Table Of ContentCopyright © Matematicamente.it 2011
Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della
Licenza Creative Commons Attribuzione - Non Commerciale - Condividi allo stesso
Modo 2.5 Italia il cui testo integrale è disponibile al sito
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/it/legalcode.
Tu sei libero:
di riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare
quest'opera, di modificare quest'opera, alle seguenti condizioni:
Attribuzione — Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera
in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera.
Non commerciale — Non puoi usare quest'opera per fini commerciali.
Condividi allo stesso modo — Se alteri o trasformi quest'opera, o se la usi per crearne un'altra, puoi
distribuire l'opera risultante solo con una licenza identica o equivalente a questa.
Per maggiori informazioni su questo particolare regime di diritto d'autore si legga il materiale informativo
pubblicato su www.copyleft-italia.it.
Coordinatore del progetto
Antonio Bernardo
Autori
Claudio Carboncini Antonio Bernardo Erasmo Modica
Anna Cristina Mocchetti Germano Pettarin Francesco Daddi
Angela D'Amato Nicola Chiriano
Hanno collaborato
Laura Todisco Daniele Zambelli Michela Todeschi
Nicola De Rosa Paolo Baggiani Luca Tedesco
Vittorio Patriarca Francesco Speciale Alessandro Paolino
Luciano Sarra Maria Rosaria Agrello Alberto Giuseppe Brudaglio
Lucia Rapella Francesca Lorenzoni Sara Gobbato
Mauro Paladini Anna Maria Cavallo Elena Stante
Giuseppe Pipino Silvia Monatti Andrea Celia
Gemma Fiorito Dorotea Jacona Simone Rea
Nicoletta Passera Pierluigi Cunti Francesco Camia
Anna Rita Lorenzo Alessandro Castelli Piero Sbardellati
Luca Frangella Raffaele Santoro Alessandra Marrata
Mario Bochicchio Angela Iaciofano Luca Pieressa
Collaborazione, commenti e suggerimenti
Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C3 o se vuoi inviare
commenti e/o suggerimenti scrivi a [email protected]
Versione del documento
Versione 2.0 del 21.04.2011
Stampa
Seconda edizione, maggio 2011
ISBN 978-88-96354-11-7
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 - seconda edizione
INDICE
CAPITOLO 1 NUMERI
1.NUMERI NATURALI..................................................................................................................N3
►1. L'origine dei numeri..............................................................................................................N3
►2. Il sistema di numerazione decimale posizionale...................................................................N3
►3. I numeri naturali....................................................................................................................N4
►4. Rappresentazione geometrica...............................................................................................N4
►5. Addizione e moltiplicazione di numeri naturali....................................................................N4
►6. Sottrazione e divisione di numeri naturali............................................................................N5
►7. Potenza..................................................................................................................................N8
►8. Proprietà delle operazioni.....................................................................................................N9
►9. Numeri primi.......................................................................................................................N11
►10. Criteri di divisibilità..........................................................................................................N12
►11. Scomporre in fattori primi.................................................................................................N13
►12. Massimo comune divisore e Minimo comune multiplo...................................................N14
►13. Espressioni numeriche......................................................................................................N16
►14. Altri esercizi......................................................................................................................N18
2.NUMERI INTERI RELATIVI..................................................................................................N20
►1. I numeri che precedono lo zero...........................................................................................N20
►2. I numeri relativi e la retta....................................................................................................N20
►3. Confronto di numeri relativi...............................................................................................N21
►4. Le operazioni con i numeri relativi.....................................................................................N22
►5. Le proprietà delle operazioni nell'insieme dei numeri relativi............................................N26
►6. Altri esercizi........................................................................................................................N29
3.FRAZIONI E NUMERI RAZIONALI.....................................................................................N32
►1. Premessa storica..................................................................................................................N32
►2. Frazioni...............................................................................................................................N32
►3. Dalle frazioni ai numeri razionali.......................................................................................N37
►4. La scrittura dei numeri razionali.........................................................................................N38
►5. Le percentuali......................................................................................................................N41
►6. I numeri razionali e la retta.................................................................................................N42
►7. Confronto tra numeri razionali............................................................................................N43
►8. Le operazioni con i numeri razionali..................................................................................N44
►9. Potenza di una frazione.......................................................................................................N49
►10. Notazione scientifica e ordine di grandezza.....................................................................N49
►11. Problemi con le frazioni....................................................................................................N52
►12. Proporzioni........................................................................................................................N54
►13. Altri esercizi......................................................................................................................N59
1
INDICE
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 - seconda edizione
4.INTRODUZIONE AI NUMERI REALI..................................................................................N65
►1. La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante........................................N65
►2. I numeri irrazionali.............................................................................................................N66
►3. Operazioni con le radici quadrate.......................................................................................N67
►4. Altri esercizi........................................................................................................................N71
5.I SISTEMI DI NUMERAZIONE..............................................................................................N74
►1. La scrittura in base 10.........................................................................................................N74
►2. Scrittura di un numero in una base qualsiasi......................................................................N75
►3. Operazioni in base diversa da dieci....................................................................................N80
CAPITOLO 2 INSIEMI
1. GENERALITÀ SUGLI INSIEMI...............................................................................................I3
►1. Insiemi ed elementi.................................................................................................................I3
►2. Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità.........................................................................I5
2. RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI...............................................................................I7
►1. Rappresentazione tabulare......................................................................................................I7
►2. Rappresentazione per proprietà caratteristica.........................................................................I7
►3. Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn)....................................................................I8
3. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI..........................................................................................I11
►1. Sottoinsieme.........................................................................................................................I11
►2. Insieme delle parti................................................................................................................I12
►3. Insieme unione......................................................................................................................I13
►4. Insieme intersezione.............................................................................................................I15
►5. Insieme differenza................................................................................................................I16
►6. Insieme complementare........................................................................................................I18
►7. Leggi di De Morgan.............................................................................................................I18
►8. Prodotto cartesiano fra insiemi.............................................................................................I19
►9. Rappresentazione del prodotto cartesiano tra insiemi..........................................................I20
►10. I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema..............................................I22
4. RELAZIONI................................................................................................................................I29
►1. Proposizioni e predicati........................................................................................................I29
►2. Relazioni in un insieme........................................................................................................I29
►3. Rappresentazioni di una relazione........................................................................................I30
►4. Proprietà delle relazioni........................................................................................................I32
►5. Relazioni di equivalenza.......................................................................................................I35
►6. Relazioni di ordine...............................................................................................................I38
5. CORRISPONDENZE TRA INSIEMI......................................................................................I42
►1. Prime definizioni..................................................................................................................I42
►2. Rappresentazione di una corrispondenza.............................................................................I43
►3. Caratteristiche di una corrispondenza..................................................................................I44
►4. La retta e gli insiemi numerici..............................................................................................I48
►5. Funzioni o applicazioni........................................................................................................I50
2
INDICE
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 - seconda edizione
6. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI FUNZIONI...............................................................I56
►1. Il metodo delle coordinate cartesiane...................................................................................I56
►2. Il grafico di una funzione.....................................................................................................I61
APPROFONDIMENTI..................................................................................................................I72
►1. Particolari relazioni d’equivalenza.......................................................................................I72
►2. Insiemi finiti e insiemi infiniti..............................................................................................I79
CAPITOLO 3 CALCOLO LETTERALE
1. ESPRESSIONI LETTERALI E VALORI NUMERICI..........................................................L3
►1. Lettere per esprimere formule...............................................................................................L3
►2. Lettere per descrivere schemi di calcolo...............................................................................L3
►3. Lettere per esprimere proprietà.............................................................................................L4
►4. Il valore numerico di un’espressione letterale.......................................................................L5
►5. Condizione di esistenza di un’espressione letterale..............................................................L8
2. MONOMI...................................................................................................................................L10
►1. L’insieme dei monomi.........................................................................................................L10
►2. Il valore di un monomio......................................................................................................L12
►3. Moltiplicazione di due monomi..........................................................................................L13
►4. Potenza di un monomio.......................................................................................................L14
►5. Addizione di due monomi...................................................................................................L15
►6. Divisione di due monomi....................................................................................................L17
►7. Espressioni con i monomi...................................................................................................L18
3. POLINOMI................................................................................................................................L20
►1. Definizioni fondamentali.....................................................................................................L20
►2. Somma algebrica di polinomi..............................................................................................L21
►3. Prodotto di un polinomio per un monomio.........................................................................L22
►4. Quoziente tra un polinomio e un monomio.........................................................................L23
►5. Prodotto di polinomi............................................................................................................L24
4. PRODOTTI NOTEVOLI..........................................................................................................L27
►1. Quadrato di un binomio.......................................................................................................L27
►2. Quadrato di un polinomio....................................................................................................L29
►3. Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza............................................L30
►4. Cubo di un Binomio............................................................................................................L31
5. DIVISIONE TRA DUE POLINOMI.......................................................................................L35
►1. Polinomi in una sola variabile.............................................................................................L35
►2. Polinomi in più variabili......................................................................................................L38
►3. Regola di Ruffini.................................................................................................................L39
6. M.C.D. E m.c.m. TRA MONOMI............................................................................................L44
►1. Massimo Comune Divisore.................................................................................................L44
►2. Minimo comune multiplo....................................................................................................L45
3
INDICE
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 - seconda edizione
CAPITOLO 4 EQUAZIONI
1. IDENTITÀ ED EQUAZIONI, PRINCIPI DI EQUIVALENZA.............................................E2
►1. Identità ed equazioni.............................................................................................................E2
►2. Ricerca dell’insieme soluzione..............................................................................................E3
►3. Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado..................................................E4
►4. Equazioni a coefficienti frazionari........................................................................................E7
2. PROBLEMI DI PRIMO GRADO IN UNA INCOGNITA....................................................E12
►1. Un po’ di storia e qualche aneddoto....................................................................................E12
►2. Risoluzione dei problemi.....................................................................................................E12
CAPITOLO 5 SCOMPOSIZIONE E FRAZIONI
1 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI...............................................................................................S3
►1. Cosa significa scomporre in fattori........................................................................................S3
►2. Raccoglimento totale a fattore comune.................................................................................S4
►3. Raccoglimento parziale a fattore comune.............................................................................S6
2. RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI...............................................................S8
►1. Quadrato di un binomio.........................................................................................................S8
►2. Quadrato di un polinomio....................................................................................................S10
►3. Cubo di un binomio.............................................................................................................S11
►4. Differenza di due quadrati...................................................................................................S12
3. ALTRE TECNICHE DI SCOMPOSIZIONE..........................................................................S15
►1. Trinomi particolari...............................................................................................................S15
►2. Scomposizione con la regola Ruffini...................................................................................S17
►3. Somma e differenza di due cubi..........................................................................................S20
4. SCOMPOSIZIONE MEDIANTE METODI COMBINATI..................................................S21
5. M.C.D. E m.c.m. TRA POLINOMI.........................................................................................S29
►1. Massimo Comun Divisore...................................................................................................S29
►2. Minimo comune multiplo....................................................................................................S29
6. FRAZIONI ALGEBRICHE......................................................................................................S31
►1. Definizione di frazione algebrica........................................................................................S31
►2. Discussione di una frazione algebrica.................................................................................S32
►3. Semplificazione di una frazione algebrica...........................................................................S33
►4. Moltiplicazione di frazioni algebriche.................................................................................S37
►5. Potenza di una frazione algebrica........................................................................................S39
►6. Divisione di frazioni algebriche..........................................................................................S40
►7. Addizione di frazioni algebriche..........................................................................................S42
►8. Espressioni con le frazioni algebriche.................................................................................S45
4
INDICE
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 - seconda edizione
CAPITOLO 6 ALGEBRA DI PRIMO GRADO
1. EQUAZIONI................................................................................................................................P3
►1. Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado..........................................P3
►2. Equazioni numeriche frazionarie...........................................................................................P6
►3. Equazioni letterali................................................................................................................P11
►4. Equazioni letterali con termini frazionari............................................................................P14
►5. Equazioni letterali e formule inverse...................................................................................P21
2. DISEQUAZIONI........................................................................................................................P24
►1. Intervalli sulla retta reale.....................................................................................................P24
►2. Disequazioni numeriche......................................................................................................P26
►3. Ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione...........................................................P27
►4. Problemi con le disequazioni...............................................................................................P31
►5. Sistemi di disequazioni........................................................................................................P33
►6. Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo........................................................P37
►7. Disequazioni frazionarie......................................................................................................P42
3. SISTEMI DI EQUAZIONI.......................................................................................................P47
►1. Definizione di equazione lineare in due incognite..............................................................P47
►2. Rappresentazione di un'equazione lineare sul piano cartesiano..........................................P48
►3. Definizione di sistema di equazioni.....................................................................................P50
►4. Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema...............................................P51
►5. Metodo di sostituzione.........................................................................................................P52
►6. Metodo del confronto..........................................................................................................P54
►7. Metodo di riduzione.............................................................................................................P55
►8. Metodo di Cramer................................................................................................................P57
►9. Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni...............................................................P59
►10. Il metodo grafico...............................................................................................................P61
►11. Sistemi fratti.......................................................................................................................P66
►12. Sistemi letterali..................................................................................................................P69
►13. Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.................................................................P72
►14. Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili..........................................................P75
►15. Problemi da risolvere con i sistemi....................................................................................P77
CAPITOLO 7 STATISTICA
►1. Indagine statistica..................................................................................................................S2
►2. Fasi di un'indagine statistica..................................................................................................S3
►3. Spoglio delle schede e tabulazione........................................................................................S3
►4. Rappresentazione grafica.......................................................................................................S8
Diagramma cartesiano.....................................................................................................S8
Ideogramma...................................................................................................................S10
Diagramma a barre o a colonne.....................................................................................S11
Areogramma..................................................................................................................S12
Istogramma....................................................................................................................S14
►5. Indici di posizione...............................................................................................................S17
Moda..............................................................................................................................S17
5
INDICE
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 - seconda edizione
Mediana.........................................................................................................................S18
Media aritmetica............................................................................................................S19
►6. Indici di variabilità...............................................................................................................S20
Quesiti dalle prove INVALSI...........................................................................................................S26
CAPITOLO 8 VETTORI E FUNZIONI CIRCOLARI
1. VETTORI........................................................................................................................................2
►1. Prime definizioni......................................................................................................................2
►2. Operazioni con i vettori...........................................................................................................4
►3. Dipendenza e indipendenza lineare.........................................................................................7
2. INTRODUZIONE ALLA TRIGONOMETRIA..........................................................................8
►1. Prime definizioni......................................................................................................................8
►2. Due identità fondamentali........................................................................................................9
►3. Angoli particolari...................................................................................................................11
►4. Usare la calcolatrice...............................................................................................................12
►5. Operazioni con i gradi sessagesimali.....................................................................................14
►6. Risoluzione di triangoli rettangoli.........................................................................................15
►7. Triangolo qualsiasi.................................................................................................................18
Esercizi applicati alla fisica.............................................................................................21
Problemi sulle forze.........................................................................................................22
►8. Risoluzione di un triangolo qualunque..................................................................................23
Caso del primo criterio di congruenza.............................................................................24
Caso del terzo criterio di congruenza..............................................................................24
Caso del secondo criterio di congruenza.........................................................................25
Riflessioni sull’uso del teorema dei seni.........................................................................25
Esercizi sui triangoli generici: uso dei teoremi di Euler e di Carnot...............................26
►9. Le funzioni circolari...............................................................................................................26
6
INDICE
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 – 1. Numeri
MATEMATICA C3 -ALGEBRA 1
1 NUMERI
One door, one key...
Photo by: Silv3rFoX
Taken from: http://www.flickr.com/photos/12030514@N08/2272118558/
License: Creative Commons Attribution
1
NUMERI
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra 1 – 1. Numeri
Indice
1.NUMERI NATURALI....................................................................................................................3
►1. L'origine dei numeri.................................................................................................................3
►2. Il sistema di numerazione decimale posizionale......................................................................3
►3. I numeri naturali.......................................................................................................................4
►4. Rappresentazione geometrica..................................................................................................4
►5. Addizione e moltiplicazione di numeri naturali.......................................................................5
►6. Sottrazione e divisione di numeri naturali...............................................................................5
►7. Potenza.....................................................................................................................................8
►8. Proprietà delle operazioni........................................................................................................9
►9. Numeri primi..........................................................................................................................11
►10. Criteri di divisibilità.............................................................................................................13
►11. Scomporre in fattori primi....................................................................................................14
►12. Massimo comune divisore e Minimo comune multiplo......................................................15
►13. Espressioni numeriche.........................................................................................................17
►14. Altri esercizi.........................................................................................................................18
2.NUMERI INTERI RELATIVI.....................................................................................................21
►1. I numeri che precedono lo zero..............................................................................................21
►2. I numeri relativi e la retta.......................................................................................................21
►3. Confronto di numeri relativi..................................................................................................22
►4. Le operazioni con i numeri relativi........................................................................................23
►5. Altri esercizi...........................................................................................................................31
3.FRAZIONI E NUMERI RAZIONALI........................................................................................34
►1. Premessa storica.....................................................................................................................34
►2. Frazioni..................................................................................................................................34
►3. Dalle frazioni ai numeri razionali..........................................................................................39
►4. La scrittura dei numeri razionali............................................................................................40
►5. I numeri razionali e la retta....................................................................................................43
►6. Confronto tra numeri razionali..............................................................................................44
►7. Le operazioni con i numeri razionali.....................................................................................46
►8. Potenza di una frazione..........................................................................................................50
►9. Notazione scientifica e ordine di grandezza..........................................................................52
►10. Problemi con le frazioni.......................................................................................................55
►11. Le percentuali.......................................................................................................................56
►12. Proporzioni...........................................................................................................................60
►13. Altri esercizi.........................................................................................................................66
4.INTRODUZIONE AI NUMERI REALI.....................................................................................75
►1. La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante...........................................75
►2. I numeri irrazionali................................................................................................................75
►3. Operazioni con le radici quadrate..........................................................................................76
5.I SISTEMI DI NUMERAZIONE.................................................................................................82
►1. La scrittura in base 10............................................................................................................82
►2. Scrittura di un numero in una base qualsiasi.........................................................................83
►3. Operazioni in base diversa da dieci.......................................................................................88
2
NUMERI
