Table Of Content© Typotex Kiadó
Matematika: a la´thatatlan
megjelen´ıte´se
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
Keith Devlin
Matematika: a la´thatatlan
megjelen´ıte´se
MU˝SZAKI KIADO´
TYPOTEX KIADO´
BUDAPEST 2001
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
FirstpublishedintheUnitedStates
byWHFreemanandCompany,NewYorkandBasingstoke.
Copyright1998,2000byFreemanandCompany. Allrightsreserved.
Azelso˝ kiad´asazEgyesu¨ltA´llamokbanjelentmega
WHFreemanandCompany,NewYorkandBasingstokegondoz´as´aban.
Copyright1998,2000;FreemanandCompany. Mindenjogfenntartva.
c HungariantranslationCsabaFerenc;2001
(cid:1)
SzakmailagRo´nyaiLajoselleno˝rizte.
ISBN9631627357
ISBN9639132977
MK4401401
Amu˝ eredetic´ıme: Thelanguageofmathematics: makingtheinvisiblevisible.
Ez a tanko¨nyv az illete´kes kurato´rium do¨nte´se alapj´an az Oktat´asi Miniszte´rium
t´amogat´as´aval a Felso˝oktat´asi P´aly´azatok Irod´aja´altal lebonyol´ıtott Tanko¨nyvt´a-
mogat´asiProgramkerete´benjelentmeg(101/2000).
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
Tartalom
Elo˝szo´ 7
Prolo´gus – Mi a matematika? 9
1. fejezet A sza´mokkal sza´molnunk kell 21
2. fejezet Elme´s minta´zatok 57
3. fejezet A matematika mozga´sba lendu¨l 97
4. fejezet Az alakot o¨lto˝ matematika 137
5. fejezet A sze´pse´g matematika´ja 183
6. fejezet Mi to¨rte´nik, ha a matematika poz´ıcio´ba keru¨l? 211
7. fejezet Ese´lylatolgata´s 257
8. fejezet Az Univerzum rejtett minta´zatai 283
Uto´szo´ 319
Ne´v- e´s ta´rgymutato´ 321
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
Elo˝szo´
Ko¨nyvu¨nkamatematikale´nyegivon´asaitk´ıv´anjaazolvaso´ele´t´arni,akireme´l-
heto˝legnemcsakato¨rte´netfordulo´pontjairo´l,denapjainktudom´any´aro´liske´pet
alkothatmag´anak. Ako¨nyvnemmatematikako¨nyv,hanemamatematik´aro´lszo´lo´
ko¨nyv – a kultu´ra egy e´letteli e´s gazdag teru¨lete´t k´ıv´anja bemutatni. Olvaso´j´ato´l
csup´an jo´ sz´ande´ku´ e´rdeklo˝de´st v´ar, nem felte´telez ku¨lo¨no¨sebb matematikai elo˝-
ismereteket.
Ako¨nyvelo˝djeaW.H.Freemannkiado´ ScientificAmericanLibrarysorozat´a-
ban jelent meg, Matematika: a minta´zatok tudoma´nya c´ımmel. A „tudom´anyo-
sanke´pzett”olvaso´katmegce´lzo´ko¨nyvasorozategyiklegsikeresebbtagjalett. A
szerkeszto˝vel, Jonathan Cobb-bal folytatott besze´lgete´seink sor´an szu¨letett meg
egy sze´lesebb ko¨zo¨nse´get ce´lba vevo˝, kisse´„meghu´zott” ko¨nyv gondolata. Az u´j
ko¨nyv,u´gyterveztu¨k,asorozatotolyku¨lo¨nlegesse´tevo˝sz´ınes,mu˝ve´szike´panyag
ne´lku¨l, s – re´szben ennek ko¨vetkezte´ben – a sze´lesebb olvaso´ko¨zo¨nse´g sz´am´ara
is ele´rheto˝en ko¨zvet´ıti majd le´nyege´ben ugyanazt az u¨zenetet: a matematik´anak
a mint´azatok tudom´anyake´nt valo´ felfog´as´at. (Mike´nt elo˝dje, e ko¨nyv is magya-
r´azattal szolg´al arra, mit tekintu¨nk „mint´azatnak”. Ehelyu¨tt legyen ele´g annyi,
hogy nem csup´an tape´tamint´akra gondolunk – b´ar jo´ ne´h´any tape´taminta figye-
lemreme´lto´ matematikaitulajdons´agokkalisrendelkezik...)
Amellett,hogyako¨nyvetazu´jce´lkitu˝ze´sneke´sform´atumnakmegfelelo˝entel-
jesme´rte´kben´atkellettdolgoznom,arraisalkalmamny´ılt,hogyazeredetianya-
got ke´t u´jabb fejezettel ege´sz´ıtsem ki: az egyik t´argy´at a valo´sz´ınu˝se´g, a m´asike´t
a (fizikai) univerzum mint´azatai alkotj´ak. Az eredeti v´altozatba ezek a speci´alis
form´atume´saszu˝ko¨shelymiattnemkeru¨lhettekbe.
AzeredetiScientificAmericanLibraryko¨nyvke´zirat´atFernandoGouveˆa,Do-
ris Schattschneider e´s Kenneth Millett ne´zte´k ´at, hasznos megjegyze´seik ezen u´j
v´altozatnak is jav´ara v´altak. A 8. fejezethez Ron Olowin szolg´alt e´rte´kes tan´a-
csokkal, mely fejezet a 7. mellett kiz´aro´lag e ko¨nyv sz´am´ara ´ıro´dott. Az elso˝
v´altozatf´aradhatatlanszerkeszto˝jeSusanMoranvolt, azu´jkiad´asNormaRoche
munk´aj´anaknyom´atviselimag´an.
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
Prolo´gus – Mi a matematika?
Nem csak a sza´mok
Mi a matematika? Ha e k´erde´st nekiszegezzu¨k valakinek, felteheto˝en a ko¨-
vetkezo˝ v´alaszt kapjuk: „A matematika a sz´amokat vizsg´alja.” Ha nem hagyjuk
ennyiben, s arra is k´ıv´ancsiak vagyunk, mif´ele vizsg´alat ez, az illeto˝ tal´an ponto-
s´ıtja v´alasz´at: „A matematika a sz´amok tudoma´nya.” De enne´l to¨bbre nemigen
juthatunk–holott„defin´ıcio´nk”m´arlegal´abbke´tezer-o¨tsz´aze´veideje´tmu´lta!
Nehezenv´arhato´ elteh´at,hogyanembennfentes´atlagemberfelismerje: valo´-
j´abanvil´agme´retu˝,folytonos,akt´ıvkutato´munk´aro´lvanszo´,mike´ntazsem,hogy
elismerje, e kutato´munka eredme´nyei e´letu¨nk legku¨lo¨nfe´le´bb teru¨letein hagytak
e´shagynakmaradando´ nyomot.
Ato¨rte´nelemfolyam´anamatematikamibenle´te´tfirtato´ke´rde´srealegku¨lo¨nfe´-
le´bbv´alaszokszu¨lettek.
Hozz´aveto˝legesen Kr.e. 500-ig a – babiloni e´s egyiptomi – matematika te´ny-
legesen a sz´amok tudom´anya volt, „szak´acsko¨nyv-szeru˝”, sz´amol´asi receptekre
szakosodott tudom´any. („Vedd ezt e´s ezt a sz´amot, tegye´l vele ezt, azt, amazt – s
megkapodahelyesv´alaszt.”)
A Kr.e. 500 ko¨ru¨l kezdo˝do˝ mintegy nyolc e´vsz´azad a go¨ro¨g matematika vi-
r´agkora, az e´rdeklo˝de´s ko¨ze´ppontj´aba ekkor a geometria keru¨lt, s a sz´amokat
is geometriai mo´don, bizonyos szakaszok hosszake´nt e´rtelmezte´k; mikor pedig
felfedezte´k, hogy sz´amfogalmuk ele´gtelen ahhoz, hogy seg´ıtse´ge´vel minden le-
hetse´ges–irracion´alis–hosszu´s´agotkifejezzenek,elisfordultakazaritmetik´ato´l.
Ago¨ro¨go¨kszeme´benamatematikam´arasz´amok´esageometriaialakzatoktudo-
m´anyavolt.
A go¨ro¨g korszak legjelento˝sebb u´jdons´aga azonban az, hogy a mindaddig a
me´re´s,asz´amol´ase´selsz´amol´asku¨lo¨nfe´letechnik´ainakgyu˝jteme´nyeke´ntsz´amon
tartottmatematikavalo´ditudom´anny´a,me´ghozz´avonzo´e´sizgalmastudom´anny´a
v´alt. A go¨ro¨go¨k m´ar nem csup´an a hasznoss´agot tisztelte´k: felismerte´k mate-
© Keith Devlin
© Typotex Kiadó
10 Prolo´gus–Miamatematika?
matikaieredme´nyeikeszte´tikaie´rte´ke´t,mito¨bb,alegszebbte´teleknekmisztikus-
vall´asijelento˝se´gettulajdon´ıtottak. Thale´szto˝leredameggyo˝zo˝de´s,melyszerinta
pontosankimondott´all´ıt´asokatform´alis-logikaibizony´ıt´asnakkellal´at´amasztani,
amegtisztelo˝ t´etelc´ımetcsak´ıgye´rdemelhetikki. Efelfog´asazo´ta–mondanunk
semkell–amatematikasohake´tse´gbenemvontsarokko¨ve´ve´v´alt. Ago¨ro¨gmate-
matikacsu´cspontjaazEuklide´sz´altalo¨ssze´all´ıtott Elemek, mindenido˝km´asodik
legsikeresebbko¨nyve´nekmegjelene´se. (Azelso˝ terme´szetesenaBiblia.)
A matematika mozga´sba lendu¨l
T´argyunkban ege´szen a tizenhetedik sz´azad ko¨zepe´ig nem to¨rte´nt jelento˝sebb
elo˝rele´pe´s,amikorisNewtone´sLeibniz–egym´asto´lfu¨ggetlenu¨l–kidolgozt´akaz
anal´ızis, a mozg´as e´s a v´altoz´as matematikai tudom´any´anak alapjait. A matema-
tika,amelyaddigszintekiz´aro´lagstatikusnaktekintheto˝ ke´rde´sekkel–sz´amol´as,
me´re´s, alakzatok le´ır´asa – foglalkozott, ezt ko¨veto˝en m´ar olyan jelense´gek le´ır´a-
s´ara is alkalmass´a v´alt, mint a bolygo´mozg´as, a szabades´es, a folyade´k´araml´as, a
g´azokkit´agul´asa,azelektromoss´age´sam´agnesse´ghat´asai,arepu¨le´s,az´allatoke´s
ano¨ve´nyekszaporod´asa,aj´arv´anyokkito¨re´sevagyanyerese´gido˝beliingadoz´asa.
Newton e´s Leibniz ut´an a matematika meghat´aroz´asa m´ar´ıgy szo´lt: a sz´amok, a
geometriaialakzatok,valamintamozga´s,ava´ltoza´s´esat´ertudom´anya.
Az anal´ızis elme´lete´nek kidolgoz´asa sor´an a fo˝ inspir´acio´ a fizika teru¨lete´ro˝l
e´rkezett, a korszak nagy matematikusai egyszersmind a korszak nagy fizikusai is
voltak. A tizennyolcadik sz´azad ko¨zepe´to˝l azonban, mido˝n a legnagyobb elme´k
pro´b´alt´akfelder´ıteni, mi´allhatadifferenci´al- e´sintegr´alsz´am´ıt´assze´du¨letessike-
rei mo¨go¨tt, a matematika „alanyi jogon” is az e´rdeklo˝de´s ko¨ze´ppontj´aba keru¨lt.
U´jj´ae´ledtago¨ro¨gfelfog´as,melymindennekele´beaform´alisbizony´ıt´asthelyezte.
Atizenkilencediksz´azadve´ge´reamatematikameghat´aroz´asaennekmegfelelo˝en
u´jra mo´dosult: a sz´amok, a geometriai alakzatok, a mozg´as, a v´altoz´as e´s a te´r,
valamintazezekvizsga´lata´banalkalmazottmatematikaiarzena´ltudom´anya.
A huszadik sz´azadban a matematika robban´asszeru˝ fejlo˝de´sen ment keresztu¨l.
1900 ko¨ru¨l a matematikai ismereteket mintegy nyolcvan ko¨nyvben o¨ssze lehe-
tettvolnafoglalni–napjainkmatematik´ajalegal´abbsz´azezerko¨tetetmegto¨ltene.
Az eredme´nyek nem csup´an a re´giek u´j sarjai: a sz´ınen sz´amos, teljesen u´j tudo-
m´any´agismegjelent. 1900-banamatematik´anakhozz´aveto˝legesentucatnyi´ag´at
ismerte´k,to¨bbekko¨zo¨ttazaritmetik´at,azanal´ızistvagyageometri´at–manaps´ag
a tudom´any teljes katalogiz´al´as´ahoz legal´abb hatvan c´ımke´re lenne szu¨kse´gu¨nk.
Re´gebbi,egykoregyse´gestudom´any´agak,mintazalgebravagyatopolo´gia,re´sz-
teru¨letekre szakadtak, s olyan vadonatu´j teru¨letek jelentek meg a sz´ınen, mint
pe´ld´aulabonyolults´agelme´letvagyadinamikusrendszerekelme´lete.
© Keith Devlin
