Table Of ContentBran1m1r
Dak1ć
Neven Elezov1ć
atematika
u 24 lekcije
BRANIMIR DAKIĆ
NEVEN ELEZOVIĆ
MATEMATIKA
U24LEKCIJE
za pripremu
priručnik
državne mature
programi A i B
1. izdanje
Zagreb, 2009.
PREDGOVOR
Državna je matura najvažniji pojedinačni ispit u školovanju svakog budućeg stu
denta. Njezina je uloga dvojaka: potvrditi da je učenik s uspjehom usvojio znanja
tijekom srednjoškolskog školovanja, te omogućiti nastavak školovanja na željenom fa
kultetu, visokoj ili višoj školi, pri čemu rezultati postignuti na državnoj maturi imaju
iznimno velik utjecaj.
Na državnoj maturi ispitivat će se temeljna matematička znanja, ona za koja struč
njaci smatraju da trebaju biti sastavni dio trajno usvojenih znanja i vještina svakog
maturanta. Naizgled, za državnu se maturu učenik koji je redovito i kvalitetno učio ne
treba dodatno pripremati. Nažalost, to je vrlo daleko od istine. Polaganje ovog ispita
bit će za učenika vrlo naporan i stresan događaj. Za tako važan ispit i kompeticiju
s nepredvidljivim ishodom potrebna je iznimno dobra priprema. Samo dugotrajnom
vježbom i s vjerom u svoje sposobnosti učenik može na takvom ispitu, potpuno miran,
pružiti svoj maksimum.
Većina gimnazijske populacije u Republici Hrvatskoj tijekom školovanja koristila
je udžbenike iz matematike istih autora. Za postizanje uspjeha na državnoj maturi ne
treba pročitati ni naučiti ništa više od onog što se u tim udžbenicima nalazi. Napro
tiv, program državne mature iz matematike osakaćen je (zasad) u odnosu na redoviti
program općih gimnazija, da i ne spominjemo usporedbu s programom p1irodoslovnih
gimnazija. Nadalje, količina gradiva u udžbenicima svih četiriju razreda prevelika je da
bi se mogla u kratkom roku ponoviti, koristeći se tim knjigama. I konačno, priprema za
državnu maturu nije identična učenju tijekom školovanja; ovdje je riječ o ponavljanju
već usvojenog gradiva, njegovoj sintezi i vezi između različitih područja.
Svi ti razlozi nagnali su nas da priredimo ovaj priručnik kao pomoć za kvalitetnu
pripremu za državnu maturu iz matematike. Gradivo je podijeljeno na logične cjeline
u kojima se nakon kratkog ponavljanja najvažnijih pojmova i formula nalazi dovoljan
broj detaljno ·riješenih primjera, a zatim dvije skupine zadataka - zadaci u kojima se
traži kompletan postupak rješavanja i zadaci višestrukog izbora.
Ovim je priručnikom pokriveno cjelokupno gradivo koje se nalazi u katalogu za
polaganje državne mature prema A i B programu. Ispitni zadaci koji budu postavljeni na
maturi bit će u prosjeku nešto jednostavniji od zadataka iz ovoga prU:učnika. Naravno
da je to učinjeno s namjerom - i atletičar koji se sprema za trku na 400 metara za
vrijeme treninga pretrčat će i mnogo dulje dionice. Učenik koji s uspjehom bude riješio
zadatke iz ovoga priručnika, s lakoćom će riješiti i zadatke na državnoj maturi. Pritom
treba imati na umu da je državna matura kraj jednog, ali i početak drugog školovanja.
Mnogi će se učenici u nastavku školovanja ponovno susresti s matematikom, na višem i
težem nivou. Uspješna priprema za državnu maturu bit će im, bez sumnje, vrlo korisna
u nastavku školovanja.
Riječ-dvije o tome kako se koristiti ovim priručnikom. Gradivo je podijeljeno na
24 lekcije, što omogućuje jednostavnije planiranje. Mi preporučujemo da se gradivo
u ovome priručniku prijeđe jednakim tempom, najbolje tijekom šest mjeseci, dakle,
brzinom od jedne lekcije u tjedan dana. Naravno da se isto može učiniti i za vrijeme
od tri mjeseca (ipak je riječ o ponavljanju poznatoga gradiva), pa čak i za samo jedan
mjesec - svaki dan jedna lekcija (uz odmor nedjeljom). Vjerojatno će najuspješnija
metoda biti kombinacija prve i treće: nakon polaganog prelaženja cjelokupnog gradiva,
pred ispit se još jednom ponovi najvažnije.
U priručniku je dan dovoljan broj ispita - njih 75. Jedan se ispit treba riješiti uro
ku od 60 minuta. Unutar istoga poglavlja, ispiti su otprilike jednake težine. Predlažemo
učeniku da prati svoj napredak na sljedeći način. Prilikom prvoga prolaženja gradiva,
neka preskoči jedan od ispita u svakom poglavlju. Recimo, prvi ispit u neparnim i drugi
ispit u parnim poglavljima (ili obratno). Kada bude prešao cjelokupno gradivo, neka
u ponavljanju riješi te preskočene ispite. Bez obzira na to koji odabir napravi, sigurni
smo da će u drugom prelaženju postići bolje rezultate.
Vjerujemo da će ovaj priručnik osigurati uspješno polaganje ovog važnog ispita i
omogućiti željeni nastavak školovanja.
U Zagrebu, srpnja 2009.
SADRŽAJ
l. lekcija Realni brojevi . . . . . 1
2. lekcija Algebarski izrazi 21
3. lekdja Polinom.i i algebarske jednadžbe 35
4. lekcija Linearne jednadžbe i problemi prvog stupnja 45
S. lekcija Uređaj na skupu realnih brojeva . 61
6. lekcija Skup kompleksnih brojeva . 75
7. lekcija Kvadratna funkcija, jednadžbe i nejednadžbe 85
8. lekcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije 107
9. lekcija Funkcije 127
10. lekcija Trigonometrijske funkcije 141
11. lekcija Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe . 163
12. lekcija PJanimetrija 181
13. lekcija Trigonometrija pravokutnog trokuta 205
14. lekcija Poučci o trokutu i p1imjene trigonometrije . 219
15. lekcija Poliedri i rotacijska tijela . 229
16. lekcija Koordinatni sustav u ravnini 245
17. lekcija Pravac . 255
· 18. lekcija Kružnica 269
19. lekcija Elipsa, hiperbola i parabola 281
20. lekcija Geometrija prostora . 297
2 l. lekcija Vektori 313
22. lekcija Aritmetički i geometrijski niz 323
23. lekcija Derivacije funkcija 337
24. lekcija Primjene diferencijalnog računa . 351
Završni ispiti . 373
Rješenja zadataka 391
Rješenja ispita 407
lekcija
1.
11.
Realni brojevi
1. lekcija Ponovimo
Prirodni brojevi
Skup prirodnih brojeva označavamo s N.
N = {1,2,3,4,5, .. . ,n, .. .} .
Skup prirodnih brojeva zatvoren je s obzirom na zbrajanje i množenje.
Neka je b > 1 prirodan broj. Prirodni broj N zapisanu pozicijskom sustavu s
bazom b ima vrijednost:
N = a11an-I · · · a1aO(b) = an · b" + a11-1 · bn-l + ... + a1 · b + ao.
Znamenke a0, a1, ... , a" cijeli su brojevi iz skupa {O, 1, 2, ... , b - 1}. Indeks ozna-
čava u kojoj je bazi zapisan broj. U dekadskom sustavu brojevaje b = 10, u binarnom
b = 2, u oktalnom b = 8 , a u heksadecimalnom b = 16 .
Svaka se dva prirodna broja m i n mogu usporediti prema veličini.
Neka je n po volji odabran prirodni broj. Onda je njegov sljedbenik prirodni broj
+
n 1 , a njegov prethodnik n - 1 .
Pri.rodni broj m djeljiv je prirodnim brojem n ako postoji prirodni broj p takav
da je m = n · p. Kažemo da je n djelitelj ili mjera od m i pišemo nlm.
Prirodni broj veći od 1 je prost ako je djeljiv samo s 1 i sa samim sobom. Broj je
složen ako nije prost. s iznimkom broja 1 koji ne držimo ni prostim ni složenim. Paran
broj je složen broj djeljiv s 2.
Svaki se prirodni broj može na jedinstven način napisati u obliku umnoška prostih
brojeva:
n = P1P2 ···Pm·
Kriteriji djeljivosti
• Prirodni broj je djeljiv brojem 2 ako je njegova posljednja znamenka O ili
paran broj.
• Prirodni broj je djeljiv brojem 3 ako je zbroj njegovih znamenki broj djeljiv
sa 3.
• Prirodni broj je djeljiv s 4 ako je dvoznamenkast broj što ga čine posljednje
dvije znamenke djeljiv sa 4.
• Prirodni broj je djeljiv s 5 ako je njegova posljednja znamenka O ili 5.
• Prirodni broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv s 2 i s 3.
2 Matematika u 24 lekcije
1.1. Ponovimo
• Prirodni broj je djeljiv s 8 ako je njegov troznamenkast završetak broj djeljiv
s 8.
• Broj je djeljiv s 9 ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
• Broj je djeljiv s 11 ako je razlika zbroja znamenki na parnim pozicijama i •
zbroja znamenki na neparnim pozicijarna broj djeljiv s 11.
Cijeli brojevi
Operacija oduzimanja u skupu prirodnih brojeva ne može se uvijek definirati. To
dovodi do proširenja skupa prirodnjh brojeva na skup cijelih brojeva.
Skup cijelih brojeva označavamo sa Z :
z o,
= { ... - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, ... }.
Taj skup zatvoren je s obzirom na zbrajanje, oduzimanje i množenje. Dijeljenje s nulom
nije definirano.
Svojstva zbrajanja i množenja u skupu cijelih brojeva
• Zakon komutativnosti ili zamjene mjesta:
a+ b = b+a; a· b = b ·a.
• Zakon asocijativnosti:
a+ (b + c) =(a+ b) + c;
a· (b · c) = (a· b) · c.
• Zakon distributivnosti množenja prema zbrajanju:
a· (b + c) = a· b +a· c.
• Za svaki cijeli broj a vrijedi:
a+O =a;
a· 1 = a.
i=
• Za svaki cijeli broj a O postoji cijeli broj -a tako da vrijedi:
a+(-a)= O.
Broj - a je suprotni broj broja a.
Matematika u 24 lekcije 3
11.
Realni brojevi
Mjera i višekratnik
A.ko za dva cijela broja a i b postoji broj d, d -:/=- O, takav da je a = a1 • d i
b = b1 · d, kažemo da je d zajednički djelitelj ili zajednička mjera brojeva a i b.
Najveći broj d s ovim svojstvom zove se najveća zajednička mjera od a i b.
Ako su dana dva cijela broja a i b, tada broj v za koji vrijedi a[v i bJv zovemo
zajedničkim višekratni.kom brojeva a i b. Najmanji od brojeva v s ovim svojstvom
zovemo najmanjim zajedničkim višekratnikom i označavamo s V(a, b).
Ako dva (ili više) cijelih brojeva nemaju zajedničkih djeliteJja (osim broja 1), tada
kažemo da su ti brojevi relativno prosti.
Racionalni brojevi
Nemogućnost potpunog definiranja operacije dijeljenja u skupu cijelih brojeva
zahtijeva uvođenje skupa racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su količnici cijelih
brojeva. Skup racionalnih brojeva označavamo s Q:
Q = { ~ : m, n E Z, n -:/=- O} .
Svaki racionalni broj moguće je zapisati u obliku razlomka ~ , gdje je m cijeli, a n
n
prirodni broj.
Skup racionalnih brojeva zatvoren je s obzirom na zbrajanje, oduzimanje, množe
nje i dijeljenje.
Uspoređivanje razlomaka
Razlomke jednakih nazivnika uspoređujemo poput prirodnih brojeva, uspoređujući
njihove brojnike.
-a < -b , ak. o j.e a < b -a > -b , ak o j.e a > b .
c c c c
Razlomke različitih nazivnika uspoređujemo svođenjem na zajednički nazivnik dobi
vajući tako razlomke jednakih nazivnika.
Jednakost razlomaka
Razlomci ~ i ~ jednaki su ako i amo ako je a · d = b · c.
L
Za svaki racionalni broj i svaki broj m različit od nule vrijedi:
a ·m a
-
b·m b
4 Matematika u 24 lekcije
1.1. Ponovimo
Čitamo li jednakost zdesna ulijevo, tada je riječ o proširivanju razlomaka ~ , a čitamo
a·m
li je slijeva udesno, tada govorimo o kraćenju razlomaka --.
b·m
Svaki se racionalni broj može kraćenjem dovesti na oblik u kojem brojnik i nazivnik
nemaju zajedničkih djeUtelja.
Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva
a c ad + bc a c ad - bc
b + (j = bd b d bd
Razlomke koji nemaju zajednički nazivnik moramo proširiti kako bismo dobili razlom
ke jednakih nazivnika. Zajednički je nazivnik izraz koji sadrži faktore svih pojedinih
nazivnika razlomaka koje zbrajamo iU oduzimamo.
Množenje i dijeljenje racionalnih brojeva
a c ac a c a d ad
-: - == - ·- = -
b d bd' b d b c bc
Količnik dvaju razlomaka može se zapisati u obliku dvojnog razlomka:
a
-
a c b ad
c
b 0 d bc
d
Pritom a i d nazivamo vanjskim, a b i c unutarnjim članovima dvojnog razlomka.
Ovo pamtimo kao pravilo: razlomci se dijele tako da se prvi razlomak pomnoži
recipročnim razlomkom drugog.
Svojstva zbrajanja i množenja u skupu racionalnih brojeva
• Komutativnost:
a+b = b+a;
a· b = b ·a.
• Asocijativnost:
a+ (b + c) =a+ (b + c);
a· (b · c) =(a· b) · c.
• Distributivnost množenja prema zbrajanju:
a· (b + c) = a· b +a· c.
Matematika u 24 lekcije S
