Table Of Content3
e
m
u
l
o
V
Matemática
Ensino Médio
LUIZ ROBERTO DANTE
• Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática, pela PUC – São Paulo
• Mestre em Matemática pela USP
• Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
• Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo
• Autor de vários livros, entre os quais: Didática da resolução de problemas de Matemática;
Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprendendo Sempre (1º- ao 5º- ano);
Tudo é Matemática (6º- ao 9º- ano); Matemática Contexto & Aplicações (Volume único),
por esta editora.
1a edição
1a impressão
Manual do Professor
2013 – São Paulo
Gerente Editorial: Margarete Gomes
Editora: Cármen Matricardi
Edição de texto: L ídia La Marck
Sônia Scoss Nicolai
Revisão: H élia de Jesus Gonsaga (ger.)
Kátia Scaff Marques (coord.)
Ivana Alves Costa
Maurício Baptista Vieira
Patrícia Travanca
Assessoria didática: E loy Ferraz Machado Neto
Sofia Isabel Machado Lucas
Pesquisa iconográfica e cartográfica: S ílvio Kligin (superv.)
Cláudia Bertolazzi (iconografia)
Márcio Santos de Souza (cartografia)
Edição de arte: Rosimeire Tada (coord.)
Programação visual: Catherine Saori Ishihara
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.
Maria Alice Silvestre Guimarães
Loide Edelweiss Iizuka
Ilustrações e gráficos: Formato Comunicação Ltda.
Capa: Estúdio Sintonia
Foto da capa: David Gould/Photographer’s Choice RF/Getty
Images
Título original da obra: M atemática – Contexto & Aplicações – Volume 3
© Editora Ática S.A.
ISBN 978 85 08 12913-3 (aluno)
ISBN 978 85 08 12914-0 (professor)
2013
Todos os direitos reservados pela Editora Ática S.A.
Av. Otaviano Alves de Lima, 4400
5º- andar e andar intermediário Ala A
Freguesia do Ó – CEP 02909-900
São Paulo – SP
Tel.: 0800 115152 – Fax: 0(XX)11 3990-1616
www.atica.com.br
[email protected]
2
ApresentAção
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos
fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
Ao elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as ideias que abrem esta
apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar condições para que o aluno possa compreender
as ideias básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de saber
aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de maneira intuitiva e
compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos
o rigor coerente com o nível para o qual a coleção está sendo proposta.
Na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais sobre o assunto que será discutido,
para preparar o aluno e despertar nele o interesse sobre o tema.
Antes de resolver os exercícios propostos, é absolutamente necessário que o aluno estude a
teoria e refaça os exemplos. Na seção Tim-tim por tim-tim, com exemplos comentados, explicitamos
as fases da resolução de um problema.
A seção A Matemática e as práticas sociais foi criada para formular, resolver e interpretar si-
tuações-problema que exigem a participação consciente do cidadão na sociedade.
Cada capítulo contém ainda uma seção de Atividades adicionais com questões de vestibulares
de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
No fim de cada volume foram incluídas questões do Exame Nacional do Ensino Médio
(Enem).
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino
Médio, além de auxiliar o aluno em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos
cursos de Educação Superior.
Esperamos poder contribuir para o trabalho do professor em sala de aula e para o processo
de aprendizagem dos alunos, consolidando e aprofundando o que eles aprenderam no Ensino
Fundamental.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre bem-
-vindas.
O autor
3
sumário
Capítulo 1 6. Estatística e probabilidade .................................. 37
A Matemática e as práticas sociais ............................. 41
o princípio de indução Finita ...................... 8
Atividades adicionais ........................................................ 43
1. Introdução .................................................................... 10
2. O Princípio de Indução Finita (P.I.F.).............. 10
Capítulo 3
Geometria analítica: ponto e reta ....... 48
Capítulo 2
1. Introdução .................................................................... 50
estatística ......................................................................... 14
2. S istema cartesiano ortogonal ........................... 50
1. Introdução .................................................................... 16 3. Distância entre dois pontos ............................... 51
2. Termos de uma pesquisa estatística............. 16 Fórmula da distância entre dois pontos ............ 52
População e amostra ..................................................... 16 4. C oordenadas do ponto médio
Indivíduo ou objeto ....................................................... 16 de um segmento de reta ..................................... 54
Variável ................................................................................... 17 5. Condição de alinhamento
Frequência absoluta e frequência relativa ....... 17 de três pontos ............................................................. 56
3. Representação gráfica ........................................... 21 6. I nclinação de uma reta .......................................... 57
Gráfico de segmentos ................................................... 22 7. Coeficiente angular de uma reta .................... 58
Gráfico de barras .............................................................. 23 8. Equação da reta quando são
Gráfico de setores ............................................................ 25 conhecidos um ponto P (x , y )
0 0 0
Histograma .......................................................................... 26 e a declividade m da reta .................................... 60
4. Medidas de tendência central .......................... 29 9. Formas da equação da reta ................................ 61
Média aritmética (MA) .................................................. 29 Forma reduzida da equação da reta .................... 61
Moda (Mo) ............................................................................ 31 Equação geral da reta ................................................... 61
Mediana (Me) ..................................................................... 32 Forma segmentária da equação da reta ........... 62
Média aritmética, moda e mediana 10. Posições relativas de duas retas
a partir das tabelas de frequências ....................... 32 no plano ................................................................................. 64
5. Medidas de dispersão ............................................ 34 Retas paralelas ................................................................... 64
Variância (V) ......................................................................... 35 Retas concorrentes ......................................................... 65
Desvio padrão (DP) ......................................................... 35 Intersecção de duas retas ........................................... 66
4
11. Perpendicularidade de duas retas ................. 67 2. Definição e equação ............................................... 82
12. Distância de um ponto a uma reta ................ 70 Equação normal da circunferência ....................... 82
Fórmula da distância de um ponto 3. Posições relativas entre reta
a uma reta ............................................................................ 71 e circunferência ......................................................... 87
13. Ângulo formado por duas retas ...................... 72
4. Problemas de tangência ...................................... 89
14. Área de uma região triangular ......................... 73
5. Posições relativas de duas
Fórmula da área de uma região
circunferências ........................................................... 91
triangular ............................................................................... 74
6. Aplicações à Geometria plana .......................... 94
15. Aplicações à Geometria
A Matemática e as práticas sociais ............................. 96
plana ................................................................................. 75
Atividades adicionais ........................................................ 98
A Matemática e as práticas sociais ............................. 76
Atividades adicionais ........................................................ 77
Capítulo 5
Capítulo 4
Geometria analítica:
Geometria analítica: secções cônicas ...................................................... 102
a circunferência ........................................................ 80
1. Introdução .................................................................... 104
1. Introdução .................................................................... 82
2. Parábola .......................................................................... 104
Origem ................................................................................... 104
MAGES Definição e elementos ................................................. 105
GETTy I Equação da parábola ..................................................... 106
PETER WIllI/ 3. Elipse ................................................................................ 113
Origem ................................................................................... 113
Definição e elementos ................................................. 113
Equação da elipse ............................................................ 114
4. Hipérbole ....................................................................... 122
Origem ................................................................................... 122
Definição e elementos ................................................. 122
Equação da hipérbole ................................................... 123
Assíntotas da hipérbole ............................................... 125
Hipérbole equilátera ...................................................... 128
5. Outras aplicações ..................................................... 129
A Matemática e as práticas sociais ............................. 131
Atividades adicionais ........................................................ 133
Leitura ...................................................................................... 135
55
Capítulo 6 Potenciação de números complexos
na forma trigonométrica – a primeira
números complexos ............................................ 136 fórmula de De Moivre ................................................... 156
Radiciação – raízes enésimas
1. Introdução .................................................................... 138
de números complexos ............................................... 160
2. O conjunto dos números complexos .......... 138
9. Equações binômias e trinômias ...................... 165
3. Forma algébrica dos números
10. Outras aplicações ..................................................... 167
complexos..................................................................... 140
Aplicação à Geometria ................................................. 167
é subconjunto de .................................................. 140
R C Aplicação à Engenharia elétrica.............................. 168
A unidade imaginária .................................................... 140
Atividades adicionais ........................................................ 169
A forma algébrica ............................................................ 141
Leitura ...................................................................................... 171
4. Representação geométrica
dos números complexos ..................................... 145
5. Conjugado de um número complexo ........ 147 Capítulo 7
Interpretação geométrica
polinômios e equações
do conjugado .................................................................... 148
algébricas ........................................................................... 172
Propriedades do conjugado ..................................... 148
6. Divisão de números complexos ...................... 149 1. Introdução .................................................................... 174
7. Módulo de um número 2. Definição ........................................................................ 174
complexo ....................................................................... 150 3. Função polinomial ................................................... 175
Propriedades envolvendo módulo ...................... 151 Polinômio ............................................................................. 175
8. Forma trigonométrica dos 4. Valor numérico de um
números complexos ............................................... 152 polinômio ...................................................................... 176
Multiplicação de números complexos 5. Igualdade de polinômios .................................... 177
na forma trigonométrica ............................................. 154
6. Raiz de um polinômio ........................................... 178
Divisão de números complexos
7. Operação com polinômios ................................. 179
na forma trigonométrica ............................................. 155
Divisão de polinômios .................................................. 179
8. Equações polinomiais ou algébricas:
NS
MO definição e elementos ........................................... 185
M
O
Wk C Raiz de uma equação polinomial
G bEyER/ ou algébrica ........................................................................ 185
N
OlFGA Conjunto solução de uma equação
W
algébrica ................................................................................ 185
9. Teorema fundamental
da Álgebra ..................................................................... 185
10. Decomposição em fatores
de primeiro grau ....................................................... 186
Multiplicidade da raiz .................................................... 187
6
11. Relações de Girard ................................................... 189 Derivada do produto de uma constante
Na equação do 2º- grau................................................. 189 por uma função: g(x) 5 c ? f(x) ................................ 213
8. Propriedades operatórias
Na equação do 3º- grau................................................. 189
das derivadas ............................................................... 213
Na equação de grau n .................................................. 190
Derivada de uma soma (ou diferença)
12. Pesquisa de raízes racionais
de funções ........................................................................... 214
de uma equação algébrica de
9. A plicações da derivada ......................................... 214
coeficientes inteiros ................................................ 192
Velocidade média ............................................................ 214
13. Raízes complexas não reais numa
equação algébrica de Velocidade instantânea num ponto .................... 215
coeficientes reais....................................................... 195 Aceleração ............................................................................ 216
A Matemática e as práticas sociais ............................. 196 10. Interpretação geométrica
da derivada ................................................................... 219
Atividades adicionais ........................................................ 198
Declividade ou coeficiente angular
Leitura ...................................................................................... 201
de uma reta ......................................................................... 219
Reta tangente a uma curva num ponto ............ 220
Capítulo 8
Reta tangente, declividade de uma
curva e derivada ............................................................... 220
noções intuitivas sobre
Equação da reta tangente .......................................... 220
derivada ............................................................................... 202
11. Estudo do comportamento de
1. Introdução .................................................................... 204 funções............................................................................ 222
2. Incremento de uma variável .............................. 204 Comportamento da função
3. Incremento de uma função ............................... 204 afim y 5 f(x) 5 ax 1 b .................................................. 224
Comportamento da função quadrática
4. Razão entre incrementos:
y 5 f(x) 5 ax2 1 bx 1 c ............................................... 225
taxa média de variação ......................................... 204
Atividades adicionais ........................................................ 227
5. Taxa de variação instantânea ............................ 206
Significado e cálculo da taxa
de variação instantânea ............................................... 206
Questões do enem ................................................... 228
6. Derivada ......................................................................... 207
Definição de derivada ................................................... 207 Glossário ............................................................................. 235
Cálculo da derivada ........................................................ 208
sugestões de leituras
7. Derivadas de algumas funções complementares ...................................................... 239
elementares ................................................................. 212
significado das siglas
Derivada da função afim: f(x) 5 ax 1 b ............. 212
de vestibulares .......................................................... 239
Derivada da função identidade: f(x) 5 x ........... 212
Derivada da função constante: f(x) 5 k ............. 213 referências bibliográficas ........................... 240
Derivada da função potência com
expoente natural: f(x) 5 xn ......................................... 213 respostas ......................................................................... 241
7
ccaappííttuulloo 21
O PrincíPiO de
induçãO Finita
A essência do método matemático é o raciocínio Consideremos dois números naturais pares
dedutivo, que leva a uma demonstração. Na lógica a e b. Eles podem ser representados por:
clássica de Aristóteles, uma das primeiras inferências
a (cid:31) 2n, n (cid:31) IN*
dedutivas é conhecida por silogismo. Observe um Hipótese
b (cid:31) 2m, m (cid:31)IN*
silogismo:
a (cid:31) b (cid:30) 2k, k (cid:31) IN* CToesneclouusãcoonclusão
Todo homem é mortal.
Preemissas (hipóteses)
Sócrates é homem. Demonstração: A soma de dois números naturais
é sempre um número natural
(propriedade do fechamento da
Portanto, Sócrates é morttal.Conclusão adição de números naturais).
a (cid:31) b (cid:30) 2n (cid:31) 2m (cid:30) 2(n (cid:31) m) (cid:30) 2k, k [ IIN*,
A partir de duas premissas chegamos, por (cid:31)(cid:29)(cid:30)(cid:29)(cid:28)
k
raciocínio lógico dedutivo, à conclusão. Esse é um
ou seja, a (cid:31) b (cid:30) 2k,k [ IN*, o que prova que
exemplo de raciocínio dedutivo.
a 1 b é um número natural par, ou seja, deduzi-
Há muitos outros tipos de demonstrações em
mos que “a soma de dois números naturais pares
Matemática. Por exemplo, vamos demonstrar (ou
é um número natural par”.
provar) que:
Por outro lado, o raciocínio que se baseia na
“A soma de dois números naturais pares é um
análise de uma variedade de casos ou numa
número natural par”.
amostra ou conjunto de dados, descobrindo pro-
Sabemos que um número natural par pode
babilidades de ocorrência e tirando conclusões, é
ser representado por 2n, com
n [ IN* 5 {1, 2, 3, 4, ...}. Por exemplo, chamado raciocínio indutivo.
Os cientistas usam o raciocínio indutivo quando
10 5 2 ? 5; 6 5 2 ? 3; 24 5 2 ? 12.
fazem experimentos para descobrir leis da natureza.
ESSErP-ECNArf ECNEg Otirsa mesO tca rotaíncsctioilcucosínsõ ieous si naddmeu utoimv ro ac lceoivonacju íann uitomo idan edco udntaijvedcoot usq.rua,a unmdoa
A/itrO afirmação que é verdadeira para um número signi-
ilg
Ad iN ficativo de casos, mas que ainda não foi provada se
N
Aig é verdadeira ou falsa nem nunca será.
O raciocínio indutivo sempre comportará exceção
à regra. Vejamos um exemplo de conjectura falsa.
O fato de uma proposição ser verdadeira pa-
ra alguns valores particulares não significa que ela
Sócrates é verdadeira para qualquer valor ou para todos os
(c. 470-399 a.C.).
valores em questão.
88 Matemática
fermat (1601-1665) conjecturou que a fórmula p (cid:31) 22n (cid:30) 1, paran [ IN (cid:31) {0,1, 2, 3, 4, ...}
gerava apenas números primos para qualquer n [ IN. É provável que ele tenha verificado até n 5 4,
encontrando, de fato, os primos:
• para n 5 0 temos p (cid:31) 220(cid:30) 1 (cid:31) 3; • para n 5 3 temos p (cid:31) 223 (cid:30) 1 (cid:31) 257;
• para n 5 1 temos p (cid:31) 221 (cid:30) 1(cid:31) 5; • para n 5 4 temos p (cid:31) 224 (cid:30) 1(cid:31) 65537.
• para n 5 2 temos p (cid:31) 222 (cid:30) 1(cid:31)17;
Mas Euler (1707-1783) provou que essa conjectura é falsa para n 5 5. Observe que para n 5 5
temos p (cid:31) 225(cid:30) 1(cid:31) 232 (cid:30) 1(cid:31) 4294967297 (cid:31) 641 3 6 700 417, que é divisível por 641 e, portan-
to, não é primo.
Esse exemplo mostra que as afirmações matemáticas não combinam com o raciocínio matemá-
tico. Elas requerem, necessariamente, o raciocínio dedutivo, pois queremos que tal propriedade seja
verdadeira para todo o universo considerado.
Um dos métodos de dedução que nos permitem concluir se uma proposição matemática é
verdadeira ou falsa é o Princípio de Indução Finita (P.i.f.). Ele se aplica quando as proposições dizem
respeito aos números naturais.
n(n (cid:31) 1)
Por exemplo, consideremos a igualdade 1 (cid:31) 2 (cid:31) 3 (cid:31) 4 (cid:31) … (cid:31) n (cid:30) , para qualquer
2
n [ IN*.
Vejamos o que ocorre para alguns valores particulares de n: Para refletir
1(1 (cid:30) 1)
• para n 5 1 temos 1(cid:31) e 1 5 1; O P.I.F. não é um tipo
2 de raciocínio indutivo,
apesar de o nome con-
2(2 (cid:31) 1)
• para n 5 2 temos 1 (cid:31) 2 (cid:30) e 3 5 3; ter a palavra “indução”.
2 O P.I.F. é um tipo de ra-
ciocínio dedutivo.
3(3 (cid:31) 1)
• para n 5 3 temos 1 (cid:31) 2 (cid:31) 3 (cid:30) e 6 5 6.
2
Vemos que, para esses casos particulares, a proposição é verdadeira. Mas como demonstrar
isso para qualquer n [ IN*? Neste capítulo, aprenderemos a utilizar o P.i.f. como método dedutivo
para fazer as demonstrações.
ATENÇÃO! NÃO ESCREVA NO LIVRO.
>
atividade
O triângulo tem três lados e nenhuma diagonal, o quadrilátero tem quatro lados e duas diagonais, o
pentágono tem cinco lados e cinco diagonais e o hexágono tem seis lados e nove diagonais.
n 5 3 d 5 0 n 5 4 d 5 2 n 5 5 d 5 5 n 5 6 d 5 9
Constate que a fórmula que fornece o número de diagonais (d) de um polígono de n lados é dada por
n(n (cid:30) 3)
d (cid:31) . Será que essa fórmula vale de um modo geral, ou seja, vale para todo n [ IN*, com n . 2?
2
Troque ideias com seus colegas.
capítulo 1 | O Princípio de Indução Finita 99
