Matematiksel İktisat II Ders Notları

150 Pages·2005·0.56 MB·Turkish

KARŞILAŞTIRMALI
KARŞILAŞTIRMALI
DURAĞANLIK VE
DURAĞANLIK VE
TÜREV
TÜREV
22
Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da
parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek
farklı denge değerlerini karşılaştırılarak incelenmesini sağlar.
Örneğin ulusal gelir denge düzeyi belirliyken para arzında ya da
vergi oranlarındaki bir değişmenin ulusal gelir denge düzeyini
nasıl yeni bir denge değerine taşıyacağına bakabiliriz. Bu
şekildeki analizleri yapabilmemiz için türev, türevsel
(diferansiyel) gibi konuları anlamak gerekir.
33
İlk olarak değişim oranı ve türev kavramına bakalım.
Bir y=f(x) fonksiyonu düşünelim. x değiştiğinde, y ’nin değişimini
inceleyelim.
∆x = x − x → x = x + ∆x
1 0 1 0
∆y = f ( x ) − f ( x ) = f ( x + ∆x) − f ( x )
1 0 0 0
x ’deki bir birimlik değişime karşılık y ’de meydana gelen
değişiklik:
( ) ( )
f x + ∆x − f x
∆y
0 0
=
∆x ∆x
44
ÖÖrrnneekk 11::
2
y = f ( x) = 3x − 4
( )2
2
f ( x ) = 3 x − 4 , f ( x + ∆x) = 3( x + ∆x) − 4
0 0 0 0
2 2
∆y f ( x + ∆x) − f ( x ) 3( x + ∆x) − 4 − 3( x ) + 4
= 0 0 = 0 0
∆x ∆x ∆x
x = 3 , ∆x = 4 olursa,
0
∆y
= 6x + 3∆x
0
∆x ∆y
= 30 olur.
∆x
55
TTüürreevv
∆x→0 olurken, ∆y/∆x’in limiti varsa, bu limit y=f(x)
fonksiyonunun türevidir.
∆y dy
lim ≡ ≡ f ′( x)
∆x dx
∆x→0
Buna göre Örnek 1’i uygulayalım.
∆y
( )
lim = lim 6 x + 3∆x = 6 x
0
∆x
∆x→0 ∆x→0
66
TTüürreevv vvee BBiirr EEğğrriinniinn EEğğiimmii
Türev ile eğrinin eğimi bağlantısını aşağıdaki şekil yardımıyla
açıklayalım. Şekil 3.1, toplam maliyet maliyeti üretim
miktarının bir fonksiyonu olarak göstermektedir. Marjinal
maliyet, üretimdeki ∆Q kadarlık artışın, toplam maliyette yol
açtığı artıştır (∆C ):
∆C
MC =
∆Q
77
ŞŞeekkiill 33..11.. DDeeğğiişşiimm vvee TTüürreevv
C
C = f (Q)
•
C B
2
• •
C D G
1
∆C
A
C • • •E
0
F
• • H
K
∆Q
0
Q Q Q Q
0 1 2
88
∆Q→0 olurken, ∆C son derece küçük değerler alacaktır. Bu
durumda oransal değişim, türev olarak ifade edilebilecektir.
∆C dC
MC = lim ≡ ≡ f ′(Q)
∆Q dQ
∆Q→0
Başlangıçta Q üretim miktarında toplam maliyetin C olduğunu
0 0
varsayalım. Üretim miktarı Q ’ye çıkarsa, toplam maliyet C
2 2
olur. Buna göre marjinal maliyet (ortalama marjinal maliyet)
şöyle belirlenir:
∆C C − C
MC = = 2 0
∆Q Q − Q
2 0
99
Bu oransal değişimi geometrik olarak BE’nin AE’ye oranı olarak
gösterebiliriz. Bu, AB doğrusunun eğimidir. Q ’nun değişim
miktarını giderek sıfıra yaklaştırırsak, C ’nin değişimi de
giderek küçülür. Limitte bu oransal değişim, türev biçimini alır.
Şekil üzerinde, A noktasında toplam maliyet fonksiyonuna teğet
olan KG doğrusunun eğimi MC ’yi tanımlar. Yani GH’nin KH’ye
oranı.
1100
SSaağğddaann vvee SSoollddaann LLiimmiitt::
∆y
≡ q , ∆x ≡ v
∆x
dy ∆y
= lim = lim q
dx ∆x
∆x→0 v→0
Ya da daha genel olarak v→N olurken, q hangi değere yaklaşır?
Bu sorunun yanıtı, v ’nin N ’ye soldan ve sağdan yaklaşmasına
bağlı olarak değişebilir.