Table Of ContentMatematikai anal(cid:237)zis I.
(SegØdanyag a "K(cid:246)zgazdasÆgtan matematikai
alapjai" tÆrgyhoz)
dr. Szalkai IstvÆn Øs Mik(cid:243) TerØz
Pannon Egyetem, VeszprØm
2018. januÆr 28.
(jav(cid:237)tott vÆltozat)
ii
TartalomjegyzØk
TartalomjegyzØk iii
BevezetØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0. Alapfogalmak 3
0.1. Jel(cid:246)lØsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2. Val(cid:243)s szÆmhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3. `ltalÆnos f(cid:252)ggvØnytani alapok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3.1. ParitÆs, periodicitÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.3.2. MonotonitÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. F(cid:252)ggvØnyek felØp(cid:237)tØse 19
1.1. Alapf(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1. HatvÆnyf(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2. RacionÆlis t(cid:246)rtf(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3. ExponenciÆlis Øs logaritmikus f(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . 26
1.1.4. Trigonometrikus f(cid:252)ggvØnyek Øs inverzeik . . . . . . . . . . 29
1.1.5. EgyØb f(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2. Inverz f(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3. (cid:214)sszetett f(cid:252)ggvØnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. Sorozatok 43
2.1. `ltalÆnos fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. Sorozat vØges hatÆrØrtØke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Konvergencia Øs korlÆtossÆg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4. Sorozat vØgtelen hatÆrØrtØke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5. Rend‰orszabÆly, rØszsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6. Nevezetes sorozat-hatÆrØrtØkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7. NØhÆny m(cid:243)dszer sorozatokhoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.8. Bolyai Farkas algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9. Newton gy(cid:246)kvon(cid:243) m(cid:243)dszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3. Sorok 65
3.1. `ltalÆnos (cid:246)sszef(cid:252)ggØsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2. Nevezetes sor-hatÆrØrtØkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
iii
iv TARTALOMJEGYZ(cid:201)K
4. F(cid:252)ggvØnyek hatÆrØrtØke Øs folytonossÆga 69
4.1. De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243)k Øs alaptulajdonsÆgok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1. HatÆrØrtØkek vØgesben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2. FØloldali hatÆrØrtØkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.3. HatÆrØrtØkek vØgtelenben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.4. El‰ojelvizsgÆlat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. A folytonossÆg egy alkalmazÆsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Nevezetes f(cid:252)ggvØnyhatÆrØrtØkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. Di⁄erenciÆlszÆm(cid:237)tÆs Øs alkalmazÆsai 85
5.1. A di⁄erenciÆlhÆnyados fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1. Magasabbrend‰u derivÆltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. FormÆlis derivÆlÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3. A di⁄erenciÆlhÆnyados nØhÆny alkalmazÆsa . . . . . . . . . . . . 102
5.3.1. (cid:201)rint‰o egyenes egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.2. Taylor - polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.3. A L(cid:146)Hospital szabÆly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.4. F(cid:252)ggvØny g(cid:246)rb(cid:252)ltsØge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6. F(cid:252)ggvØnyvizsgÆlat 111
6.1. MonotonitÆs vizsgÆlata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2. KonvexitÆs Øs vizsgÆlata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3. RØszletes f(cid:252)ggvØnyvizsgÆlat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7. IntegrÆlszÆm(cid:237)tÆs Øs alkalmazÆsai 121
7.1. HatÆrozatlan integrÆl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2. IntegrÆlÆsi szabÆlyok Øs m(cid:243)dszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.1. ParciÆlis integrÆlÆs m(cid:243)dszere . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.2. I. t(cid:237)pusœ helyettes(cid:237)tØs Øs speciÆlis esetei . . . . . . . . . . 128
7.2.3. II. t(cid:237)pusœ helyettes(cid:237)tØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3. HatÆrozott integrÆl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4. Improprius integrÆl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4.1. VØgtelen intervallum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4.2. VØgtelen f(cid:252)ggvØny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.5. Numerikus integrÆlÆs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8. FelhasznÆlt Øs ajÆnlott irodalom, tÆblÆzatok 141
TÆrgymutat(cid:243) 143
BevezetØs
Atank(cid:246)nyvÆttekintiaszokÆsosAnal(cid:237)zisI.tØmak(cid:246)rt,deahangsœlytaszem-
lØltetØsreØsagyakorlatialkalmazÆsokrahelyezi. TalÆnatœlsokmagyarÆzatØsa
k(cid:246)zØpiskolÆban mÆr megismert f(cid:252)ggvØnytani alapok ismØtlØse miatt lett ennyi-
re vastag a k(cid:246)nyv, k(cid:246)zØpiskolÆs diÆkok Øs tanÆrok is k(cid:246)nnyen hasznÆlhatjÆk.
K(cid:246)nyv(cid:252)nk szakmai tartalma viszont lØnyegØben megegyezik bÆrmely anal(cid:237)zis
tank(cid:246)nyvØvel, pØldÆul az 50 oldalas [GyP] jegyzetØvel is.
A le(cid:237)rt de(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243)k Øs tØtelek ugyan prec(cid:237)zek, de nem erre, hanem az Ørthet‰o-
sØgre, magyarÆzatra helyezt(cid:252)k a hangsœlyt. Ennek megfelel‰oen a vizsgÆn is
nem csak a szÆraz matematikai anyagot, hanem r(cid:246)vid magyarÆzatÆt is kØrj(cid:252)k,
termØszetesen a felhasznÆlt bet‰uk jelentØsØt is, amint mi is ebben a jegyzetben
tessz(cid:252)k.
A matematikai anal(cid:237)zis cØlja: f(cid:252)ggvØnyek analizÆlÆsa (elemzØse, lat.), rØ-
gen f(cid:252)ggvØnytannak is h(cid:237)vtÆk. A gyakorlati bonyolult / kØnyes problØmÆknÆl
mÆrtapasztalhattuk,hogynemkapunkelegend‰oinformÆci(cid:243)tpusztÆnaf(cid:252)ggvØny
felrajzolÆsÆb(cid:243)l (akÆr ceruzÆval, akÆr modern f(cid:252)ggvØnyrajzol(cid:243) programokkal),
errenØhÆnypØldÆtmutatunka6."f(cid:252)ggvØnyvizsgÆlat"fejezetelejØna6.1.PØldÆ-
ban.
TehÆt rajz nØlk(cid:252)l kell a f(cid:252)ggvØnyeket megvizsgÆlnunk(!), a gra(cid:133)kon (pon-
tosabban a vÆzlat) a megoldÆs legvØgØn k(cid:246)vetkezik!
A vizsgÆlatok legnehezebb rØsze, hogy "vØgtelen" nagy Øs "vØgtelen" kicsi
mennyisØgekkel kell foglalkoznunk, pr(cid:243)bÆljuk meg hØtk(cid:246)znapi (konkrØt, meg-
foghat(cid:243))szemlØlet(cid:252)nkhelyettaz(cid:243)vatos"k(cid:246)zel(cid:237)tØs"m(cid:243)dszerØtÆtvenni! A"vØgte-
len" nagy Øs "vØgtelen" kicsi mennyisØgek miatt a tÆrgy mÆsik elnevezØse: in-
(cid:133)nitezimÆlis (vØgtelenszer‰u) szÆm(cid:237)tÆsok.
AszemlØltetØstel‰oseg(cid:237)tend‰onØhÆnyegyszer‰ubb,gyakorlatbanishasznosnu-
merikus algoritmust is ismertet(cid:252)nk (Bolyai Farkas, Isaac Newton algoritmusai,
intervallumfelezØs).
RØszletesenkidolgozottgyakorl(cid:243)feladatokataz[SzK]Øs[SzF] feladatgy‰ujte-
mØnyekben talÆlhatunk, a k(cid:246)nyvvel egy(cid:252)tt pÆrhuzamosan cØlszer‰u olvasnunk a
feladatgy‰ujtemØnyeket is.
Komplex szÆmokkal nem foglalkozunk (mØg ha nØha megeml(cid:237)tj(cid:252)k is‰oket).
TermØszetesenmodernprogramok,"szimbolikus programcsomagok" (pl. De-
rive, Maple, Mathematica) mÆr egy gombnyomÆsra elvØgzik a k(cid:237)vÆnt feladatot,
deel‰ottenek(cid:252)nk(ØsadiÆkoknakis)megkelltanulnunkaderivÆlÆsØsintegrÆlÆs
elemeit!
Igyeksz(cid:252)nk a k(cid:246)nyv hibÆit folyamatosan jav(cid:237)tani, a legfrissebb hibajegyzØk
az alÆbbi honlapon lesz megtalÆlhat(cid:243):
http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/
1
2 TARTALOMJEGYZ(cid:201)K
dr. Szalkai IstvÆn Øs Mik(cid:243) TerØz
[email protected]
Pannon Egyetem, Matematika TanszØk
VeszprØm
VeszprØm, 2011. augusztus 30.
0. fejezet
Alapfogalmak
0.1. Jel(cid:246)lØsek
BÆralegt(cid:246)bbjel(cid:246)lØs(cid:252)nkk(cid:246)zismert,nØhÆnyatmØgispontos(cid:237)tunkazegyØrtelm‰u-
sØg Øs a k(cid:246)nnyebb Ørthet‰osØg vØgett.
0.1. Jel(cid:246)lØs. (i) Øs aminden/bÆrmelyikØsalØtezik/vanolyanszavakat
8 9
r(cid:246)vid(cid:237)tik, szaknyelven univerzÆlis Øs egzisztenciÆlis kvantorok.
(ii) Az ekvivalens sz(cid:243) jelentØse (sz(cid:243) szerinti ford(cid:237)tÆsban is, lat.): azonos
ØrtØk‰u, vagyis a kØt dolog k(cid:246)z(cid:246)tt (matematikailag) semmi k(cid:252)l(cid:246)nbsØg nincs.
(iii) A (cid:3) jel egy De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243) / TØtel / `ll(cid:237)tÆs / PØlda / MegjegyzØs / ÆltalÆban
egy egybef(cid:252)gg‰o (hosszabb-r(cid:246)videbb) gondolat vØgØt jel(cid:246)li. (cid:3)
0.2. Jel(cid:246)lØs. (i) N , Z , Q Øs R jel(cid:246)lik rendre a termØszetes- (natural,
lat.), egØsz- (Zahl, nØm.), racionÆlis- (quotient, hÆnyados lat.) Øs val(cid:243)s-
(real, lat.) szÆmok halmazait.
Kiemelj(cid:252)k, hogy nÆlunk
0 N .
2
(ii) R+ Øs R(cid:0) jel(cid:246)lik a pozit(cid:237)v (x > 0) illetve a negat(cid:237)v (x < 0) szÆmok
halmazait.
(iii) A komplex ((cid:246)sszetett, lat.) szÆmok C halmazÆval ebben a jegyzetben nem
foglalkozunk. (cid:3)
0.3. Jel(cid:246)lØs. (i) `ltalÆban az x;y;::: index nØlk(cid:252)li bet‰uk tetsz‰oleges ("moz-
gathat(cid:243)")vÆltoz(cid:243)katjel(cid:246)lnek, m(cid:237)gazx ; y ;:::bet‰uk r(cid:246)gz(cid:237)tett,bÆrtetsz‰oleges
0 0
("nem mozgathat(cid:243)") vÆltoz(cid:243)kat.
(ii) A zÆr(cid:243)jeleket is k(cid:246)nny‰u (Øs veszØlyes) (cid:246)sszekeverni:
/:::/ vagylagos felsorolÆsban elvÆlasztÆst jel(cid:246)l,
::: (rendezetlen) halmazt / elÆgazÆst / (szÆm) t(cid:246)rtrØszØt jel(cid:246)li,
f g
(:::) ny(cid:237)lt intervallumot / legnagyobb k(cid:246)z(cid:246)s oszt(cid:243)t (lnko) / rendezett pÆrt jel(cid:246)l,
]:::[ ny(cid:237)lt intervallumot jel(cid:246)l,
3
4 FEJEZET 0. ALAPFOGALMAK
[:::] zÆrt intervallumot/ legkisebbk(cid:246)z(cid:246)st(cid:246)bbsz(cid:246)r(cid:246)st(lkkt)/ (szÆm)egØszrØszØt
jel(cid:246)li,
::: abszolœt ØrtØket jel(cid:246)l. (cid:3)
j j
0.2. Val(cid:243)s szÆmhalmazok
F(cid:252)ggvØnyekvizsgÆlatÆnÆlegyespontokbanaf(cid:252)ggvØny(helyettes(cid:237)tØsi)ØrtØkØt
nemlehetvagynemelØgkiszÆm(cid:237)tani,csakakØrdØsesponthoz((cid:243)vatosan)k(cid:246)zel(cid:237)tve
tudjukaf(cid:252)ggvØnyviselkedØsØtvizsgÆlni. Ehhezsz(cid:252)ksØg(cid:252)nkleszegyadottpont-
hoz "k(cid:246)zeli" val(cid:243)s szÆmokfogalmÆra, ami persze (cid:237)gyrelat(cid:237)v Øs szubjekt(cid:237)v, tehÆt
prec(cid:237)z de(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243) kell.
Kezdj(cid:252)k a legelejØn.
0.4. MegjegyzØs. K(cid:246)zismert, hogy a b esetØn
(cid:20)
[a;b]:= x R a x b (1)
f 2 j (cid:20) (cid:20) g
zÆrt intervallumot, m(cid:237)g a<b esetØn
(a;b):= x R a(cid:8)x(cid:8)b (2)
f 2 j g
ny(cid:237)lt intervallumot jel(cid:246)l.
Ez ut(cid:243)bbira elterjedt a
]a;b[:=(a;b) (3)
jel(cid:246)lØs is, ami szerint(cid:252)nk kissØ szerencsØtlen, mert pØldÆul a
H :=] 3;1[ ]2;3[ (4)
(cid:0) [
kØpletben nehezen veszz(cid:252)k Øszre a kØt zÆr(cid:243)jel k(cid:246)zØ bezÆrt jelet - egy zÆr(cid:243)jel
[
inkÆbb bezÆrni szokott Øs nem kizÆrni!
Mi csak az (a;b) jel(cid:246)lØst hasznÆljuk ny(cid:237)lt intervallumok esetØn.
RitkÆn talÆlkozunk az a=b szØls‰osØges (extremÆlis) esettel:
[a;a]= a
f g
az a R val(cid:243)s szÆmot tartalmaz(cid:243) egyelem‰u halmaz (singleton), m(cid:237)g
2
(a;a)=
;
az (cid:252)res halmaz! (cid:3)
Milyen szÆmok vannak egy a R szÆmhoz k(cid:246)zel? Maga az a szÆm lØnyeges
2
vagy sem?
0.5. De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243). Legyen a R egy tetsz‰oleges, r(cid:246)gz(cid:237)tett val(cid:243)s szÆm.
2
(i)Tetsz‰oleges(cid:14) >0pozit(cid:237)vszÆmokesetØnaz (a (cid:14) ; a+(cid:14)) alakœ(ny(cid:237)lt)
(cid:0)
intervallumokat az a szÆm egy (kØtoldali) k(cid:246)rnyezetØnek nevezz(cid:252)k, melynek
k(cid:246)zØppontja az a szÆm, sugara (cid:14) . Ezt a k(cid:246)rnyezetet szokÆs (a) -val jel(cid:246)lni:
(cid:14)
K
(a):=(a (cid:14) ; a+(cid:14))
(cid:14)
K (cid:0)
0.2. VAL(cid:211)S SZ`MHALMAZOK 5
vagy mÆskØppen:
(cid:14)(a):= x R x a <(cid:14) . (5)
K f 2 j j (cid:0) j g
(ii)Az(a ; a+(cid:14))illetve(a (cid:14) ; a)alakœintervallumokatjobb-Øsbaloldali
(cid:0)
k(cid:246)rnyezeteknek, gy‰ujt‰onØven fØloldali k(cid:246)rnyezeteknek nevezz(cid:252)k.
Haak(cid:246)rnyezetsz(cid:243)tjelz‰onØlk(cid:252)lhasznÆljuk,akkor mindigkØtoldalik(cid:246)rnyezet-
re gondolunk.
(iii) Ha a fenti k(cid:246)rnyezetekb‰ol kivessz(cid:252)k az "a" szÆmot, akkor pontozott
vagy lyukas k(cid:246)rnyezetr‰ol beszØl(cid:252)nk:
(a):=(a (cid:14) ; a+(cid:14)) a .
K(cid:14)(cid:14) (cid:0) nf g
(cid:3)
0.6. MegjegyzØs. (o)Nemcsak(5)-banszerepel"k(cid:252)l(cid:246)nbsØgabszolœtØrtØke",
ami ugye minden esetben a kØt mennyisØg tÆvolsÆgÆt, eltØrØsØt adja meg (vek-
torok, val(cid:243)s Øs komplex szÆmoknÆl, magasabb dimenzi(cid:243)kban is, stb.)
(i) Mivel a kØs‰obbi hatÆrØrtØk- vizsgÆlatoknÆl maga az a pont Øs az f f(cid:252)gg-
vØny f(a) helyettes(cid:237)tØsi ØrtØke ÆltalÆban lØnyegtelen, ezØrt a tovÆbbiakban a
k(cid:246)rnyezetek is teljesen mindegy, hogy lyukasak vagy sem.
(ii) A k(cid:246)rnyezetek (cid:14) sugara is ÆltalÆban lØnyegtelen, ÆltalÆban bÆrmilyen kicsi
is elegend‰o, csak pozit(cid:237)v legyen. Matematikailag pl. (cid:14) 10 1000 is ugyanolyan
(cid:0)
(cid:25)
mint 10 1 , agyakorlatiØletben perszenem. Azonbanakicsi(cid:14) szÆmokmutatjÆk
(cid:0)
meg az a -hoz k(cid:246)zeli szÆmok halmazÆt - ez (a) . Az (elmØleti) hatÆrÆtmenet
(cid:14)
K
azØrt megb(cid:237)zhat(cid:243) minden esetben, mert az (cid:246)sszes pozit(cid:237)v, bÆrmilyen kicsi, mØg a
(cid:14) 10 1000 ØrtØkre is megk(cid:246)veteli a pontossÆgot (ld. pØldÆul a (4.1) kØpletet a
(cid:0)
(cid:25)
4.1.1. "HatÆrØrtØkek vØgesben" alfejezet 4.1. De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243)jÆban).
A lyukas k(cid:246)rnyezetnek akkor van (jelent‰os) szerepe, amikor pØldÆul az f f(cid:252)gg-
vØny nincs Ørtelmezve az a pontban (vagy ØppensØggel az f(a) ØrtØk zavar(cid:243)), de
azt akarjuk kider(cid:237)teni, hogy amikor k(cid:246)zeled(cid:252)nk a -hoz, akkor f ØrtØkei merrefelØ
1
t‰unnek el ( pl. f(x)= Øs a=0 esetØn)? Hasonl(cid:243)an egy vulkÆn krÆterØhez:
x
csak megk(cid:246)zel(cid:237)teni tudjuk, bÆr tetsz‰olegesen k(cid:246)zel ker(cid:252)lhet(cid:252)nk hozzÆ.
FØloldali k(cid:246)rnyezetb‰ol nyilvÆn csak lyukas van. (cid:3)
Nem tœl nehØz, szemlØletes is, mØgis nagyon fontos a k(cid:246)vetkez‰o fogalom:
0.7. De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243). Legyen H R tetsz‰oleges halmaz Øs a R tetsz‰oleges pont
(cid:26) 2
(val(cid:243)s szÆm).
(i) a bels‰o pontja a H halmaznak, ha van olyan (bÆrmilyen) (cid:14) > 0 sugarœ
(nem lyukas) (a) k(cid:246)rnyezete a -nak, amely rØszhalmaza H -nak:
(cid:14)
K
(a) H . (T(cid:246)bbek k(cid:246)z(cid:246)tt ekkor a H .)
(cid:14)
K (cid:26) 2
(ii) a k(cid:252)ls‰o pontja a H halmaznak, ha van olyan (bÆrmilyen) (cid:14) > 0 suga-
rœ (nem lyukas) (a) k(cid:246)rnyezete a -nak, amely diszjunkt a H halmazt(cid:243)l:
(cid:14)
K
(a) H = , mÆskØppen: (a) k(cid:237)v(cid:252)l van H -n, vagyis (a) H
(cid:14) (cid:14) (cid:14)
K \ ; K K (cid:26)
(komplementere H -nak). (T(cid:246)bbek k(cid:246)z(cid:246)tt ekkor a = H .)
2
(iii) a hatÆrpontja a H halmaznak, ha bÆrmilyen (cid:14) > 0 szÆmra (azaz a
-nak mindegyik k(cid:246)rnyezete) metszi mind a H mind a H halmazokat.
MÆskØppen: a-hozbÆrmilyenk(cid:246)zelker(cid:252)lhetnekmindH mindH elemei. Ebben
azesetbennemlehettudni,denemislØnyeges,hogyaeleme-eH -nakvagysem!
(cid:3)
6 FEJEZET 0. ALAPFOGALMAK
A gyakorlatban is, de mØg elmØletileg is teljesen mÆs egy vØges a R
2
val(cid:243)s szÆmhoz k(cid:246)zeledni, mint elszaladni a + vagy vØgtelenbe ... . MØgis,
(cid:0)
mindkØt esetben valamely cØl felØ haladunk, ezØrt megengedhet‰o a "vØgtelenhez
k(cid:246)zeled(cid:252)nk" Øs a + Øs "k(cid:246)rnyezetei" kifejezØs.
1 (cid:0)1
0.8. De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243). (i) a + Øs csak szimb(cid:243)lumok (jelek), nem lØtez‰o val(cid:243)s
1 (cid:0)1
szÆmok (vagyis + ; = R), olyan elkØpzelt "szÆmokat" jel(cid:246)lnek, amelyek
1 (cid:0)1 2
minden lØtez‰o val(cid:243)s szÆmnÆl nagyobb (+ ) illetve kisebb ( ).
1 (cid:0)1
A szimb(cid:243)lum csak gy‰ujt‰onØv: a + Øs bÆrmelyikØt vagy mindkett‰ot
(cid:6)1 1 (cid:0)1
jel(cid:246)li.
A "val(cid:243)s szÆm" elnevezØs kizÆr(cid:243)lag a (rØgi) a R szÆmokat illeti.
2
(ii) Az
R:=R ; +
[f(cid:0)1 1g
halmazt b‰ov(cid:237)tett szÆmegyenesnek nevezz(cid:252)k .
Tetsz‰oleges a R val(cid:243)s szÆmra
2
(a;+ ) : = x R a<x , [a;+ ):= x R a x
1 f 2 j g 1 f 2 j (cid:20) g
( ;a) : = x R x<a , ( ;a]:= x R x a
(cid:0)1 f 2 j g (cid:0)1 f 2 j (cid:20) g
a j(cid:243)lismert ("fØlig") vØgtelen intervallumok, speciÆlisan
( ; + )=R .
(cid:0)1 1
(cid:3)
0.9. De(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243). Tetsz‰oleges c R val(cid:243)s szÆmra a (c;+ ) vØgtelen interval-
2 1
lumokat a + k(cid:246)rnyezeteinek is h(cid:237)vjuk Øs (+ ) -el jel(cid:246)lj(cid:252)k,
c
1 K 1
m(cid:237)ga( ;c;)vØgtelenintervallumokata k(cid:246)rnyezeteinekh(cid:237)vjukØs ( )
c
(cid:0)1 (cid:0)1 K (cid:0)1
-eljel(cid:246)lj(cid:252)k, afentiintervallumokgy‰ujt‰onØvenpedigkiterjesztettk(cid:246)rnyezetek.
(cid:3)
0.3. `ltalÆnos f(cid:252)ggvØnytani alapok
Af(cid:252)ggvØnyekØsÆbrÆzolÆsukprec(cid:237)zde(cid:133)n(cid:237)ci(cid:243)itmÆrazÆltalÆnos-Øsk(cid:246)zØpiskolÆ-
banmegismert(cid:252)k,ezekreittmostnincshely(cid:252)nk,ismØtelj(cid:252)kÆtotthon! Mind(cid:246)ssze
csaknØhÆnyrØszletetemel(cid:252)nkki,esetlegœjszemsz(cid:246)gb‰olpr(cid:243)bÆljuk‰oketmegvilÆg(cid:237)-
tani.
0.10. (cid:214)sszefoglalÆs. A koordinÆtarendszer alapja, hogy minden s(cid:237)kbeli pontot
kØt szÆmmal jellemz(cid:252)nk. SzemlØletesen: ha a P pontb(cid:243)l f(cid:252)gg‰olegesen egy kØk ,
v(cid:237)zszintesen pedig egy piros lØzerfØnyt bocsÆtunk ki, akkor az x Øs y tengelyeken
lev‰o skÆlÆkon megkapjuk P koordinÆtÆit. (cid:3)
0.11. (cid:214)sszefoglalÆs. (A f(cid:252)ggvØny fogalma) A gyakorlati Øletben a legt(cid:246)bb
mennyisØg f(cid:252)gg valami mÆst(cid:243)l, ezt az ((cid:246)ssze)f(cid:252)ggØst nevezz(cid:252)k f(cid:252)ggvØnynek. A
vØgeredmØnyt az adatokb(cid:243)l szÆmolom ki, azokt(cid:243)l f(cid:252)gg. (Nyelvtanilag ugyanœgy
keletkezik a f(cid:252)ggvØny f‰onØv a(z) ((cid:246)ssze)f(cid:252)gg igØb‰ol, mint pl. az elismervØny /
k(cid:246)telezvØny az elismer/k(cid:246)telez igØkb‰ol.
AszÆmolÆsel‰ottmegadottØrtØkeket(legt(cid:246)bbsz(cid:246)rx)ÆltalÆban(szinte)akÆrhogyan
