Table Of ContentCOPPETTI
MATEMATICAS
Segundo Año
ALGEBRA
Programa del affo 1963
MATEMATICAS
SEGUNDO AÑO
ALGEBRA
OBRAS DEL MISMO AUTOR
Textos aprobados por las autoridades universi-
tarias del Uruguay, Argentina, Venezuela, etc.
(Para Enseñanza Secundaria)
ARITMETICA primer año Programa del año 1963.
ELEMENTOS DE ARITMETICA primer año (12 ediciones).
GEOMETRIA PLANA, primer año (13 ediciones).
ALGEBRA ELEMENTAL, segundo año (13 ediciones).
GEOMETRIA RACIONAL, segundo año (13 ediciones).
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA, tercer año (12 ediciones).
GEOMETRIA DEL ESPACIO, tercer año (9 ediciones).
MATEMATICAS APLICADAS 1? parte, cuarto año (9 ediciones).
MATEMATICAS APLICADAS 2? parte, cuarto año (9 ediciones).
TABLAS DE LOGARITMOS, TRIGONOMETRICAS, etc. (12 ediciones).
MATEMATICAS 2? AÑO - Algebra. Programa del año 1963.
MATEMATICAS 3? AÑO - Algebra. Programa del año 1963.
MATEMATICAS 4? AÑO - Algebra. Programa del año 1963.
(Para Enseñanza Preparatoria de Facultades)
CURSO DE TRIGONOMETRIA (Plana y Esférica) primer año (7 ed.).
MATEMATICA (Algebra y Geometría) primer año (agotada)
CURSO DE TRIGONOMETRIA ESFERICA (agotada).
(Para R. Argentina). Programa de los años 1940-42-45-49:
ARITMETICA primer año. — GEOMETRIA primer año — ARIT-
METICA segundo año. — GEOMETRIA segundo año. — ARITMETICA
Y ALGEBRA tercer año. — GEOMETRIA tercer año. — ARITMETICA Y
ALGEBRA cuarto año. — GEOMETRIA DEL ESPACIO cuarto año. —
TRIGONOMETRIA quinto año.
Otras obras
TABLAS SINOPTICAS DE ARITMETICA Y GEOMETRIA, para ingre
so y primer año de secundaria, comercial, industrial, etc. (5 ediciones).
TABOAS “COPPETTI” (Edición brasileña de la Tabla de log.).
MALBA - TAHAN “EL HOMBRE QUE CALCULABA". Traducción y
ampliación con “Curiosidades matemáticas".
Ing. MARIO COPPETTI
MATEMATICAS
SEGUNDO AÑO
ALGEBRA
PROGRAMA DEL ARO 1963
DISTRIBUIDORES GENERALES
ARGENTINA: Lib. del Colegio: Bs. As. GUATEMALA: Librería “Pax”.
BOLIVIA: Gisbert y Cía.: La Paz PARAGUAY: Lib. Universal: Asunción
COLOMBIA: Camacho Roldán: Bogotá PERU: Lib. Internacional: Lima
ECUADOR: Lib. Universitaria: Quito URUGUAY: Barreiro y Ramos S. A.
ESPAÑA: Lib. Bosch: Barcelona VENEZUELA: Distribuidora Escolar.
INDICE DE CAPITULOS
Y
PROGRAMA OFICIAL
(Aprobado en el año 1963)
ALGEBRA
Pág.
RADICACION DE NUMEROS NATURALES (CAPITULO I) ......... 1
Raíz cuadrada y raíz enésima de un número natural. Defi-
nición. Cálculo de la raíz enésima exacta por desocmpo-
sición en factores primos. Cálculo de la raíz cuadrada; es-
tudio razonado del mecanismo de la operación. (5 horas).
NUMEROS RELATIVOS (CAPITULO II) .................................... 18
Problemas que los originan. Definición. Valor absoluto. Los
números relativos en la recta. Igualdad y desigualdad de nú-
meros relativos: definiciones y propiedades. Densidad. Opera-
ciones racionales con números relativos: definiciones y pro-
piedades. Adición y sustracción en la recta numérica. (10
horas).
FUNCIONES ENTERAS DE UNA VARIABLE (CAPITULO III) . . 50
Noción de variable. Noción de función. Funciones monomias y
polinomias. Igualdad de funciones. Ceros o raíces de una fun-
ción. Polinomio nulo. Polinomios opuestos. Adición y sustrac-
ción de funciones: definiciones y propiedades. (6 horas).
ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO (CAPITU-
LO IV) ........................................................................................... 73
Problemas sencillos que originan ecuaciones e inecuaciones de
primer grado con una incógnita y su resolución basada en las
definiciones y propiedades de) algoritmo algebraico. (6 horas).
MULTIPLICACION DE FUNCIONES ENTERAS DE UNA VA-
RIABLE (CAPITULO V) ......................................................... 108
Multiplicación de funciones: definición y propiedades. Poten-
cia de monomios. Cuadrado y cubo de binomios. Productos
notables. (4 horas).
DIVISION DE FUNCIONES ENTERAS DE UNA VARIABLE (CAPI-
TULO VI) .................................................................................... 118
División exacta: definición y cálculo del cociente. División
entera: definición y cálculo del cociente y del resto. (4 horas).
GRAFICA DE FUNCIONES (CAPITULO VID.................................... 129
Definiciones y aplicaciones. Función lineal de una variable.
Proporcionalidad. (8 horas)
PROBLEMAS PARA RESOLVER........................................................... 148
RESUMEN DE LA HISTORIA DEL ALGEBRA ELEMENTAL 172
TABLA DE CUADRADOS Y CUBOS de los números 1 a 200 175
PREFACIO
La presente obra ajusta a los Nuevos Programas (Reforma
del año 1963) nuestro texto "Algebra Elemental 2° año que
veníamos publicando en ediciones anteriores para el mismo
ciclo de Enseñanza Secundaria.
Con esta publicación completamos la colección de nues-
tros textos (Aritmética 1°, Algebra 4° y Algebra 3o) escritos en
estos últimos cuatro años conforme a los N. P.
En esta edición hemos empleado de preferencia la me-
todología que desde largos años venimos aplicando como auto-
res de obras de texto de Matemáticas para nuestra enseñanza
media. No obstante, en algunas de las demostraciones rea-
lizadas hemos estimado conveniente hacer unas breves refe-
rencias a la matemática moderna, empleando al efecto las
nuevas notaciones indicadas en el cuadro de signos que pu-
blicamos al principio de este libro, en la esperanza de que el
estudiantado pueda así apreciar las ventajas del empleo de
dichas notaciones tendientes a abreviar la exposición.
Esperamos que la edición sea acogida con el mismo fa-
vorable éxito que las anteriores, y agradecemos desde ya las
observaciones y sugestiones que tengan a bien formularnos
los distinguidos colegas, las que contribuirán a corregir la
presente obra de sus deficiencias y mejorar lo que hubiere
de acierto.
M. C.
Montevideo, marzo de 1968.
DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS
PRÓLOGO
El Maestro y los jóvenes alumnos Jorge y Walther:
MAESTRO. — Jorge, piensa un número.
JORGE. — Ya está.
MAESTRO. — Agrégale uno.
JORGE. — Ya está.
MAESTRO. — ¿Cuánto te dióf
JORGE- — Cinco.
MAESTRO. — Tú, Walther, adivina el número que pensó Jorge.
WALTHER. 5 — 1 = 4; este es el número pensado.
MAESTRO. — Bien, Walther, diste un primer paso en Algebra
Los mismos alumnos:
MAESTRO. — Walther, piensa un número, duplícalo, agrégale 3,
di el resultado, y tú, Jorge, adivina el número pensado.
WALTHER. 17-
JORGE. (17 — 3) :2 = 7.
MAESTRO. — Muy bien, Jorge, diste un paso bastante largo en
Algebra.
Luego el Maestro continúa su clase:
MAESTRO.—Pasos análogos a los que ustedes acaban de dar, fue-
ron dados también desde épocas muy remotas, y en todas las civi-
lizaciones. en el campo de esta hermosa rama de la Matemática.
Lo atestiguan el famoso papirus de Ahmes que data de más de
4000 años, y otras obras de los más antiguos algebristas árabes, per-
sas e italianos.
Al respecto, les referiré, tal como lo hizo su autor, uno de los
curiosos problemas que figuran en la obra llamada “Líber Abaoi”,
que en 1202 publicó el matemático italiano Leonardo de Pisa, cono-
cido con el nombre de Fibonacci, y que les mostrará el grado de
adelanto que acusaba ya en aquella época la ciencia matemática.
El problema es el siguiente:
“Un devoto rogó a Júpiter que le duplicara el número de mone-
“ das que tenía en el bolsillo, y que por ello le pagaría 8 mone-
“ das. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que realizara igual mi-
“ lagro, y pagó 8 monedas; finalmente rogó a Mercurio que le
“ duplicara el número de monedas, y le pagó 8 monedas; así se
“ encontró finalmente, poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenía
“al principio V9
Fibonacci resuelve el problema por el método llamado en aquel
entonces “regula recta” (regla directa).
Dice: “Llamemos cosa (en latín res) al capital inicial; lo du-
plicó y tuvo 2 cosas; pagó 8 monedas y le quedaron 2 cosas — 8 mo-
nedas. Lo duplicó la segunda vez, y tuvo 4 cosas — 16 monedas.
Pagó 8 monedas y quedó con 4 cosas — 24 monedas. La duplicó
la tercera vez y tuvo 8 cosas — 48 monedas. Pagó 8 monedas, y le
quedaron 8 cosas — 56 monedas, *por consiguiente, 8 cosas = 56 mo-
nedas, y cosa = 7 monedas”*
Este mismo proceso emplearíamos hoy, en Algebra, con la dife-
rencia de que, en lugar de cosa diríamos x.
Más tarde, el matemático francés Vieta, en su Tratado publicado
en 1591 con el título de Introducción al Arte analítico, representó
por letras, tanto las cantidades conocidas como las
desconocidas, y creó, puede decirse, el álgebra actual,
ciencia de los símbolos, cuyo poder, ai decir de un
historiador matemático, reside precisamente en las com-
binaciones de sus signos que, facilitando el razona-
miento, conducen por vía misteriosa a los resultados
deseados.
No considero oportuno darles una definición del
Peo. VIETA Algebra, por cuanto cada uno de ustedes podrá ha-
(1640 - 1603) cerlo a su modo, si lo estima necesario, después de
haber experimentado la satisfacción de hallar la solución de
algunos problemas y cuestiones que se tratarán en este curso.
m. a
SIGNOS USUALES EN ARITMETICA
+ Más
Nuevas notaciones
— Menos A = ^a,b,c,.. El conjunto
× Multiplicado por A tiene por elementos
a,b,c,... ,m
Multiplicado por
(5 , o } Conjunto vacío
Dividido por
e Pertenece a, o es elemen-
± Más o menos to de
zp Menos o más 4 No pertenece a, o no es
= Igual a elemento de
= Idéntico con => Implica, o corresponde
=/= No es igual a <=> Implica recíprocamente, o
sí y sólo si
es Aproximadamente iguales
C Incluido en, o subconjun-
a Múltiplo de a to de
< Menor que □ Contiene a, o superconjun-
> Mayor que to de
U Unión
Menor que o igual a
O Intersección
Menor que o igual a
7* Coordinable con
Mayor que o igual a
~ Equivalente a
Mayor que o igual a
Por tanto, por ser Letras griegas más usadas
Porque a Alpha (Se pronuncia: alfa)
V Raíz cuadrada 0 Beta
y Gamma
'ty Raíz cúbica
8 Delta
Raíz cuarta
e Epsilon
V Raíz enésima k Lambda
S Suma de |x Mu
÷ Progresión aritmética x Pi
p Rho
÷÷ Progresión geométrica
q Phi (Se pronuncia: fi)
©o Infinito Psi
ic Pi, 3,1416 o Omega
NOTA.— El conjunto de signos titulado Nuevas notaciones que publicamos ahora
por primera vez en este cuadro, ocupa el lugar tipográfico de los referentes a
Geometría que veníamos publicando en ediciones anteriores de Aritmética; estos
últimos signos se publicarán en las próximas ediciones de Geometría.
