................... 249
Easerommet. Voluminvarians ved kanoniske transformasjoner.
Liouvilles sats.
45. Termodynamisk sannsynlighet og entropi .................................... 254
Statistisk beskrivelse av sammensatte systemer. Fasecellenes
a priori sannsynlighet. Termodynamisk sannsynlighet og termo
dynamisk likevekt. Entropi.
46. Boltzmanns fordelingslov. Sammenheng med termodynamikken 258
Stirlings formel. Betingelse for maksimal entropi. Boltzmanns
lov. Temperatur, trykk og fri energi. Utledning av Stirlings formel.
47. Gaskinetiske anvendelser av den statistiske mekanikk........... 263
Midlere kinetisk energi og ekvipartisjonsteoremet. Tilstandslig
ningen for en ideal gas. Midlere fri energi for en oscillator.
48. Gibbs’ form for den statistiske mekanikk.................................... 267
Makrosystemer og mikrosystemer. Statistiske ensembler og kano
niske ensembler. Termodynamiske størrelser i Gibbs’ statistikk.
Tilstandsligningen for en ikke ideal gas.
Sidn
49. Kvantestatistikk................................................................................... 273
Elementærpartikler og individualitet. Boltzmanns statistikk i ny
form. Fermi-Diracs statistikk. Bose-Einsteins statistikk. En-
tropien og Nernsts teorem.
50. Anvendelser av den nye statistikk i gaskinetikken................. 282
Fotongas og strålingsloven. Virialteoremet i kvantestatistikken.
Tilstandssummer i kvantestatistikken. Ideale gaser ved svak
degenerasjon. Sterk degenerasjon av en Bose-Einstein-gas. Null-
punktsenergi for en Fermi-gas. Fermi-gas ved sterk degene
rasjon.
FORORD
Dette 2. bind av «Matematisk og Teoretisk Fysikk», som kommer
som nr. 3 i rekkefølgen, følger stort sett de samme linjer som B. 1
og B. 3. Det som er sagt generelt i forordet til disse gjelder
derfor også her. Forfatteren har tillatt seg å følge sine egne
linjer, og en eventuell kritikk må ikke bygge på den forutsetning
at boken er skrevet ene og alene som lærebok for studenter på
et visst utviklingstrinn og med sikte på å dekke et veldefinert
pensum krav.
Forfatteren har ikke villet vike tilside for en inngående mate
matisk behandling, selv om denne på sine steder skulle ligge for
høyt for gjennomsnittsstudentens nivå. Ved første gangs lesning
bør leseren derfor omgå de vanskeligste partier. Dette kan så
meget tryggere gjøres, som disse tenderer mot spesialiteter, mens
de lettere avsnitt gjerne holder seg til det som vi kan betrakte
som fysikernes felleseie. Dessverre har skrivningen av denne bok
budt på så vidt mange store og små problemer at det fra begyn
nelsen av ble besluttet å la være å aksentuere typografisk forskjellen
mellom lett og vanskelig stoff. Dette må nu overlates til leseren,
noe som kanskje slett ikke er bare til skade for studentene,
da jo ikke bare evnene, men også interessene kan være høyst
forskjellige.
En utvikling av boken i retning av større volum fra bind til
bind har vært uundgåelig. I foreliggende bind er dette resultat
ganske naturlig i betraktning av at to store hovedavsnitt av
fysikken er tatt opp til behandling, mekanikken og den statistiske
varmelære. Denne utvikling vil fortsette også i 4. bind.
Om første avdeling, mekanikken, kan det sies at den har fått
en ganske utførlig generell behandling. De mere spesielle deler
som stive legemers bevegelse, elastisitslære og hydrodynamikk er
også tatt med, til tross for at de tynger boken sterkt Om elastisitets-
læren kan det sies at den har fått en selvstendig ny behandling
ved at elastisitetskoeffisienter knyttes mer til kvadratiske former
for den potensielle energi enn til den vanlige tensormessige frem
stilling av flatekrefter.
Det vanskeligste kapitel har uten sammenligning vært siste
del, termodynamikken, den kinetiske gasteori og den statistiske
mekanikk. Temaene har imidlertid vært grundig analysert, og jeg
mener at det har lykkes, innenfor et rimelig volum, å få med de
fleste grunnleggende trekk ved disse viktige grener av fysikken,
som i tidens løp er blitt så omfangsrike.
For verdifull assistanse er jeg fremdeles takk skyldig til flere
av dem som er nevnt under forordet i B. 1.
Blindern, Oslo juni 1951. Egil Hylleraas.
