MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES Dra ...

176 Pages·2014·1.76 MB·Spanish

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA
CUADERNO DE EJERCICIOS
SOLUCIONES
Dra. Lorena Zogaib
Departamento de Matemáticas
ITAM
Agosto 4, 2014
1
INTRODUCCIÓN
Este documento constituye un material de apoyo para el curso de
Matemáticas Aplicadas a la Economía, para las carreras de Economía y
Dirección Financiera en el ITAM. Contiene las soluciones detalladas del
documento de trabajo Matemáticas Aplicadas a la Economía, Cuaderno
de Ejercicios, Lorena Zogaib, Departamento de Matemáticas, ITAM,
agosto 4 de 2014.
Todaslassolucionesfueronelaboradaspormí, sinunarevisióncuida-
dosa, por lo que seguramente el lector encontrará varios errores en el
camino. Ésta es una transcripción en computadora, de mis versiones
manuscritasoriginales. Paraestefin, contéconlacolaboracióndeCarlos
Gómez Figueroa, que realizó la primera transcripción de las soluciones
en Scientific WorkPlace.
Agradezco de antemano sus comentarios y correcciones en relación
con este material.
Lorena Zogaib
2
MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA
TAREA 1 - SOLUCIONES
ECUACIONES EN DIFERENCIAS I
(Temas 1.1-1.3)
1. (a) x = √3tx esunaecuaciónnoautónoma,lineal,homogénea.
t+1 t
(b) x (1 x ) = x es una ecuación autónoma, no lineal.
t+1 t t
−
(c) x 3x + 4 = 0 es una ecuación autónoma, lineal, no
t t 1
− −
homogénea.
2. (a) x = 3t+1 +2 = x = 3(t+1)+1 +2 = 3t+2 +2
t t+1
⇒
∴ 3x 4 = 3(3t+1 +2) 4 = 3t+2 +6 4 = 3t+2 +2 = x
t t+1
− − −
∴ 3x 4 = x
t t+1
−
(b) z = t2 +t = z = (t 1)2 +(t 1)
t t 1
⇒ − − −
∴ z z = (t2 +t) (t 1)2 +(t 1)
t t 1
− − − − −
= (t2 +t) (t2 2t+1+t 1) = 2t
−(cid:1) − −(cid:2)
∴ z z = 2t
t t 1
− −
(c) a = 2(5)t/2 = a = 2(5)(t+1)/2
t t+1
⇒
2 2
∴ a2 5a2 = 2(5)(t+1)/2 5 2(5)t/2
t+1 − t −
= 4(cid:3)(5)t+1 5(cid:4)4(5)t(cid:3)= 0 (cid:4)
−
∴ a2 = 5a2
t+1 t (cid:1) (cid:2)
3. La solución de la ecuación lineal autónoma x = ax + b, con
t+1 t
condicióninicialx ,es: i)x = x +bt,sia = 1,ii)x = at (x x ) +x ,
0 t 0 t 0 ∗ ∗
−
b
si a = 1, en donde x = es el punto fijo.
∗
(cid:4) 1 a
−
(a) Ecuación:
P = 2P
t t 1
−
Solución:
El punto fijo es P = 0. Suponiendo que la población inicial
∗
es P , la solución es
0
P = 2tP , t = 0,1,2,...
t 0
(b) Ecuación:
K K = rK , o bien, K = (1+r)K
t+1 t t t+1 t
−
Solución:
El punto fijo es K = 0. Suponiendo que el capital inicial es
∗
K , la solución es
0
K = (1+r)tK , t = 0,1,2,...
t 0
3
(c) Ecuación:
K K = rK , o bien, K = K +rK
t+1 t 0 t+1 t 0
−
Solución:
Suponiendo que el capital inicial es K , la solución es
0
K = (1+rt)K , t = 0,1,2,...
t 0
(d) Ecuación:
I I = rI +d, o bien, I = (1+r)I +d
t t 1 t 1 t t 1
− − − −
Solución:
d
El punto fijo es I = . Suponiendo que la inversión inicial
∗
−r
es I , la solución es
0
d d
I = (1+r)t I + , t = 0,1,2,...
t 0
r − r
(cid:5) (cid:6)
4. (a) x = (1/2)x +3, x = 3
t+1 t 0
−
Punto fijo:
x = (1/2)x +3
∗ ∗
−
∴ x = 2
∗
Solución:
x = ( 1/2)t(3 2)+2
t
− −
∴ x = ( 1/2)t +2, t = 0,1,2,...
t
−
Estabilidad:
lim x = lim ( 1/2)t +2 = lim ( 1/2)t +2 = 2 = x
t ∗
t t − t −
→∞ →∞ →∞
(cid:1) (cid:2)
=0
∴ x = 2 es asintóticamente estable.
∗
(cid:7) (cid:8)(cid:9) (cid:10)
El sistema presenta convergencia alternante.
Gráfica de la solución:
(b) 2x 3x 4 = 0, x = 0
t+1 t 0
− −
3
Reescribimos la ecuación como x = x +2
t+1 t
2
4
Punto fijo:
3
x = x +2
∗ ∗
2
∴ x = 4
∗
−
Solución:
x = (3/2)t(0 ( 4))+( 4)
t
− − −
∴ x = 4(3/2)t 4, t = 0,1,2,...
t
−
Estabilidad:
lim x = lim 4(3/2)t 4 diverge
t
t t −
→∞ →∞
lim x = 4 (cid:1)lim (3/2)t (cid:2) 4 = 4 = x
t ∗
t t − −
→−∞ →−∞
=0
∴ x = 4 es asintóticamente inestable.
∗
− (cid:7) (cid:8)(cid:9) (cid:10)
El sistema presenta divergencia monótona.
Gráfica de la solución:
(c) x x = (1/2)x +2, x = 0
t+1 t t 0
−
Este ejercicio es idéntico al del inciso anterior.
(d) x = x +5, x = 5
t+1 t 0
−
Punto fijo:
x = x +5
∗ ∗
−
5
∴ x =
∗
2
Solución:
5 5
x = ( 1)t 5 +
t
− − 2 2
(cid:5) (cid:5) (cid:6)(cid:6)
5
∴ x = 1+( 1)t , t = 0,1,2,...
t
2 −
Estabilidad:
(cid:11) (cid:12)
Notamos que
5, si t es par
x =
t 0, si t es impar
(cid:13)
∴ No existen limx y lim x .
t t
t t
→∞ →−∞
∴ El punto fijo no es estable, ni inestable (caso degenerado).
5
Gráfica de la solución:
5
(e) x = x +5, x =
t+1 t 0
− 2
Es la misma ecuación que en (c), pero con diferente x .
0
Punto fijo:
x = x +5
∗ ∗
−
5
∴ x =
∗
2
Solución:
5 5 5
x = ( 1)t +
t
− 2 − 2 2
(cid:5) (cid:5) (cid:6)(cid:6)
5
∴ x = , t = 0,1,2,...
t
2
Estabilidad:
La sucesión es constante, con
5 5
lim x = lim =
t
t t 2 2
∴ E→l s∞istema →es∞estable.
Gráfica de la solución:
5
(f) x = x +2, x =
t+1 t 0
2
Punto fijo:
x = x +2
∗ ∗
∴ 0 = 2 ∴ no hay punto fijo
6
Solución:
5
x = +2t, t = 0,1,2,...
t
2
Estabilidad:
No hay estabilidad (diverge lim x ).
t
t
→±∞
Gráfica de la solución:
5. (a) p p = β(φ p ), φ,β > 0
t t 1 t
− − −
Precio de equilibrio:
p p = β(φ p )
∗ ∗ ∗
− −
∴ p = φ
∗
(b) Reescribimos la ecuación, como
p (1+β) = p +βφ
t t 1
−
1 βφ
∴ p = p +
t t 1
1+β − 1+β
(cid:5) (cid:6)
Solución:
t
1
p = (p φ)+φ, t = 0,1,2,...
t 0
1+β −
(cid:5) (cid:6)
(c) Estabilidad:
1
Como 0 < < 1, por lo tanto
1+β
t
1
limp = (p φ) lim +φ = φ
t 0 ∗ ∗
t − t 1+β
→∞ →∞(cid:5) (cid:6)
=0
∴ el precio converge a p = φ.
∗
(cid:7) (cid:8)(cid:9) (cid:10)
1
Por último, la convergencia es monótona, ya que > 0.
1+β
7
6. S = αY , I = β(Y Y ), S = I , 0 < α < β
t t t+1 t+1 t t t
−
∴ β(Y Y ) = I = S = αY
t+1 t t+1 t+1 t+1
−
β
∴ Y = Y
t+1 t
β α
−
La solución es
t
β
Y = Y , t = 0,1,2,...
t 0
β α
(cid:5) − (cid:6)
β
Por último, como 0 < α < β, por lo tanto > 1. Así,
β α
−
limY diverge,
t
t
→∞
t
β
lim Y = Y lim = 0.
t 0
t t β α
→−∞ →−∞(cid:5) − (cid:6)
=0
Por lo tanto, el punto fijo Y = 0 es asintóticamente inestable.
(cid:7) (cid:8)(cid:9) ∗ (cid:10)
7. Y = C +I +G , C = C +αY , 0 < α < 1
t t t t t 0 t 1
−
∴ Y = (C +αY )+I +G
t 0 t 1 t t
−
∴ Y = αY +(C +I +G )
t t 1 0 t t
−
Suponiendo que I = I, G = G, se tiene
t t
Y = αY +C +I +G
t t 1 0
−
El punto fijo se obtiene de Y = αY +C +I +G, de donde
∗ ∗ 0
C +I +G
0
Y =
∗
1 α
−
En ese caso, la solución a la ecuación para el ingreso es
Y = αt(Y Y )+Y , t = 0,1,2,...
t 0 ∗ ∗
−
Por último, como 0 < α < 1, por lo tanto
limY = (Y Y ) limαt +Y = Y .
t 0 ∗ ∗ ∗
t − t
→∞ →∞
=0
C +I +G
Así, el punto fijo Y =(cid:7) (cid:8)0(cid:9) (cid:10) es asintóticamente estable.
∗
1 α
−
8. y (a+by ) = cy , y (a+by ) = cy , a,b,c > 0 y y > 0
t+1 t t t+1 t t 0
cy
t
(a) Partimos de y = , con a,b,c > 0. Como y > 0, por
t+1 0
a+by
t
lo tanto y > 0. Con este mismo razonamiento, se sigue que
1
y > 0, etc... De esta manera, y > 0 para todo t.
2 t
8
cy
t
(b) Seax = 1/y .Sustituyendoy = 1/x enlaecuacióny =
t t t t t+1
a+by
t
se tiene
1
c
1 x c
= (cid:5) t(cid:6) =
x 1 ax +b
t+1 t
a+b
x
(cid:5) t(cid:6)
a b
∴ x = x + ecuación lineal para x
t+1 t t
c c ←−
En particular, para y (2+3y ) = 4y , y = 1/2, se obtiene
t+1 t t 0
1 3 1
x = x + , x = = 2
t+1 t 0
2 4 y
0
t t+1
1 1 3 1 3
∴ x = + = +
t
2 2 2 2 2
(cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6)
1
∴ y = t = 0,1,2,...
t t+1
1 3
+
2 2
(cid:5) (cid:6)
Por último,
1 2
limy = =
t t 3 3
→∞ 0+
2
9. (a) x = tx , x = 1
t t 1 0
−
x =1
0
x =(1)x = (1)(1) = 1
1 0
x =(2)x = (2)(1) = 2
2 1
x =(3)x = (3)(2)(1) = 3!
3 2
x =(4)x = (4)(3)(2)(1) = 4!
4 3
.
.
.
x =t!, t = 0,1,2,...
t
donde se utilizó que 0! = 1.
(b) x = ax +bt, x dada, a,b > 0
t+1 t 0
x =ax +b0 = ax +1
1 0 0
x =ax +b1 = a(ax +1)+b1 = a2x +a+b
2 1 0 0
x =ax +b2 = a a2x +a+b +b2 = a3x +a2 +ab+b2
3 2 0 0
(cid:11) (cid:12)
9
x =ax +b3 = a a3x +a2 +ab+b2 +b3 = a4x +a3 +a2b+ab2 +b3
4 3 0 0
.
.
. (cid:11) (cid:12)
t 1 t 1 k
− − b
x =atx + a(t 1) kbk = atx +at 1
t 0 − − 0 −
a
k=0 k=0(cid:5) (cid:6)
(cid:14) (cid:14)
t
b
1
a − bt at
x =atx +at 1 (cid:5) (cid:6) = atx + −
t 0 − b 0 b a
1 −
a −
1 1
x = x at + bt, t = 0,1,2,...
t 0
− b a b a
(cid:5) − (cid:6) −
(c) x = atx +b, x dada, a,b > 0
t+1 t 0
x =a0x +b = x +b
1 0 0
x =a1x +b = a(x +b)+b = ax +ab+b
2 1 0 0
x =a2x +b = a2(ax +ab+b)+b = a2a x + a2a b+a2b+b
3 2 0 0
x =a3x +b = a3 a2a x + a2a b+a2b+b +b
4 3 0 (cid:11) (cid:12) (cid:11) (cid:12)
= a3a2a x + a3a2a b+ a3a2 b+a3b+b
0 (cid:11)(cid:11) (cid:12) (cid:11) (cid:12) (cid:12)
= a3a2a x + a3a2a + a3a2 +a3 +1 b
(cid:11) (cid:12) 0 (cid:11) (cid:12) (cid:11) (cid:12)
3 3 3 3
=(cid:11) as(cid:12) x +(cid:1)(cid:11) a(cid:12)s (cid:11)+ (cid:12) as + (cid:2) as +1 b
0
(cid:5)s=0 (cid:6) (cid:16)(cid:5)s=1 (cid:6) (cid:5)s=2 (cid:6) (cid:5)s=3 (cid:6) (cid:17)
.. (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15)
.
t 1
t 1 − t 1
x = − as x +b − as , t = 0,1,2,...
t 0
(cid:5)s=0 (cid:6) k=0(cid:5)s=k+1 (cid:6)
(cid:15) (cid:14) (cid:15)
donde se usó que el producto t−1as de cero términos es 1.
s=t
10. w = (1+r)w c , c = c γt, (cid:15)w dada
t+1 t t t 0 0
−
w = (1+r)w c γt
t+1 t 0
−
w =(1+r)w c
1 0 0
−
w =(1+r)w c γ = (1+r)[(1+r)w c ] c γ
2 1 0 0 0 0
− − −
=(1+r)2w (1+r)c c γ
0 0 0
− −
w =(1+r)w c γ2 = (1+r) (1+r)2w (1+r)c c γ c γ2
3 2 0 0 0 0 0
− − − −
=(1+r)3w c (1+r)2 +(1+r)γ +γ2
0 0 (cid:1) (cid:2)
−
.
.
. (cid:1) (cid:2)
t 1
−
wt=(1+r)tw0 c0 (1+r)(t−1)−kγk
−
k=0
(cid:14)
10