Table Of ContentPaolo Maroellini - Carlo Sbordone
Matematica Generale
Liguori Editore
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Prima edizione ltallana Ottobre 2007
Stampato In !talla da OGL-Napol1
M&I'C61lin1, Pe.olo:
Maumatica G~n~raldPe.olo Marcellln1, Carlo Sbordone
Napoli : Llguorl, 2007
ISBN-13 978-88-207-4161 -7
l. Numeri e funzioni 2. Derivate e Integrali 3. Serle 4. Applicazioni I. Titolo.
15 14 13 12 11 10 09 08 07 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 l o
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da piantagioni rlnnovablll e prodotti auslllarl assolutamente naturali, non Inquinanti e
totalmente blodegradablll.
INDICE
Prefazione pag. l
Capitolo l - l NUMERI REALI
l. Premessa 3
2. Gli assiomi dei numeri reali 4
3. Cenni di teoria degli insiemi 6
4. Numeri naturali, interi, razionali 8
5. n principio di induzione lO
6. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo
inferiore 12
Capitolo 2 - LE FUNZIONI REALI
7. Funzioni e loro proprietà 17
8. Funzioni monotòne 22
9. Un elenco di funzioni elementari 25
Capitolo 3 - LIMITI DI SUCCESSIONI
10. Introduzione ai limiti di successioni 39
11. Successioni limitate 47
12. Teoremi di confronto 47
13. Proprietà principali e limiti notevoli di succes- 49
stoni
VI Indice
Appendice al capitolo 3
A3.l Utilizzo del numero e in matematica finanziaria.
Interesse composto pag. 56
Capitolo 4 - LIMITI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE
14. Premessa 63
15. Definizioni 66
16. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni 69
l 7. Funzioni continue 72
18. Discontinuità 73
l 9. Alcuni teoremi sulle funzioni continue 75
Capitolo 5 - MATRICI, DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI
Introduzione 81
20. Matrici 84
21 . Operazioni con le matrici 85
22. Determinante di una matrice 2 x 2 88
23. Determinante di una matrice 3 x 3 90
24. Determinante di una matrice n x n 93
25. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite 95
26. n teorema di Cramer 96
27. Matrici inverse 99
Appendice aJ capitolo 8
A5.1 Autovalori di una matrice l 00
A5.2 Esempi di ut111zzo di sistemi lineari: leggi di
Kirchhoff e flusso di traffico automobilistico l 03
Capitolo 6 -DERIVATE
28. Tasso di accrescimento. Significato meccanico
della derivata 107
29. Definizione di derivata 109
30. Operazioni con le derivate 112
31. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni
inverse 113
32. Derivate delle funzioni elementari 115
33. Significato geometrico della derivata. Retta tan-
gente 118
34. Le funzioni trigonometriche inverse 121
Indice VII
Appendice al capitolo 6
Introduzione pag. 125
A6.l Crescita di una popolazione batterica 125
A6.2 Crescita della popolazione mondiale 126
Capitolo 7 - APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI
FUNZIONI
35. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat 131
36. I teoremi di Rolle e di Lagra.nge 133
37. Funzioni crescenti e decrescenti 135
38. Funzioni convesse e concave 138
39. Il teorema di L 'Hòpital 141
40. Studio del grafico di una funzione 143
Capitolo 8 - INTEGRALI DEFINITI
41. Definizioni e notazioni 149
42. Proprietà degli integrali definiti 152
43. Il teorema della media 154
Capitolo 9 - INTEGRALI INDEFINITI
44. Il teorema fondamentale del calcolo integrale 157
45. Primitive. Formula fondamentale del calcolo
integrale 159
46. L'integrale indefinito 161
47. Integrazione per decomposizione in somma 163
48. Integrazione delle funzioni razionali 165
49. Integrazione per parti 170
50. Integrazione per sostituzione 172
51. Calcolo di aree di figure piane 176
Capitolo l O - FUNZIONI DI DUE VARIABILI
52. Funzioni di due variabili: dominio; rappresenta-
zione cartesiana 179
53. Derivate parziali. Gradiente 185
54. Derivate successive. Teorema di Schwarz 189
55. Massimi e minimi relativi 190
Appendice al capitolo l O
A l O. l Sistemi di disequazioni di primo grado in due
incognite 196
VIli Indice
Al0.2 Programmazione lineare pag. 201
A l 0.3 Teoria dei giochi e teorema di minimax • 212
Cs.pitolo l l -SERIE
56. Serie numeriche • 219
57. Serie a termini non negativi • 221
58. La serie geometrica • 221
59. La serie armonica • 222
60. Criteri di convergenza • 224
Appendice &l os.pitolo 11
A l l . l Moltiplicazione dei depositi bancari • 226
PREFAZIONE
La riforma dell'Università, con cui sono stati introdotti i Corsi di
Laurea di tre anni, ha reso necessario rivedere i contenuti dei vari
insegnamenti, aggiornando e spesso riducendo i programmi. Anche
i corsi di matematica rientrano fra gli insegnamenti da impartire, in
genere, in un numero minore di ore di lezione e di esercitazione. Con
il presente volume gli autori hanno predisposto un approccio sempli
ficato ad un corso di Matematica Generale. Pur proponendo un libro
rigoroso nei contenuti, è stata attuata una drastica riduzione del
materiale relativo al percorso culturale "numeri reali, matrici e si
stemi lineari, limiti, funzioni continue, derivate, grafici di funzioni,
integrali, funzioni di due variabili, serie", tale da poter essere ap
preso da uno studente universitario in un corso breve di Matematica
n
Generale. poco tempo a disposizione per impartire il corso di inse
gnamento non dovrebbe determinare l'impoverimento dei contenuti
culturali; alcune dimostrazioni sono infatti proposte proprio per
questo scopo. Il testo è anche arricchito da numerosi esempi, a com
plemento della teoria e da svariate applicazioni della Matematica.
Per questi motivi gli autori si augurano che i lettori possano trarre
profitto e giovamento da queste note.
CAPITOLO 1
l NUMERI REALI
1. Premessa
n
metodo comunemente usato in Matematica consiste nel preci
sare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l'ela
borazione dei dati o della teoria, e nel dedurre da tali presupposti, in
modo logico e coerente, il maggior numero di informazioni possibili.
In altre parole, i presupposti sono le regole del gioco, che potrebbero
essere state anche diverse, ma che, una volta iniziato il gioco, non
vengono più cambiate. In Matematica tali presupposti vengono chia
mati postulati o assiomi. Da essi, mediante dimostrazioni, si dedu
cono i risultati o teoremi. Sinonimo di teorema è lemma, parola più
spesso usata per indicare un risultato intermedio, utile soprattutto
per dimostrare un altro teorema; altri sinonimi sono corollario e
proposizione.
n
nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato,
che esista il sistema dei numeri reali. Cioè assumiamo che esista un
insieme di numeri, che chiamiamo numeri reali e che indichiamo
con R, su cui sia possibile, ad esempio, eseguire le quattro operazioni
elementari C+, -, · ,/) , oppure sia possibile stabilire qual è il mag
giore tra due numeri.
n
sistema dei numeri reali è sicuramente già familiare alla mag
gioranza degli studenti che leggono queste pagine. Infatti stiamo
assumendo come punto di partenza (come assioma) quell'insieme di
regole per operare sui numeri che il lettore ha sempre usato in modo
c
4 PfiOIO l
naturale fin da quando ha imparato a far di conto. Per esempio, è
per tutti naturale che 2 + 3 sia uguale a 3 + 2, o che 2 · 3 = 3 · 2.
Esprimiamo ciò 1n modo generale per due numeri reali a, b, dicendo
che valgono le proprietà commutative della somma e del prodotto:
( l. l) a+ b = b +a, a · b=b · a
Il lettore conosce sicuramente (provi a scriverle) anche la pro
prietà associativa, sia rispetto alla somma che al prodotto, e la pro
prietà distributiva. Nel paragrafo successivo è riportato un elenco
completo delle proprietà che assumiamo valere per assioma. Divi
diamo tali proprietà in tre gruppi: quelle relative alle operazioni, le
proprietà relative all'ordinamento, e l'assioma di completezza.
2. Gli assiomi dei numeri reali
Assiomi relativi alle operazioni. Sono definite le operazioni di addi
zione ( +) e moltiplicazione C·) tra coppie di numeri reali, con le
seguenti proprietà (ab, c indicano numeri reali generici):
(2.1) Proprietà associativa.:
Ca+ b)+ c= a+ Cb+ c), ca · b) · c= a · (b ·c).
(2.2) Proprietà commutativa.: a + b = b + a, a · b = b · a.
(2.3) Proprietà, distributiva.: a · Cb + c) = a · b + a · c.
(2.4) Esistenza. degli elementi neutri: esistono in R due numeri
distinti O, l, tali che a+ O= a, a · l =a.
(2.5) Esistenza. degli opposti: per ogni numero reale a esiste un
numero reale, indicato con - a, tale che a+ C- a) = O.
(2.6) Esistenza. degli inversi: per ogni numero reale a*" O esiste un
numero, indicato con a-1, tale che a · ca-1) = l.
Assiomi relativi all'ordinamento. È definita la relazione di minore o
uguale (:5) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:
(2. 7) Dicotomia.: per ogni coppia. di numeri reali a, b si ha. a :5 b
oppure b :5 a.
(2.8) Proprietà asimmetrica.: se va.Jgono contemporaneamente le
relazioni a :5 b, b :5 a, a.llora. a = b.
