Matemáticas básicas para economistas: Fundamentos

424 Pages·2009·35.11 MB·Spanish

by  Sergio Monsalve (Editor)

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MATEMATICAS BASICAS PARA
ECONOMISTAS
VOLUMEN 0
F
UNDAMENTOS

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MATEMATICAS BASICAS PARA
ECONOMISTAS 0
F
UNDAMENTOS
Con notas histo´ricas y contextos econo´micos
SERGIO MONSALVE
EDITOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONO´MICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Catalogaci´onen la publicaci´on Universidad Nacional de Colombia
Matem´aticas b´asicas para economistas: con notas hist´oricas y contextos econ´omicos
/ ed. Sergio Monsalve. - Bogot´a : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de
Ciencias Econ´omicas,2009
4 v.
Incluye referencias bibliogr´aficas
Contenido : v. 0. Fundamentos. – v. 1. Algebra lineal. – v. 2. C´alculo. –
v. 3. Optimizaci´on y din´amica
ISBN 978-958-719-304-6(v. 0). - ISBN 978-958-719-305-3(v. 1). -
ISBN 978-958-719-306-0(v. 2). - ISBN 978-958-719-307-7(v. 3)
1. Matem´aticas 2. Modelos econ´omicos 3. Matem´aticas para economistas
4. A´lgebra lineal 5. C´alculo 6. Optimizaci´on matem´atica 7. Programaci´on
din´amica
I. Monsalve G´omez, Sergio, 1962-, ed.
CDD-21 510.2433/ 2009
Matem´aticas B´asicas para
Economistas 0: Fundamentos
cSergio Monsalve G´omez
(cid:13)
cUniversidad Nacional de Colombia
(cid:13)
cFacultad de Ciencias Econ´omicas
(cid:13)
Primera edici´on, 2009
ISBN: 978-958-719-304-6
Disen˜o de car´atula
Colaboradores del autor:
A´ngela Pilone Herrera
Fernando Puerta
Correcci´on de estilo Escuela de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia,
Cecilia G´omez
Medell´ın
Disen˜o de p´aginas interiores y
Olga Manrique
armada electr´onica
Escuela de Econom´ıa
Nathalie Jim´enez Mill´an
Universidad Nacional de Colombia,
Impresi´on: Bogot´a
Editorial Universidad Nacional de
Colombia
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Indice general
1. Lecci´on 1
Sobre la geometr´ıa, la aritm´etica y la trigonometr´ıa grie-
gas 1
1. Sobre la geometr´ıa y la aritm´etica griegas cl´asicas . . . . . . . . 3
2. Sobre el Libro I de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . . 4
a. Explicaciones y definiciones del Libro I de Euclides . . . 4
b. Postulados del Libro I de Euclides . . . . . . . . . . . . 8
c. Nociones comunes del Libro I de Euclides . . . . . . . . 9
d. Las proposiciones y los problemas del Libro I de Euclides 10
3. Sobre el Libro II de los Elementos de Euclides. . . . . . . . . . 24
4. Sobre el Libro III de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 27
5. Sobre el Libro IV de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 30
6. Sobre el Libro V de los Elementos de Euclides. . . . . . . . . . 31
7. Sobre el Libro VI de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 32
8. Sobre el Libro VII de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 33
9. Sobre el Libro VIII de los Elementos de Euclides . . . . . . . . 34
10. Sobre el Libro IX de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 34
11. Sobre el Libro X de los Elementos de Euclides. . . . . . . . . . 37
12. Sobre el Libro XI de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 37
13. Sobre el Libro XII de los Elementos de Euclides . . . . . . . . . 42
14. Sobre el Libro XIII de los Elementos de Euclides . . . . . . . . 45
15. Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
16. Geometr´ıa y aritm´etica griega alejandrina . . . . . . . . . . . . 47
17. Sobre la trigonometr´ıa en la Grecia alejandrina . . . . . . . . . 49
a. Relaciones trigonom´etricas de Hiparco y Ptolomeo . . . 58
18. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2. Lecci´on 2
El ´algebra de los siglos XVI y XVII 77
1. Las leyes fundamentales del ´algebra de nu´meros . . . . . . . . . 78
2. Breve sobre potenciaci´on y radicales . . . . . . . . . . . . . . . 83
vii
viii Matem´aticas b´asicas para economistas 0: Fundamentos
a. Exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
b. Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3. Breve sobre factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
a. Algunos productos especiales y el proceso de factorizaci´on 90
b. La f´ormula binomial de Newton (1676) . . . . . . . . . . 92
4. Racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3. Lecci´on 3
La geometr´ıa anal´ıtica de Descartes y Fermat 107
1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
a. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2. La ecuaci´on de primer grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
a. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . 115
3. La ecuaci´on de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
a. La ecuaci´on de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . 120
b. La ecuaci´on de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
c. La ecuaci´on de la par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . 125
d. La ecuaci´on de la hip´erbola . . . . . . . . . . . . . . . . 129
e. Ecuaci´on general de segundo grado . . . . . . . . . . . . 132
4. Curvas trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
a. La curva seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
b. La curva coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
c. La curva tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
a. Definici´on, norma e igualdad de vectores . . . . . . . . . 139
b. A´lgebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
a. Ecuaci´on polar de una l´ınea recta . . . . . . . . . . . . . 144
b. Ecuaci´on polar de una circunferencia . . . . . . . . . . . 146
c. Ecuaci´on polar de una c´onica . . . . . . . . . . . . . . . 148
d. Ecuaciones polares de curvas cl´asicas . . . . . . . . . . . 151
7. Coordenadas param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8. Teorema fundamental del ´algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
a. Nu´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
b. Ra´ıces de una ecuaci´on algebraica . . . . . . . . . . . . 164
c. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Matem´aticas b´asicas para economistas 0: Fundamentos ix
4. Lecci´on 4
Sobre los fundamentos para las matem´aticas contempor´a-
neas 201
1. S´ımbolos l´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
a. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
b. Los s´ımbolos conectivos de la l´ogica . . . . . . . . . . . 204
c. Las tablas de verdad: axiomas de la l´ogica . . . . . . . . 205
d. Tautolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2. Nociones de la teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 213
a. Noci´on de conjunto y definiciones b´asicas . . . . . . . . 217
b. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3. Los nu´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
a. Los nu´meros naturales (N): descripci´on . . . . . . . . . 231
b. Los nu´meros enteros (Z): descripci´on . . . . . . . . . . . 233
c. Los nu´meros racionales (Q): descripci´on . . . . . . . . . 235
d. Los nu´meros reales (R): definici´on axiom´atica . . . . . . 238
4. Intervalos de nu´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5. Valor absoluto de un nu´mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6. Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
a. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
b. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
c. Formas funcionales b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . 276
d. A´lgebra de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 285
e. Composici´on de funciones reales . . . . . . . . . . . . . 286
f. Inversi´on de funciones reales. . . . . . . . . . . . . . . . 288
g. Funciones trigonom´etricas inversas . . . . . . . . . . . . 291
7. Funciones de dos variables reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8. Contexto econ´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
a. Sobre los or´ıgenes de la econom´ıa matem´atica . . . . . . 305
b. Algunos economistas sobre el m´etodo matem´atico en
econom´ıa:Cournot,Jevons,Marshall,Walras,Koopmans,
Kantorovich, Allais y Debreu . . . . . . . . . . . . . . . 306
c. Sobre ciertas funciones de la teor´ıa econ´omica . . . . . . 330
Bibliograf´ıa 357
Respuestas 379
´Indice alfab´etico 395
La ciencia se ha construido para satisfacer
ciertas necesidades de nuestra mente;
ella nos describe.
Y aunque tiene cierta relacio´n con el mundo real,
esa relacio´n es muy, muy compleja.
Robert J. Aumann
Premio Nobel de Econom´ıa 2005