Matematica? ... no problem!!! Tutta la matematica di base per i licei e il biennio universitario

280 Pages·2011·1.793 MB·Italian

by  Sintini, Carlo

Carlo Sintini

Matematica ? … NNoo pprroobblleemm !!!!!!

Tutta la matematica di base
per i licei e il biennio universitarriio
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

Carlo Sintini

Matematica ? … No problem !!!

© Carlo Sintini / Matematicamente.it – febbraio 2011
www.matematicamente.it – [email protected]

Il presente libro è rilasciato nei termini della licenza
Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non
opere derivate 2.5 Italia, il cui testo integrale è disponibile in
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/legalcode

La versione digitale dell’opera è disponibile gratuitamente al
sito www.matematicamente.it

Stampa
Universal Book – via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)

ISBN 978 88 96354 08 7

2
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

A mio nipote Samuele

3
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
INDICE
INTRODUZIONE 8
CAP. 1 - PREMESSE 9
Par. 1 - Proprietà delle potenze 9
Par. 2 - Proprietà dei radicali 10
Par. 3 - I prodotti notevoli 12
Par. 4 - Varie 13
Par. 5 – Le categorie numeriche 14
Par. 6 - Gli intervalli 19
Par. 7 - Le disuguaglianze e le disequazioni 22
Par. 8 - Le espressioni con modulo 30
CAP. 2 - GRAFICI, SIMMETRIE E TRASLAZIONI 34
Par. 1 - I grafici nel piano cartesiano 34
Par. 2 - Il dominio 40
Par. 3 - Le simmetrie 44
Par. 4 - Le costanti additive e moltiplicative 48
Par. 5 - Le traslazioni 52
CAP. 3 - TRIGONOMETRIA 55
Par. 1 - La misura degli angoli in quadranti 55
Par. 2 - Le funzioni trigonometriche 58
Par. 3 - Le relazioni fondamentali 62
Par. 4 - Gli angoli notevoli 68
Par. 5 - La riduzione al primo quadrante 73
Par. 6 - Alcune formule importanti 75
Par. 7 - Le equazioni e disequazioni trigonometriche 79
CAP. 4 - LOGARITMI ED ESPONENZIALI 86
Par. 1 - La definizione di logaritmo 86
Par. 2 - Le equazioni esponenziali 87
Par. 3 - Le equazioni logaritmiche 89

4
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
Par. 4 - La funzione esponenziale 90
Par. 5 - La funzione logaritmica 92
Par. 6 - Le proprietà dei logaritmi 95
CAP. 5 - GEOMETRIA ANALITICA 100
Par. 1 - Prime formule 100
Punto medio fra due punti 100
Distanza fra due punti 100
Equazione retta passante per due punti 101
Par. 2 - Equazione della retta 102
Par. 3 - Ancora sulle rette 105
Fasci di rette 105
Parallelismo e perpendicolarità fra rette 106
Distanza di un punto da una retta 108
Angolo fra due rette 108
Par. 4 - La circonferenza 109
Par. 5 - La parabola 114
Par. 6 - L’ellisse 124
Par. 7 - L’iperbole 129
Par. 8 - Formule di rotazione 136
Par. 9 - La funzione omografica 139
Par. 10 - Le coniche generiche 142
Par. 11 - Le coniche degeneri 148
CAP. 6 - I LIMITI 153
Par. 1 - Premesse 153
Par. 2 - Il concetto di limite 157
Come si calcola un limite? 159
Par. 3 - Le forme indeterminate 160
Par. 4 - Teoremi sui limiti (senza dimostrazione) 163
Par. 5 - Limiti notevoli (senza dimostrazione) 164
Par. 6 - Confronto fra infinitesimi 165

5
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
Par. 7 - Funzioni continue 168
Par. 8 - Le discontinuità 171
CAP. 7 - LE DERIVATE 174
Par. 1 - Dal rapporto incrementale alla derivata 174
Par. 2 - Continuità e derivabilità 180
Par. 3 - Regole di derivazione 182
Par. 4 - Le funzioni composte 183
Par. 5 - La derivazione delle funzioni inverse 184
Par. 6 - Il teorema di Rolle 191
Par. 7 - Il teorema di Lagrange ( valor medio) 192
Par. 8 - Il teorema di Cauchy 192
Par. 9 - Il teorema di De l’Hospital 194
CAP. 8 - GLI INTEGRALI 196
Par. 1 - Il concetto di differenziale 196
Par. 2 - L’integrale definito 198
Par. 3 - Proprietà dell’integrale definito 201
Par. 4 - La funzione integrale 204
Par. 5 - Teorema di Torricelli-Barrow 205
Par. 6 - Integrali immediati 207
Par. 7 - Calcolo di un’area 208
Par. 8 - Integrazione per sostituzione 210
Par. 9 - Integrazione per parti 211
Par. 10 - Integrazione per scomposizione 212
Par. 11 - Teorema della media 215
Par. 12 - Volume di un solido di rotazione 216
Par. 13 - Integrali impropri 217
CAP. 9 - MATRICI 219
Par. 1 - Premesse sulle matrici 219
Par. 2 - Determinante di una matrice quadrata 220
Par. 3 - Proprietà delle matrici quadrate 223

6
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
Par. 4 - Operazioni fra matrici 227
Par. 5 - La regola di Cramer 230
Par. 6 - Il teorema di Rouché-Capelli 232
Par. 7 - I sistemi omogenei 234
CAP. 10 - CALCOLO VETTORIALE 238
Par. 1 - Elementi di calcolo vettoriale 238
Par. 2 - Prodotto scalare fra due vettori 243
Par. 3 - Prodotto vettoriale fra due vettori 245
Par. 4 - Proprietà ed esempi 249
CAP. 11 - GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 257
Par. 1 – Rette e piani 257
Par. 2 - Parallelismo e perpendicolarità 264
Par. 3 - Le quadriche 271
Par. 4 - Invarianti 277

7
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
INTRODUZIONE

Questo testo non ha alcuna pretesa di costituire un’esposizione
rigorosa e completa degli argomenti trattati.
E’ soltanto un manuale di rapida consultazione per studenti
che, in alcuni punti, offre (forse) una spiegazione più chiara ed
intuitiva rispetto a quella normalmente presente nei testi
tradizionali.
Ho volutamente saltato molte dimostrazioni, preoccupandomi
però in molte occasioni di fornire una giustificazione logica di
quanto andavo affermando.
Come scelta consapevole (suggerita dalla mia esperienza di
docente di un liceo scientifico), preferisco usare il rigore
scientifico solo quando è necessario, ma non sempre.
Preferisco decisamente la semplicità e l’immediatezza ad un
rigore formalmente ineccepibile a spese della chiarezza.
Lo scopo di questi appunti è quello di fornire un valido
appoggio ai testi tradizionali presentando in modo sintetico e
chiaro tutti i punti fondamentali e tradizionalmente più ostici
per lo studente, insieme ad un repertorio abbastanza ampio di
esempi svolti.

Carlo Sintini

8
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
CAP. 1 - PREMESSE
Par. 1 - Proprietà delle potenze
In questo primo capitolo passiamo in rassegna alcuni concetti
elementari che dovrebbero essere già noti, ma che spesso sono
(almeno in parte) del tutto dimenticati.
Cominciamo con un ripasso sulle proprietà delle potenze.
1) 1n = 1
2) a0 =1 (tranne che per a = 0 perché in tal caso il
risultato è indeterminato)
3) (a b c)n = an bn cn (Attenzione ! Gli elementi dentro
parentesi devono essere tutti moltiplicati fra loro: non
devono esserci segni di addizione)
an an
4)   = (Attenzione! Anche qui gli elementi dentro
b bn
parentesi devono essere divisi fra loro: non devono
esserci segni di sottrazione)
5) am an = am+n (Attenzione! La regola non vale se al
primo membro c’è am + an)
am
6) =am−n (Attenzione! La regola non vale se al
an
primo membro c’è am - an)
7) (am)n =am⋅n
1n 1n 1
8) a−n =  = =
a an an
n
9) am = man
10) (ma)n = man

9
Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!
Par. 2 - Proprietà dei radicali
Proseguiamo con le proprietà dei radicali:
1) 0 a = impossibile (con a≠1)
2) 0 1= indeterminato
3) 1 a = a
4) n an =a
5) man =m⋅pan⋅p (Per esempio 3 a2 =3⋅5a2⋅5 =15a10 )
Applicando questa regola al contrario (Per esempio
15a10 = 3 a2 ) si dice che si è ridotto, semplificato, il radicale.
6
6) 3 a6 ⋅b2 =a33 b2 =a23 b2
6
3 a7⋅b2 = 3 a6⋅a1⋅b2 =a3 3 a⋅b2 =a23 a⋅b2
3 a6 ±b2 (Attenzione ! Con i segni ± non è possibile
portare fuori di radice la potenza)
7) a3 a⋅b = a3⋅2 ⋅a⋅b = a6 ⋅a⋅b = a7 ⋅b
a3± a⋅b (Attenzione ! Anche in questi casi i segni ±
impediscono di portare la potenza sotto la radice)

8) Prodotto o rapporto fra radicali con lo stesso indice:
3 ab2 ⋅3 a2 =3 ab2 ⋅a2 =3 a3 ⋅b2 =a⋅3 b2
ab2 b2
3 ab2 : 3 a2 = 3 = 3
a2 a
3 ab2 ± 3 a2 (Attenzione! Al solito i segni ±
impediscono l'unione delle radici)

10