Table Of Content..
MARTIN HOLMSTROM
EVA SMEDHAMRE
JONAS SJUNNESSON
• •
MARTIN HOLMSTROM
EVASMEDHAMRE
JONAS SJUNNESSON
MATEMATIK
LIBER
• • •
e e v e r o c a r a r e
I
Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik
kurs 3b och motsvarande kurser inom vuxenutbildning.
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna
uppgifterna!
I regelrutorna finns det som är extra viktigt.
Antalet värdesiffro
Det finns uppgifter i tre nivåer med olika fårg på uppgifts
numren. Grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå
fin11s något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu
svårare. Till vissa uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av
boken. I facit har dessa uppgifter röda uppgiftsnummer.
I varje kapitel finns det Fördjupningsavsnitt.
FORDJUPNIN
Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att
muntligt förklara matematiska begrepp.
I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa.
Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel
inledning. Den avslutande delen innebär att du ska
generalisera ett matematiskt samband.
I digitala rutan får du använda digitala verktyg för att
DIGITALA RUTA
lösa problem.
NOG-uppgifter har samma upplägg som på
NOG-UPPGIFTE
Högskoleprovet.
Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan
~
TEST
räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens
lösta exempel. I slutet av boken finns repetitionsavsnitt.
TANKE
Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns!
NÖT
Lycka till med kursen!
Författarna
3
1
EKVATIONER OCH FUNKTIONER 6
Förenkling av uttryck 6 Ändringskvot 88
Polynom 10 Vad betyder ändringskvoten för en
Ekvationer 13 graf? 93
Tillämpningar 15 En kurvas lutning 96
Andragradsekvationer 17 Beräkning av gränsvärden 103
Uppdelning i faktorer 22 Digitala rutan: Gränsvärde med
Faktorisering och ekvationer 25 räknare 109
Förkorta rationella uttryck 29 Använda derivatans definition 110
Mer om förenkling 33 Härledning av deriveringsregler 114
Faktorisera polynom 35 Derivera polynom 117
Rationella uttryck Upptäck & visa: Sekant och
multiplikation och division 38 derivata 121
addition och subtraktion 40 Digitala rutan: Derivata med
Upptäck & visa: Delbarhet 43 räknare 122
Repetition av räta linjen 44 Tolka derivatan 1 123
Mer om räta linjer 51 Tangenten till en kurva 128
Grafer och nollställen 54 Växande och avtagande 130
Lite om olikheter 57 Rita kurvor med hjälp av derivatan 136
Lösa olikheter från grafer 58 Konstantbestämning 141
Mer om grafer 63 Största och minsta värde 142
Olikheter med teckenstudium 66 Derivatans graf 145
Linjär optimering 70 Andraderivatan 152
F Ekvationer med nämnare 72 Maximi- och minimiproblem 155
F Mer om optimering 74 F Problemlösning, ekonomi 159
Digitala rutan: Rationella funktioner 76 Tolka derivatan 2 161
Sammanfattning 77
,Fx
Derivatan av y = och y = _!_ 163
Blandade uppgifter 78
X
Diskontinuerliga funktioner 16 7
Nog-uppgifter 84
Diskret funktion 169
Test lA 85
F Härledning av derivatorna till
Test lB 87
1
-Fx
och - 170
X
4
F Mer problemlösning 172
F Inflexionspunkt och derivata 174
Sammanfattning 175
Primitiva funktioner 238
Blandade uppgifter 177
Primitiva funktioner med villkor 243
Nog-uppgifter 183
Beräkna integraler 245
Test 2A 184
Arean av ett område mellan två
Test 2B 186
kurvor 251
Mer om area 258
Kan en integral ha värdet noll? 260
Upptäck & visa: Förhållandet mellan
areor 264
Digitala rutan: Integraler med
Potenser 188
räknare 265
Talföljder 193
Tillämpning av integraler 266
Geometriska talföljder 195
F Bevis: A(x) = F(x) 270
Geometriska talföljdens summa 198
Sammanfattning 271
Successiva inbetalningar 201
Blandade uppgifter 272
F Summatecken 206
Nog-uppgifter 276
Funktionen y = ex 207
Test 4A 277
Euler och talet e 210
Test 4B 279
F Härledning av talet e 211
Derivatan av y = ex 213
Naturliga logaritmer 216
Derivatan av y = 2x 221
Problemlösning 223
Repetition 1 281
Digitala rutan: Funktionen y = ex 226
Repetition 2 285
Upptäck & visa: Logaritmer 227
Repetition 3 292
Sammanfattning 228
Repetition 4 299
Blandade uppgifter 230
Nog-uppgifter 234
Test 3A 235
Test 3B 236
Facit Tankenötter 328
Facit Upptäck & visa 329
Facit Digitala rutan 330
Facit NOG-uppgifter 330
Ledtrådar och lösni11gar 331
Sakregister 336
5
••
FORENKLING AV UTTRYCK
Flera avsnitt i detta kapitel är repetition av tidigare kurser.
Om du redan behärskar momenten kan du gå vidare till nästa.
I det här avsnittet ska vi träna på att förenkla olika uttryck.
Den del av matematiken som sysslar med bokstavsuttryck kallas algebra.
En rektangulär teaterscen ska byggas.
På scengolvet finns ett kvadratiskt hål enligt figuren.
Figuren är inte skalenligt ritad, men har
de mått (m) som anges i bilden.
Ht1r stor är scengolvets area?
x-5 x - 1
x-5
x+3
Vi skriver ett uttryck för golvets area och förenklar detta.
Golvets area = rektangelns area - kvadratens area
Golvets area = (x + 3)(x - 1) - (x - 5)2 =
= x2 x + 3x - 3 - (x2 IOx + 25) = Observera minustecknet framför parentesen!
- -
= x2 + 2x - 3 - x2 + IOx - 25 =
= 12x - 28
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
Vi h ar fått ett uttryck för scengolvets area.
Arean = 12x - 28
Beroende p å vilket värde som variabeln x har, får vi olika värden p å arean.
Låt oss t ex bestä.mma golvets area då x = 7 m.
Vi sätter in x = 7 i uttrycket och får
A = 12 · 7 - 28 = 84 - 28 = 56
För x = 7 m är arean alltså 56 m 2
•
a(b + c) = ab + ac Distributiva lagen
=
(a + b)(c + cl) ac + ad+ be+ bd Parentesmultiplikation
=
(a + b) (a - b) a2 b2 Konjugatregeln
-
=
(a + b)2 a2 + 2ab + b2 Första kvadreringsregeln
(a - b)2 = a2 2ab + b2 Andra kvadreringsregeln
-
Ett uttryck somt ex 5x2 8x + 10 kallas ett polynom där x är variabel.
-
Polynomet består av 3 termer där talen 5 och -8 kallas koefficienter.
Ett polynom som bara har 2 termer tex 7x + 8 kallas ett binom.
Skriv som polynom.
3p(p - 3p · p - 3p · 3p
a) 4) = 4 = 2 12p
-
b) x2(x + 3) - x(x2 1) = x3 + 3x2 x3 + x = 3x2 + x
- -
c) (4x + 3)(x - 2) = 4x2 8x + 3x - 6 = 4x2 5x - 6
- -
a) (x + 6)2 = x2 + 2 · x · 6 + 62 = x2 + 12x + 36
b) (3 - 4x)2 = 32 2 · 3 · 4x + (4x)2 = 9 - 24x + 16x2
-
c) x(4 + x) - (x + 2)2 = 4x + x2 (x2 + 4x + 4) =
-
= 4x + x2 x2 4x - 4 = - 4
- -
EKVATIONER OCH FUNKT IONER
a) (s3 + 8)2 = (s3 2 + 2 · s3 8 + 82 = s6 + 16s3 + 64
) •
Lägg märke till att (s3 2 = s3 2 = s6
) ·
= =
b) 3(x + h)2 3(x2 + 2xh + h2 3x2 + 6xh + 3h2
)
c) (x + 2)3 = (x + 2)(x + 2)2 = (x + 2)(x2 + 4x + 4) =
= x3 + 4x2 + 4x + 2x2 + 8x + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Förenkla
1001 a) 5(7x + 3) + 2(x - 3) b) 3x(9 - 2x + x2 + x
)
1002 a) 4(a - 6) - 2(1 + a) b) 8y(y- 1) - 2(3y2 + y) + 7y
1003 a) (x - 9)(x + 7) - x2 b) (3a - 4b)(8a - 7b) - 14(a2 + 2b2
)
1004 Utveckla kvadraterna
a) (x + 6)2 b) (a - 9)2 c) (3x + 4)2
d) (1 - 9x)2 e) (2a + 3b)2 f) (7c - 2x)2
1005 Multiplicera följande binom.
a) (x3 + 7x)(x2 4) b) (3a2 + 5a)(a2 + 2a3
- )
Förenkla
1006 a) x3(x - 6) - x2(2x + x2 b) 8a3 (4a - 1)(3 - 2a2
) - )
1007 a) (p + 9)2 + (p + 1)2 b) (x - 2)2 + (x - 3)2 2x2
-
c) (x + 5)2 (x + 4)2 d) (x - 8)2 (x - 7)2
- -
1008 a) (2r - 7)2 + (r + 8)2 b) (3x + 5)2 + (5x - 1)2 20x
-
c) (x2 + 2)(4x - 2x2 + 2x4 d) (2x3 + 0,5x)2 2x2(x4 + x2
) - )
1009 Förklara varför (a - b)2 och (b - a)2
alltid betyder samma sak.
1010 Utveckla kvadraterna
a) (x2 + 8)2 b) (2y2 - 5)2
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
1011 Förenkla
a) x6 (2 - x3 2 b) (3x2 6)2 + 36x2
- ) -
1012 Utveckla kvadraterna
a) (a3 + 7b)2 b) (x3 3x2 2
- )
1013 Förenkla och skriv som polynom.
a) (0,5x + 2)2 2(x + 2) b) (0,8x + 5)2 (0,2x + 20)2 + 375
- -
c) (3y2 + 4y)2 3y3(3y - 8) d) (x2 x)(x2 + x) - x(x3 x)
- - -
1014 Förenklingen nedan är inte korrekt!
Förklara vad som är fel, och gör en
korrekt förenkling.
3 - ( 7) ( 2 6)
=
+
X - X
3 - Zx2 6x - I 4x - 42
= + =
2 2 8 3
= - x - Cf
X -
1015 Förenkla uttrycken
a) 2(x + h)2 2(x2 + h2 b) (a + 3)3 27(a + 1)
- ) -
c) 3(x - 2)2 2(x - 3)2 d) (x - h)3 + h(x + h)2
-
1016 Beräkna utan räknare.
(Js-h)2 (J?+J3)(J7-J3)
a) b)
1017 Förenkla och svara i exakt form.
1018 Förenkla så långt som möjligt
~+y+2)(3+zj-~-~(-3-zj
TANKENÖT 1
Min ålder är inte en
jämn kvadrat, men om
30 år blir den det och för
30 år sedan var den det.
Hur gammal är jag?
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
POLYNOM
p(x) = 2x3 5x - 7 är ett polynom av tredje graden.
-
Polynomets gradtal bestäms av den term som har störst exponent.
Talen 2 och -5 kallas för koefficienter och -7 är en konstantterm.
tredjegradskoefficient förstag radskoefficient
t i
2x3 -5x 7
tredjegradsterm förstagradsterm konstantterm
Polynomet x3 + 4x2 3x + 8 är exempel på ett fullständigt
-
tredjegradspolynom. Det betyder att det finns termer med
samtliga heltalsexponenter från tre och nedåt (3, 2, 1 och 0).
Polynomet 2x3 5x - 7 är också av tredje graden men är ofullständigt.
-
Ett polynom är en summa av termer där varje variabel
har positiva heltal som exponent, dvs 0, 1, 2 osv.
Den största exponenten anger polynomets grad.
Här ska du ange koefficienter, konstantterm, gradtal samt om
polynomet är fullständigt.
a) 5x3 2x2 + 7x + 8
-
Koefficienterna är 5, -2 och 7.
Konstanttermen är 8.
Polynomet är av tredje graden och fullständigt.
b) 3x4 + l7x - 9
Koefficienterna är 3 och 17. Konstanttermen är - 9.
Gradtalet är 4. Polynomet är ofullständigt eftersom både
x3-term och x2-term saknas.
EKVATIONER OCH FUNKTIONER
