Table Of ContentMATEMATISK OG TEORETISK
AV
EGIL HYLLERAAS
I. DEL
FYSIKKENS MATEMATISKE
GRUNNLAG
OSLO 1950
GRØNDAHL & SONS FORLAG
Rana
DePotbibhoteke
PRINTED IN NORWAY
GRØNDAHL & SØNS BOKTRYKKERI
OSLO
INNHOLD
Side
FORORD........................................................................................ XI
I.
Del.
Fysikkens matematiske grunnlag.
Innledning............................................................................... 3
Kapitel 1.
VEKTORER OG TENSORER.
1. Definisjoner og betegnelser...................................................... 5
Skalarer. Vektorer. Tensorer. Betegnelser.
2. Addisjon og subtraksjon av vektorer. Komponentfremstilling
ved hjelp av enhetsvektorer.................................................. 8
Addisjon Subtraksjon. Multiplikasjon av en vektor med en
skalar. Komponentfremstilling. Ortogonale enhetsvektorer.
3. Det indre eller skalære produkt................ 11
Skalær multiplikasjon av to vektorer. Skalært produkt uttrykt
ved vektorenes komponenter.
4. Det ytre produkt eller vektorproduktet ................................ 13
Vektoriell multiplikasjon av vektorer. Positiv omløpsretning og
positiv normalretning for et flatestykke. Distributiv lov for
vektorprodukter. Analytisk uttrykk for vektorproduktet.
5. Det tredobbelte skalære produkt ........................................... 16
Volum av et parallellepiped. Volumet uttrykt ved vektorenes
komponenter. Polare og aksiale vektorer. Skalarer og psevdo-
skalarer.
6. Det vektorielle trippelprodukt og høyere produkter............... 18
Vektorproduktet Ax(BxC). Produkter av 4 vektorer.
7. Vektorer i skjevvinklede koordinater. Resiproke vektorsystemer. 20
Skjevvinklede grunnvektorer. Resiproke vektorsystemer. Løsning
av lineære ligninger med 3 ukjente.
8. Lineære vektorfunksjoner. Tensorer....................................... 23
Vektortransformasjoner. Ombytning av faktorer. Transponering
av tensorer.
VI
Side
9. Symmetriske og antisymmetriske tensorer........................... 27
Addisjon og subtraksjon av tensorer. Spaltning i en symmetrisk
og en antisymmetrisk tensor. Strekkfelter og glidefelter. Anti-
symmetrisk tensor og vektorprodukt.
10. Strekning og dreining av koordinatsystemer ......................... 31
Symmetrisk tensor. Strekning i tre hovedakseretninger. Den sym
metriske tensors invarianten.
Kapitel 2.
VEKTORFELTER.
11. Vektorer som avhengig variable ............................................. 33
Differensiering av en vektor etter en parameter. Differensiering
av sammensatte størrelser. Anvendelse i differensialgeometrien.
En romkurves krumning og torsjon.
12. Romlige differensialoperasjoner................................................ 37
Skalære og vektorielle felter. Gradienten av en skalar. Diver
gensen av en vektor. Hvirvelen eller curl av en vektor. Diffe-
rensialoperatoren V-
13. Integralteoremer. Satser av Gauss, Green og Stokes............. 44
Elementære kurve- og flateintegraler. Gauss’ sats. Greens sats.
Stokes’ sats. Ekvivalens av Gauss’ og Stokes’ sats i planet.
14. Hvirvelfrie (lamellære) og divergensfrie (solenoidale) vektorer
og deres fremstilling................................................................ 49
Potensial og gradient. Vektorpotensial og curl. Fremstilling av
et divergensfritt felt ved vektorlinjer.
15. Beregning av vektorfelter når divergens og curl er gitt....... 52
Oppløsning i hvirvelfritt og divergensfritt felt. Løsning av Pois-
sons ligning. Løsningenes éntydighet. Laplaceske felter. Bereg
ning av et hvirvelfritt felt for et endelig område. Grenseflatebe-
tingelser.
16. Diskontinuerlige felter.............................................................. 57
Et felts kilder. Punkt-, linje- og flatedivergens. Dobbeltkilder
og dobbeltlag. Diskontinuiteter i et divergensfritt felt. Linje-
hvirvel og dobbeltskikt. Fremstilling av hvirvelfeltet ved et
potensial.
17. Tensorfelter.............................................................................. 63
Divergens av en tensor. Gradienten av en vektor. Forrykning
og deformasjon.
18. Krumlinjede (generelle) koordinater......................................... 66
Generelle koordinater i det 3-dimensjonale rom. Divergens og
curl i krumlinjede koordinater.
VII
Side
Kapitel 3.
LINEÆRE TRANSFORMASJONER.
EKSTREMUMPROBLEMER. VARIASJ ONSREGNING.
70
19. Det dimensjonale rom. Dreining av koordinatsystemer....
n-
Vektorer i det n-dimensjonale rom. Komponentfremstilling. Orto-
gonale lineære transformasjoner.
74
20. Determinanter og lineære ligningssystemer..............................
Parallellepipedisk volum i det n-dimensjonale rom. Numerisk
beregning av determinanter. Utvikling av determinanter. Under-
determinanter. Resiproke vektorer i det n-dimensjonale rom.
Løsning av inhomogene lineære ligninger. Homogene lineære
ligninger. Inhomogene ligninger med forsvinnende determinant.
81
21. Lineære transformasjoner og matriser.....................................
Lineære transformasjoner. Matriser. Sammensatte transforma
sjoner. Multiplikasjon av matriser. Multiplikasjon av determi
nanter. Inverse transformasjoner og resiproke matriser.
85
22. Kvadratiske former. Maksimum- og minimumproblemer........
Kvadratiske former med symmetriske koeffisienter. Den kvadra
tiske forms egenverdier. Transformasjon av kvadratiske former
på hovedaksene. Simultan transformasjon av kvadratiske former.
Den kvadratiske forms invarianter. Løsning av inhomogene
egenverdiligninger.
23. Vektorer i et rom med uendelig mange dimensjoner............. 91
Svingning av et kontinuum som grensetilfelle for svingende
massepunkter. Ortogonale polynomer. Utvikling av vilkårlige
funksjoner etter normerte ortogonalfunksjoner.
100
24. Grunntrekk av variasjonsregningen.........................................
Problemstilling. Funksjonsfunksjoner. Fermats prinsipp. Braky-
stokronen. Maupertuis’ prinsipp om den minste virkning. Sam
menfatning.
25. Variasjonsintegraler og deres Eulerske differensialligninger.
105
Randbetingelser..................................................................
Variasjon av argumentfunksjoner. Den Eulerske differensiallig
ning. Variasjonsproblemer med flere avhengig variable. Simul-
tane Eulerske differensialligninger. Variasjonsproblemer med flere
uavhengig variable. Partielle differensialligninger. Randbetin
gelser. Faste grenseverdier. Naturlige randbetingelser. Homogene
ligninger og homogene randbetingelser. Periodisitet som rand
betingelse.
26. Variasjonsproblemer med bibetingelser. Egenverdiproblemer... 111
Variasjonsproblemer som fører til lineære differensialligninger.
Normering som bibetingelse. Egenverdiproblemer. Sammenfallende
egenverdier. Utartning. Direkte løsningsmetoder. Ritz’ metode.
VIII
Fordeling av de tilnærmede egenverdier etter Ritz’ metode. Egen
verdienes minimum-egenskaper.
27. Egenverdienes antall og størrelsesorden................................... 120
Sammenligning med ligninger av enklere form. Egenverdienes
ubegrensede antall. Asymptotisk beregning av egenverdiene. Full-
stendighetsbevis for egenfunksjonene.
Kapitel 4.
FUNKSJONSTEORI.
28. Komplekse tall............................................................ 126
Komplekse tall som vektorer. Operasjoner med komplekse tall.
Komplekse tall i polarkoordinater. Tallkulen, enhetssirkelen og
det uendelig fjerne punkt.
29. Analytiske funksjoner .............................................................. 132
Definisjon av en analytisk funksjon. Dannelse av analytiske
funksjoner ved løsning av Laplaces og Cauchy-Riemanns ligninger.
Komplekse integraler. Cauchys sats. Deformasjon av integra
sjonsveien. Cauchys integralteorem.
30. Potensrekker for analytiske funksjoner................................... 139
Utvikling om et ikke singulært punkt. Eksempler på analytiske
funksjoner og deres potensrekker.
31. Analytisk fortsettelse av potensrekker. Flertydige funksjoner.
Kompleks integrasjon.............................................................. i
Analytisk fortsettelse av en funksjon. Flertydige funksjoner.
Beregning av bestemte integraler ved kompleks integrasjon. Re-
siduumsats.
32. Uendelige rekker og deres konvergens .................................... 155
Generelle konvergenskriterier. Betinget og ubetinget konvergens.
Omstilling av ledd i en betinget konvergent rekke. Sammen-
ligningsrekker. Uniform konvergens.
Kapitel 5.
DIFFEREN SIALLIGNINGER.
33. Løsning av differensialligninger ved potensrekkeutvikling .... 160
Klassifisering av differensialligninger. Lineære differensialligninger.
Potensrekkeut viki ing av løsningene om et regulært punkt. Løsning
ved rekkeutvikling om et singulært punkt. Logaritmiske løsninger.
Irregulære singulære punkter. Asymptotiske løsninger.
34. Ordning av lineære differensialligninger etter singulære punkter 168
Differensialligninger med inntil 2 singulære punkter. Konfluens av
singulære punkter. Differensialligninger med 3 regulære singu
lære punkter. Den konfluent hypergeometriske ligning.
35. Løsning av spesielle hypergeometriske differensialligninger. ... 174
IX
Side
Legendres differensialligning. Legendreske kulefunksjoner av 1. art.
Kulefunks joner av 2. art. Definisjon av alminnelige kulefunk
sjoner ved en genererende funksjon.
36. Spesielle konfluent hypergeometriske differensialligninger....... 183
Laguerres differensialligning og Laguerre-funksjoner. Hermiteske
polynomer og ortogonalfunksj oner. Bessels differensialligning.
Gammafunksjonen. Besselske funksjoner. Asymptotiske formler.
Løsning av bølgeligninger ved hjelp av Besselske funksjoner.
37. Fourierske rekker og integraler ............................................... 195
Fourierske rekker. Fourierske integraler. Direkte bevis for det
Fourierske integralteorem. ^-funksjoner. Fullstendighetsrelasjon
for ortogonale funksjonssystemer. Eksempler på Fourierske rekker.
Fremstilling av diskontinuerlige funksjoner. Gibbs fenomen. Ut
jevning av konvergensen ved en diskontinuitet. Løsning av den
inhomogene bølgeligning ved hjelp av et Fourierintegral.
38. Fourierske rekker for funksjoner av flere variable. (Flerdobbelte
Fourierske rekker)................................................................... 207
Funksjoner av to variable. Funksjoner av tre variable.
Navneregister........................................................................... 211
Sakregister................................................................................ 212
L
FORORD
Det er i våre dager ingen mangel på lærebøker i teoretisk
fysikk, og det kan derfor synes vågsomt i et lite land som vårt
å utgi et større verk over et emne som har relativt få dyrkere.
Men det finnes også grunner som taler for å gå til dette skritt.
Den teoretiske fysikk har i vårt århundre, og ganske særlig i
de siste 25 år, utviklet seg med stormskritt som kanskje ingen
annen naturvitenskapsgren. Dette medfører at en rekke lærebøker
og verker, hvor fremragende de enn kan ha vært for sin tid, er
blitt mer eller mindre foreldet når de skal bedømmes ut fra de
aktuelle behov idag. Dermed innskrenkes det brukbare utvalg for
undervisning i moderne teoretisk fysikk meget sterkt. En supple
ring gjennom spesialverker over moderne emner har også sine svake
sider, idet disse gjerne blir for tunge for studenter med beskjedne
og varierende forkunnskaper.
I det utvalg som blir igjen av helt moderne lærebøker i teo
retisk fysikk vil man ut fra forskjellige krav og forskjellige behov
nesten alltid kunne reise innvendinger mot en bestemt fremstilling.
Enhver lærebok har sin rot, på den ene side i et bestemt miljø
og på den annen side i forfatterens personlige vitenskapelige inn
sats og innstilling. Den har med andre ord sine tradisjonsbundne
og sine originale sider. Vis-å-vis et miljø med et vesentlig annet
opplæringsgrunnlag og kanskje med helt andre naturlige forsknings
oppgaver vil visse modifikasjoner kunne være heldige. Også hva
omfang og grundighet i fremstillingen angår, trenges der forskjellige
graderinger.
Ut fra disse synspunkter har jeg ment at et nytt verk kan
bli til nytte, i ethvert fall for noen. Fremstillingen har jeg
søkt å bygge på de erfaringer jeg har høstet, på den ene side i mitt
aktive vitenskapelige arbeide og på den annen side i undervis
ningen av studenter fra alle kanter av vårt land.
XII
Det er tanken at boken skal kunne brukes som lærebok for
disse, når de under veiledning får anvisning på hva som uten
skade kan forbigåes i et første kursus og hva boken eventuelt bør
suppleres med av spesialiteter. Men den er også ment som en for
beredelse til selvstendig vitenskapelig arbeidsytelse, og derfor har
jeg tatt adskillig med som jeg selv har hatt nytte av og fattet særlig
interesse for. Det er ikke gitt at enhver leser vil finne at han
har det samme utbytte. Dette gjelder kanskje særlig den første,
rent matematiske del av boken, som kan synes svært omfattende.
Av disse forskjellige grunner har jeg ikke villet kalle boken
en lærebok i teoretisk fysikk, men har valgt titelen: Matematisk og
Teoretisk Fysikk for dermed å markere en viss frihet. Forøvrig
har jeg søkt å skrive boken slik at den skal kunne gi en noen
lunde utførlig veiledning såvel i den klassiske som den moderne
tooretiske fysikk.
Jeg vil gjerne få lov å takke trykkeriet og forlaget Grøndahl
dr Søn for det store arbeide som er nedlagt på å bringe det typo
grafiske utstyr i den mest ønskelige form. Fremfor alt vil jeg
imidlertid si min beste takk til en rekke yngre medarbeidere som
med iver og interesse har deltatt i den faglige og formelle gjen
nomgåelse og tilrettelegning av stoffet. Jeg nevner i første rekke
Werner Romberg, Aadne Ore, Marius Kolsrud, Tor B. Staver, Vidar
Risberg, Gustav Marthinsen og Helene-Marie Voldner, som alle har
hjulpet med forskjellige deler av hele verket.
Blindern, Oslo juni 1950. Egil Hylleraas.
