Table Of ContentUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA
FacoltàdiScienze
DipartimentodiInformatica—SettorediMatematica
Matematica di base
ENRICOGREGORIO
FRANCESCAMANTESE
DispenseperilcorsodilaureainInformatica
1ottobre2007
Annoaccademico2007-2008
Indice
Capitolo1. Insiemi 1
1. ElementieClassi 1
2. Sottoclassieclassecomplementare 2
3. Operazionitraclassi 2
4. Insiemi 3
5. Assiomisugliinsiemi 4
6. Unioneeintersezionesuclassieinsiemi 4
7. Insiemiordinati 5
8. Prodottodiinsiemi 6
Esercizi 6
Capitolo2. Relazioni 9
1. Primeproprietà 9
2. Proprietàdellerelazioni 10
3. Relazionid’equivalenza 11
4. Relazionid’ordinestretto 12
5. Relazionid’ordinelargo 13
6. Relazionin-arie 14
Esercizi 14
Capitolo3. Funzioni 17
1. Definizionieprimeproprietà 17
2. Funzionicomposte 18
3. Funzioneinversa 19
4. Funzionin-arie 20
Esercizi 21
Capitolo4. Insiemiinfiniti 23
1. Introduzione 23
2. Cardinalità 23
3. Proprietàdellacardinalitàdiinsiemiinfiniti 24
4. Insieminumerabili 26
5. Esistenzadicardinalità 28
6. Lacardinalitàdell’insiemedeinumerireali 29
7. IlparadisodiCantor 31
Esercizi 32
Capitolo5. Induzioneenumerinaturali 33
1. Ilprincipiodiinduzione 33
2. Ilprincipiodiinduzione:dimostrazione 35
3. Inumerinaturali 35
Esercizi 36
Capitolo6. Elementidilogica 39
1. L’esigenzadistudiareunlinguaggioformale 39
2. Strutture 40
3. Illinguaggio 40
i
ii INDICE
4. Terminielorointerpretazione 41
5. Formuleatomiche 42
6. Connettivi 43
7. Variabili 46
8. Realizzazioni 46
9. Quantificatori 47
10. Teoremadideduzionesemantica 52
11. Calcoloproposizionale 54
Esercizi 55
CAPITOLO 1
Insiemi
1. ElementieClassi
Lo scopo di questo primo capitolo è di introdurre in maniera rigorosa le nozioni di classe
e insieme, e di studiarne le principali proprietà. Nel seguito useremo il termine elemento per
indicarequalcosaacuisiattribuisceidentità. Sinotichedaunpuntodivistamatematico,nel
definireunelementosièinteressatisoloalfattodipotergliattribuireunaidentità,astraendoda
tuttelesuecaratteristicheeccettoquelladipoteresseredistintodaunaltroelemento.
DEFINIZIONE 1.1. Si dice classe una collezione di elementi su cui si è scelto di fissare la
propriaattenzione.Isingolielementiconsideratisidiconoelementidellaclasse.
ESEMPI 1.2. Sonoesempidiclasse: laclassedelleletteredell’alfabetoitaliano; laclassedi
tuttiglistudentidell’universitàdiVerona;fissatounpianoα,laclassedituttiipuntidiαoppure
laclassedituttiipoligonicontenutiinα.
NOTAZIONI. Nel seguito indicheremo gli elementi con lettere minuscole, mentre le clas-
siconletteremaiuscole. Perindicarel’appartenenzaolanonappartenenzadiunelementoa
unacertaclassesiusanorispettivamenteisimboli‘∈’e‘∉’;conlascrittura‘a∈A’siindicache
l’elemento a appartiene alla classe A, mentre la scrittura ‘a ∉ A’ indica che l’elemento a non
appartieneallaclasse A.
Perdescrivereunaclassesipossonousarediversenotazioni.Unaprimapossibilitàèdielen-
care gli elementi della classe tra parentesi graffe separati da virgole. Ad esempio la scrittura
{2,1,d,b,5,4,7}indicalaclasseformatadallelettered eb edainumeri1,2,4,5e7. Sipossono
considerareclassiformatedaununicoelementoa;intalcaso,laclassechesistaconsiderando
siindicacon{a}esipuòscriverea∈{a}.
Se invece gli elementi che formano una classe sono tutti quelli che godono di una certa
proprietàP sipuòdenotarelaclassenelmodoseguente:{x|xsoddisfaP},doveilsimbolo‘|’si
legge“taleche”.Adesempioperindicarelaclassedituttiinumerinaturaliparisipuòscrivere
{x|xèunnumeronaturalepari}.
Analogamenteconlascrittura
{x|xèunnumeronaturaledispariexèminoredi10}
siindicalaclassedeinumerinaturalidispariminoridi10; sinoticheusandolanotazionede-
scrittaprecedentemente,lastessaclassesipuòindicareanchecon{1,3,5,7,9}.Spessoilsimbolo
‘|’vienesostituitodalsimbolo‘:’;inquestomodosiscrive{x:xsoddisfaP}.
È importante sottolineare che ogni classe è determinata dagli elementi che la compon-
gono, indipendentemente da come essi vengono descritti. Questa proprietà del concetto di
classevienedettaestensionalità: infattiperindividuareunaclasseguardiamoaqualielemen-
ti si estende e non al modo in cui questi vengono descritti. Perciò due diverse descrizioni in-
dicano la stessa classe se la classe individuata dalla prima descrizione ha gli stessi elementi
di quella individuata dalla seconda. In altre parole, due classi coincidono se e solo se han-
no gli stessi elementi. Ad esempio la classe {0,6,9,3}, la classe {3,0,6,9,3,6} e la classe {x |
xèunmultiplodi3minoredi10}sonotuttecoincidenti.
1
2 1.INSIEMI
2. Sottoclassieclassecomplementare
DEFINIZIONE 2.1. Datedueclassi X eY,Y èunasottoclassedi X setuttiglielementidiY
sonoancheelementidiX.IntalcasodiciamocheY ècontenutainX esiscriveY ⊆X;diciamo
anchecheX contieneY esiscriveX ⊇Y.
Si osservi che ogni classe è sottoclasse di sé stessa, cioè X ⊆ X per ogni classe X. Inoltre
datedueclassi X eY,se X ⊆Y eancheY ⊆X,possiamoconcludereche X =Y; infattiledue
inclusionicidiconoesattamenteche X eY hannoglistessielementiequindi, perlaproprie-
tà dell’estensionalità, le due classi coincidono. Se Y è la sottoclasse di X formata da tutti gli
elementidiX chegodonodiunacertaproprietàP,siscrive
Y ={x|x∈X exsoddisfaP}.
Ad esempio se (cid:78) è la classe dei numeri naturali, la classe {x | x ∈ (cid:78)exèmultiplodi2} è la
sottoclassedeinumerinaturalipari.
Un’altra classe molto importante è la classe che non contiene elementi; si consideri per
esempio la classe {x |xèunnumerorealeex2 =−1}, oppure la classe dei mesi dell’anno con
menodi20giorni.
DEFINIZIONE2.2. Unaclassechenoncontieneelementisidiceclassevuota;essasiindica
conilsimbolo(cid:59).
Si noti che, poiché una classe è determinata dai suoi elementi e due classi coincidono se
hanno gli stessi elementi, la classe vuota è unica. Inoltre la classe vuota è sottoclasse di ogni
altraclasse.
Perconcludere,dataunaclasse X,introduciamolaclasseformatadatuttiglielementiche
nonappartengonoaX.
DEFINIZIONE2.3. DataunaclasseX,laclasse{x|x∉X}èdettalaclassecomplementaredi
X esiindicacon(cid:217)X.
Ad esempio, se X è la classe formata dalle lettere dell’alfabeto italiano, la classe comple-
mentare di X è (cid:217)X = {x | x nonèunaletteradell’alfabetoitaliano}; pertanto π ∈ (cid:217)X e anche
7∈(cid:217)X.
3. Operazionitraclassi
Inquestasezione,datedueclassiY eY ,introduciamoalcunenuoveclassichesiottengono
1 2
apartiredaesse.Siconsideriadesempiolaclasseformatadaglielementicheappartengonosia
aY cheaY .
1 2
DEFINIZIONE 3.1. Laclasse{x |x ∈Y1ex ∈Y2}èdettaintersezione delleclassiY1 eY2 esi
indicaconY ∩Y .
1 2
Sinotichedalladefinizionediintersezione,seguecheY ∩Y =Y ∩Y .InoltreY ∩Y èuna
1 2 2 1 1 2
sottoclassesiadiY chediY .SeY ∩Y =(cid:59),alloraleclasseY eY sidiconodisgiunte.
1 2 1 2 1 2
Analogamente,introduciamolaclasseformatadaglielementicheappartengonooaY op-
1
pureaY .
2
DEFINIZIONE3.2. Laclasse{x|x∈Y1oppurex∈Y2}èdettaunionedelleclassiY1 eY2 esi
indicaconY ∪Y .
1 2
DalladefinizionediunioneseguecheY ∪Y =Y ∪Y .Siosserviche,dataunaqualsiasiclas-
1 2 2 1
seY,l’unionetraY elasuaclassecomplementare(cid:217)Y individualaclasse{x|x èunelemento},
cioèlaclasseformatadatuttiglielementi.Taleclasseèdettaclasseuniversaleenelseguitosarà
indicataconU.Quindi,perogniclasseY,sihacheY ∪(cid:217)Y =U.
Sinoticheleoperazionidiintersezioneeunionetraclassipossonoessereripetutesucces-
sivamente. Adesempio,datetreclassiX,Y eZ,laclasseX∩Y ∩Z siottienecalcolandoprima
X∩Y epoi(X∩Y)∩Z.AnalogamentesicostruiscelaclasseX∪Y ∪Z.
Perfinire,datedueclassiY eY consideriamolaclasseformatadaglielementicheappar-
1 2
tengonoaY manonaY .
1 2
4.INSIEMI 3
DEFINIZIONE3.3. Laclasse{x|x∈Y1ex∉Y2}èdettadifferenzatraY1 eY2 o,equivalente-
mente,complementarediY inY ,esiindicaconY \Y .
2 1 1 2
Siosserviche,dalladefinizionedidifferenzatraclassi,seguecheY \Y =Y ∩(cid:217)Y . Sinoti
1 2 1 2
inoltrecheY \Y èunasottoclassediY manondiY .
1 2 1 2
4. Insiemi
Tratutteleclassichepossiamocostruirecenesonoalcunechepossonoessereconsiderate
comeunacosasingola;adesempio,laclasseformatadatuttiigiocatoridellanostrasquadradi
calciopreferitapuòessereconsideratacomeunacosasingola,cioèlasquadrastessa.Asuavolta
la nostra squadra preferita può essere vista come un elemento della classe di tutte le squadre
di calcio che partecipano al campionato italiano. In generale, quando una classe può essere
consideratacomeunacosasingola,essapuòessereelementodiqualchealtraclasse.
DEFINIZIONE4.1. Leclassichepossonoessereconsideratecomeunacosasingola,cioèche
alorovoltapossonoessereconsideratecomeelementi,sidiconoinsiemi.Leclassichenonsono
insiemisonodetteclassiproprie.
ESEMPI4.2. Laclassedeglistudentidell’UniversitàdiVeronaèuninsieme;infattitaleclasse
può essere considerata come un elemento, cioè l’Università di Verona stessa, che a sua volta
appartieneallaclassedituttigliAteneiitaliani.
La classe di tutti gli esseri umani è un insieme; infatti può essere considerato come l’ele-
mento“genereumano”,appartenenteallaclassedituttelespecieanimali.
Si fissi un piano α e una circonferenza γ contenuta in α. La classe di tutti i punti che ap-
partengono alla circonferenza γ è un insieme; infatti tale classe può essere considerata come
lacirconferenzaγstessa, cheasuavoltaèunelementodellaclassedellefigurecontenutenel
pianoα.
ESEMPIO4.3. Unesempioimportantediclassepropria,cioèdiclassechenonèuninsieme,
èlaclassedegliinsiemichenonappartengonoaséstessi,cioèlaclasse
R={X |X èuninsiemeeX ∉X}.
Se infatti tale classe fosse un insieme, R potrebbe essere visto come elemento o come classe.
Datochetraelementieclassisussistelarelazionediappartenenzaeundatoelementoappar-
tieneononappartieneaunadataclasse,sicuramenteRdovrebbeverificareunaeunasoladelle
seguenti: R ∈R oppure R ∉R. Nel primo caso, se R ∈R, R dovrebbe soddisfare la proprietà
checaratterizzaglielementidellaclasseR,cioèR∉R. Nelsecondocaso,sappiamocheR èun
insiemeeR ∉R; pertantopotremmodirecheR,comeelemento,soddisfalaproprietàcheca-
ratterizzalaclasseR,equindidovremmoconcluderecheR ∈R. Inentrambiicasisitrovauna
contraddizionechederivadall’averassuntocheR siauninsieme. PertantosiconcludecheR
nonèuninsieme.
OSSERVAZIONE 4.4. Come risulta evidente dagli esempi precedenti, dato che un insieme
puòesserevistocomeelemento,essopuòasuavoltaappartenereadaltreclassi. Alcontrario,
leclassiproprienonpossonoappartenereadaltreclassi,datochel’appartenenzaèprerogativa
deglielementi.
Sottolineiamo inoltre che l’Esempio 4.3 è molto significativo non solo perché mostra co-
me ci sia una profonda differenza tra il concetto di classe e di insieme, ma anche perché in
essosièapplicatountipodiragionamento,dettoragionamentoperassurdo,moltousatonelle
dimostrazionimatematiche.
Si osservi che, poiché gli insiemi sono classi, per essi vale tutto quanto detto finora sulle
classiperquantoriguardanotazioni,operazioniesimboliintrodotti.
4 1.INSIEMI
5. Assiomisugliinsiemi
Nellasezioneprecedenteabbiamovistochenontutteleclassisonoinsiemi.Sorgequindiil
problemadiriconoscerequaliclassisonoinsiemi. Sipuòstabilirecheunaclasseèuninsieme
ogniqualvoltaquestaassunzionenonportaacontraddizioni,comenelcasodell’Esempio4.3.
È quindi necessario trovare un metodo per stabilire se l’assumere che una certa classe sia un
insiemeimplichiomenounacontraddizione. Unpossibilecriterioèquellodipartiredaalcuni
classicheevidentementesonoinsiemiefissaredelleregolepercostruirenuoviinsiemiapartire
daquesteclassiiniziali.Pertantofissiamoiseguentiassiomisugliinsiemi,cioèaffermazioniche
nonsonodimostrabilimachedecidiamodiassumerecomevere.
(1) Ogniclassefinitaèuninsieme.
(2) UnasottoclassediuninsiemeX èuninsieme,dettasottoinsiemediX.
(3) L’unionedidueinsiemièuninsieme.
(4) SeX èuninsiemeelaclasseY hatantielementiquantiX,alloraancheY èuninsieme.
(5) SeX èuninsieme,sicostruiscalaclassedituttiisottoinsiemidiX,cioèP(X)={Y |Y ⊆X}.
AlloraP(X)èuninsieme,dettoinsiemedellepartidiX.
(6) Laclassedeinumerinaturali,indicatacon(cid:78),èuninsieme.
(7) NonesistonosuccessionidiinsiemiX ,X ,...,X talicheX ∈X ∈···∈X ∈X .
0 1 n 0 1 n 0
Dagliassiomiintrodottiseguonoalcuneimportanticonseguenze.
(a) Dalsecondoassiomasiottieneche,datidueinsiemiX eY,siaX∩Y cheX\Y sonoinsiemi,
essendoentrambisottoclassidiX.
(b) Sempredalsecondoassioma,seguechelaclasseuniversaleU nonèuninsieme.Seinfattilo
fosse,lasottoclasseR introdottanell’Esempio4.3(sidimostripereserciziocheR⊆U!) per
ilsecondoassiomasarebbeuninsieme.InveceabbiamogiàvistocheR nonèuninsieme.
(c) Laclassevuotaèsottoclassediogniclasse,einparticolarediogniinsieme.Quindi,dinuovo
dalsecondoassioma,concludiamoche(cid:59)èuninsieme. Nelseguitolochiameremoinsieme
vuoto.
(d) Se X èuninsieme,ilsuocomplementare(cid:217)X nonèuninsieme. Seinfattilofosse,dalterzo
assiomasiconcluderebbeche X ∪(cid:217)X =U èuninsieme, maabbiamogiàosservatochela
classeuniversaleèunaclassepropria.
(e) Nelquartoassioma,sesiconsideranoinsiemiconinfinitielementi,ilconcettodi“averetanti
elementi quanti” può risultare confuso: chiariremo nei capitoli successivi cosa si intende
conquestaespressione.
(f) Se X èuninsiemefinitoconn elementi,alloraancheP(X)èuninsiemefinitocon2n ele-
menti.(Sivedal’Esercizio1.5.)
(g) Il fatto che i numeri naturali siano un insieme, chiaramente infinito, implica che anche la
classedeinumeriinteri,deinumerirazionali,deinumerirealiedeinumericomplessisono
insiemi;unadimostrazionediciòsaràvistasuccessivamente. Nelseguito,indicheremotali
insiemirispettivamenteconlelettere(cid:90),(cid:81),(cid:82)e(cid:67).
(h) PerogniinsiemeX,possiamoaffermarecheX ∉X.
Nel seguito, tranne quando esplicitamente specificato, tutte le classi su cui lavoreremo si
intenderannoinsiemi.
6. Unioneeintersezionesuclassieinsiemi
Siano Y , Y ,..., Y insiemi; allora possiamo costruire l’insieme Y ∩Y ∩···∩Y . Questa
1 2 n 1 2 n
intersezionesipuòindicareanchecon(cid:84)X,doveX èl’insiemeX ={Y ,Y ,...,Y };inaltreparole,
1 2 n
(cid:84)X ={x |x ∈Y perogniY ∈X}. Questomododidescriverel’intersezionetrapiùinsiemipuò
esseregeneralizzatoalcasoincui X siauninsiemeinfinito, ounaclasse, icuielementisiano
a loro volta insiemi. Pertanto estendiamo la definizione di intersezione tra insiemi nel modo
seguente.
DEFINIZIONE6.1. SeX èunaclasseicuielementisonoinsiemi,allora(cid:84)X èlaclasse{x|x∈
Y perogniY ∈X}.
7.INSIEMIORDINATI 5
ESEMPIO 6.2. Si noti che, se X non è l’insieme vuoto, allora (cid:84)X ⊆Y per ogni insieme Y
(cid:84)
appartenente a X e quindi X è un insieme. Analizziamo invece nel dettaglio il caso in cui
X =(cid:59)equindi
(cid:92)(cid:59)={x|x∈Y perogniY ∈(cid:59)}.
Possiamoriscrivere(cid:84)(cid:59)nellaformaequivalente: {x|seY ∈(cid:59)allorax∈Y };poiché(cid:59)noncon-
tienealcunelemento,datounqualsiasielementox essosicuramenteappartienea(cid:84)(cid:59);questo
perchénonèrichiestaalcunaverificasull’elementox affinchéappartengaa(cid:84)(cid:59). Concludiamo
quindiche(cid:84)(cid:59)=U,doveU èlaclasseuniversale.
Possiamo verificare l’asserzione anche in un altro modo. Quando un elemento x non ap-
partiene a (cid:84)X? Precisamente quando esiste un elemento Y ∈ X tale che x ∉Y. Ora, di quali
elementix possiamoasserirechex∉(cid:84)(cid:59)? Dinessuno,perchénonpossiamotrovareY ∈(cid:59)tale
chex∉Y.Dunquedinessunelementox possiamodirechex∉(cid:84)(cid:59)eperciòdiognielementox
dobbiamodirecheappartienea(cid:84)(cid:59),cioè(cid:84)(cid:59)=U.
Alla luce di quanto osservato, si verifica facilmente che se X e Z sono due classi e X ⊆ Z,
allora(cid:84)X ⊇(cid:84)Z (sivedal’Esercizio1.6).
Inmodoanalogoaquantofattoperl’intersezione,datigliinsiemeY ,Y ,...,Y ,allorapos-
1 2 n
siamocostruirel’insiemeY ∪Y ∪···∪Y . Questaunionesipuòindicareanchecon(cid:83)X,dove
1 2 n
X è l’insieme X ={Y ,Y ,...,Y }; in altre parole, (cid:83)X ={x |esisteY ∈ X talechex ∈Y }. Que-
1 2 n
stomododidescriverel’unionetrapiùinsiemipuòesseregeneralizzatoalcasoincui X siaun
insiemeinfinito,ounaclasse,icuielementisianoalorovoltainsiemi. Pertantoestendiamola
definizionediunionetrainsieminelmodoseguente.
(cid:83)
DEFINIZIONE6.3. SeX èunaclasseicuielementisonoinsiemi,allora X èlaclasse
{x|esisteY ∈X talechex∈Y }.
Consideriamo il caso X = (cid:59); allora (cid:83)(cid:59) = {x | esisteY ∈ (cid:59)talechex ∈ Y }. Poiché (cid:59) non
contieneelementi,datounelementoxnonesistealcunY ∈(cid:59)chelocontenga.Quindi(cid:83)(cid:59)=(cid:59).
Se invece X =U, (cid:83)U ={x |esisteY ∈U talechex ∈Y }. Si osservi che per ogni elemen-
to x possiamo costruire l’insieme {x}, dove x ∈{x}; poiché l’insieme {x}, in quanto a sua volta
elemento, èsicuramentecontenutonellaclasseuniversale, concludiamoche x ∈(cid:83)U. Quindi
(cid:83)U =U. Questomostracheingenerale,alcontrariodiquantosussisteperl’intersezione,l’u-
nionediunaclasse,odiuninsiemeinfinito,diinsieminonèingeneraleuninsieme. Tuttavia
(cid:83)
assumiamochese X èuninsieme,allora X èuninsieme; siconsideriquestounassiomada
aggiungereallalistadescrittanellaSezione5.
Siverificafacilmentedalladefinizionediunioneche,seX eZ sonodueclassieX ⊆Z,allora
(cid:83)X ⊆(cid:83)Z (sivedal’Esercizio1.6).
7. Insiemiordinati
Spessoèutileconsiderareglielementidiundatoinsiemeconuncertoordine. Adesempio,
leletteredellaparola‘mela’formanol’insieme{a,e,l,m},masevogliamodistinguerelaparola
‘mela’dallaparola‘lame’,dobbiamoindicarel’ordinedellelettere. Siintroducecosìilconcetto
diinsiemeordinato.
DEFINIZIONE7.1. Uninsiemeordinatofinitoèuninsiemefinitoincuièmessoinevidenza
unordinedeglielementi.
In generale un insieme ordinato si indica tra parentesi tonde; ad esempio se si conside-
ra l’insiemeordinato delle lettere parole ‘mela’, si scriverà(m,e,l,a), mentre l’insieme ordinato
delleletteredellaparola‘lame’sarà(l,a,m,e).Siosservichementrenellausualenotazioneinsie-
misticagliinsiemi{a,b,c}, {b,c,a}, {b,a,c}e{a,b,a,c,b}coincidono, sesiconsiderinoinsiemi
ordinatigliinsiemi(a,b,c),(b,c,a),(b,a,c)e(a,b,a,c,b)sonoinsiemitralorodiversi.
Inparticolarespessoconsideriamoilcasodiinsiemiordinatiformatidadueelementi,detti
coppieordinate,cioèinsiemideltipo(a,b). Siosservichementregliinsiemi{a,b}e{c,d}coin-
cidonosianelcasoincuia=c eb=d chenelcasoincuia=d eb=c,lecoppieordinate(a,b)
e(c,d)coincidonoseesolosea=c eb=d.
6 1.INSIEMI
ESEMPIO7.2. Dovendorappresentaredaunpuntodivistainsiemisticoletargheautomobili-
sticheitaliane,dobbiamoricorrereainsiemiordinaticon7elementi,doveiprimidueelementi
sono lettere, i successivi tre sono numeri, gli ultimi due lettere; per esempio (A,W,1,2,3,F,G)
e (W,A,1,2,3,F,G) sono due targhe diverse, mentre (A,1,W,2,3,F,G) non rappresenta alcuna
targa.
Siosservichegliinsiemiordinatipossonoesseredescrittiusandolanotazioneinsiemistica
classica,senzaintrodurrecioèilconcettodiordinesuuninsieme. Adesempio,lacoppiaordi-
nata(a,b)sipuòindicareancheconl’insieme{{a},{a,b}};infattiinquestoinsiemesièindicato
ilfattochea “vieneprima”dibsemplicementeripetendoloduevolte,laprimavoltaformando
l’insieme{a}, lasecondacomeelementodell’insieme{a,b}. Sifacciaattenzionechel’insieme
{{a},{a,b}},l’insieme{{a},{b,a}}el’insieme{{a,b},{a}}sonouguali,inquantoinquestanota-
zionenonèrilevantel’ordineincuiglielementicompaionotraparentesigraffe. Analogamente
l’insiemeordinato(a,b,c)sipuòindicareanchecon{{a},{a,b},{a,b,c}};l’insiemecosìfattofor-
nisceinformazionisuqualeelementovaconsideratocomeprimo,qualecomesecondoequale
cometerzo.Allostessomodosipossonodenotareinsiemiordinatifinitiarbitrari.
8. Prodottodiinsiemi
Date due classi A e B consideriamo la classe i cui elementi sono le coppie ordinate in cui
ilprimoelementoappartieneallaclasse A,ilsecondoallaclasseB. Taleclassesidiceprodotto
delleclassi AeB.
DEFINIZIONE8.1. DatedueclassiAeBilprodottodiAperBèlaclasse{(a,b)|a∈Aeb∈B}
esiindicacon A×B.
Sinoticheglielementidelprodottosonocoppieordinate.Pertantoingeneralel’operazione
prodotto non è commutativa, cioè date due classi A e B in generale A×B è diverso da B×A;
questo perché gli elementi di A×B hanno come primo termine della coppia elementi di A e
comesecondotermineelementidiB,mentreglielementidiB×Ahannocomeprimotermine
dellacoppiaelementidiB ecomesecondotermineelementidi A.
ESEMPIO 8.2. Se A={1,2,3}eB ={a,b,c}, ilprodotto A×B èlaclasse{(1,a), (1,b), (1,c),
(2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)}, mentre il prodotto B×A è la classe {(a,1), (a,2), (a,3),
(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}.
SeunadelledueclassiAeB chesistannoconsiderandoèl’insiemevuoto,allorailprodotto
A×Bèl’insiemevuoto:infattinonsipossonocostruirecoppieordinateconilprimooilsecondo
termine appartenente all’insieme vuoto, dato che (cid:59) non contiene alcun elemento. Inoltre, se
A(cid:48)⊆AeB(cid:48)⊆B,èfacileverificareche A(cid:48)×B(cid:48)⊆A×B.
Siosservichese A eB sonoentrambiinsiemi,alloraancheilprodotto A×B èuninsieme.
Infattiabbiamogiàvistocheognicoppiaordinata(a,b)sipuòrappresentaretramitel’insieme
{{a},{a,b}}. Datoche{a}e{a,b}sonoelementidell’insiemedellepartiP(A∪B),inquantosot-
toinsiemidi A∪B,siottieneche A×B ⊆P(P(A∪B)). Quindiapplicandoilsecondo,ilterzoeil
quintoassiomadellaSezione5,possiamoconcludereche A×B èuninsieme.
Perconcludere,sipuòfacilmentegeneralizzarelanozionediprodottotradueclassiaquello
tranclassi. Infattise A , A ,..., A sononclassi,ilprodotto A ×A ×···×A èl’insiemedelle
1 2 n 1 2 n
n-upleordinateconilprimotermineappartenenteaA ,ilsecondoaA ,eingeneralel’i-esimo
1 2
termineappartenentea A .
i
ESERCIZI
ESERCIZIO1.1. SiaX unaclassetalecheX ⊆Y perogniclasseY.SidimostricheX =(cid:59).
ESERCIZIO1.2. Sidimostriche,datedueclassiX eY,X∩Y èlapiùgrandeclassecontenuta
siain X cheinY;analogamentesidimostriche X ∪Y èlapiùpiccolaclassecontenentesia X
cheY.
