MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE 2017 Algebra Lineal y Aplicaciones

101 Pages·2017·2.31 MB·Spanish

MATEMÁTICA BÁSICA 2da PARTE
U N L 2017 F C E
EQUIPO DOCENTE

Profesor Titular Susana Marcipar Katz

Profesores Adjuntos Claudia Zanabria, Marta Nardoni
Jefes de Trabajos Prácticos María Cecilia Municoy, Cristina
Rogiano, Gabriela Roldán, Mariel

Lovato, Gustavo Cabaña y
Agustina Huespe

Algebra Lineal y

Aplicaciones
2da Edición
Teoría de los juegos,
Cadenas de Markov,
Extraído de la película: Una mente brillante.
Criptografía

Material Elaborado por: Claudia Zanabria,
Cristina Rogiano y Gabriela Roldán
Zanabria, Claudia
Algebra lineal y Aplicaciones, 2da edición : Teoría de los juegos, Cadenas de Markov, Criptografía /
Claudia Zanabria ; Gabriela Roldán ; Cristina Rogiano. - 2a ed mejorada. –
Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2016.
Libro digital, PDF

Archivo Digital: descarga y online
ISBN 978-987-692-099-5

1. Álgebra. 2. Economía. 3. Matemática Aplicada. I. Roldán, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Título
CDD 512.5

“Yo siempre he creído en los números. En
las ecuaciones y lógicas que llevan a la
razón. Pero tras una vida de tales
actividades, pregunto: ¿Qué es
realmente la lógica? ¿Quién decide qué
es la razón? Mi búsqueda me ha llevado
a través de lo físico... metafísico...
alucinatorio... y de regreso. Y he hecho el
descubrimiento más grande de mi
carrera. El descubrimiento más
importante de mi vida: Solo en las
misteriosas ecuaciones de amor puede
uno encontrar lógica y razón”.
John Nash
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UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
El presente es el fascículo 3 de la colección bibliográfica de Matemática Básica. En él se abordan tres situaciones
contextuales centrales, dos de ellas son problemas de decisión en el marco de: Teoría de los Juegos y Cadenas
de Markov y una tercera situación relaciona la codificación y decodificación de datos, criptografía. El análisis
y resolución de estas tres situaciones requiere la producción de modelos matemáticos que involucran conceptos
fundamentales del Algebra Lineal como los son: Matrices y Sistemas de Ecuaciones
La red conceptual del capítulo es:

TEORIA DE LOS CADENAS DE
CRIPTOGRAFIA
JUEGOS MARKOV
MATRICES
Concepto, lenguaje matricial,
clasificación, operaciones y
propiedades, matriz inversa.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Resolución por metodo de Gauss y
determinantes. Clasificación.
Teorema del Rango

El material se organiza en tres bloques:
Bloque 1: TEORIA DE LOS JUEGOS Y MATRICES (CONCEPTO Y OPERACIONES)
Bloque 2: CADENAS DE MARKOV Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Bloque 3: CRIPTOGRAFIA, MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES
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UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal
BLOQUE 1

TEORIA DE LOS JUEGOS
MATRICES
Concepto, lenguaje
matricial, clasificación,
operaciones y propiedades.

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TEORIA DE LOS JUEGOS

Un juego es cualquier situación en la cual, los que participan de él, deben tomar decisiones estratégicas y en
la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer. (Nicholson, 1997).
En este sentido, la teoría de los juegos trata del estudio de los problemas de decisión y propone modelos
matemáticos para su resolución.

Dicha teoría fue elaborada en 1939 por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern,
con el fin de realizar análisis económico de ciertos procesos de negociación.

En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las
situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de los
diferentes agentes o jugadores que intervienen con el fin de lograr un “premio”, por ejemplo la máxima utilidad,
el mayor bienestar o el menor riesgo, entre otras.

Los jugadores pueden ser personas, equipos, empresas, países, etc. y, como en todo juego, es necesario definir:
Reglas, Estrategias y Recompensas o Resultados. Las reglas compartidas por todos los juegos establecen que los
jugadores obran racionalmente y ambos conocen la información cierta de la situación. Asimismo, en la situación
de juego es fundamental el comportamiento estratégico de cada uno de los participantes o tomadores de
decisiones.

En el marco de La economía es importante conocer y aplicar esta teoría a fines de entender qué estrategias
podrían ofrecer beneficios monetarios más grandes o menores riesgos. Algunas aplicaciones de la Teoría de
Juegos son: Contratos, Negociaciones en general, guerras militares o comerciales, marketing para la
competencia en los mercados, alianzas, entre otras.

La siguiente red conceptual muestra las categorías conceptuales a partir de las cuales se aborda la teoría de los
juegos y su intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática.
Cada una de estas categorías será tratada a través de distintas situaciones de juegos que se irán presentando a
medida que se avance en la lectura del mismo.

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Teoria de los Juegos
Elementos del Juego:
Reglas
Jugadores
Estrategias
Beneficio
Tipos de Juegos: Técnicas de Resolución:
ESTÁTICOSde: Estrategias DOMINANTES
SUMA CERO MEJOR RESPUESTA
SUMA NO CERO MAXINIM -MINIMAX
ESTRATEGIAS PURAS Equilibrio de NASH

Si bien existen gran variedad de juegos, en el presente material se abordarán solamente juegos estáticos con
información completa, es decir, los jugadores toman sus decisiones simultáneamente y una sola vez sin conocer
las decisiones de los otros y, a continuación, reciben sus ganancias, que dependen de la combinación de
decisiones tomadas. Desde el inicio del juego todos los jugadores conocen las estrategias disponibles y las
ganancias resultantes de cada combinación.

La siguiente situación presenta el caso más sencillo, el juego de dos jugadores con dos estrategias, como se
muestra en la siguiente situación:

Situación 1: Dos empresas de telefonía móvil deben decidir si instalan nuevas sucursales en el mismo centro
comercial.

Se acercan los períodos de mayores ventas de telefonía móvil y dos empresas competidoras identificadas por P
y C deben decidir si abren cada una nueva sucursal, en el mismo centro comercial. De no abrir la nueva sucursal
invertirían más en publicidad para promover las ventas en los locales que ya poseen.
Por lo tanto, ambas empresas deben tomar la decisión de instalar o no la nueva sucursal en el mismo centro
comercial. Las estrategias que se presentan son:

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1- Las empresas P y C deciden instalar las sucursales: las ventajas competitivas de la empresa P le darán todo
el mercado del centro comercial e incluso se beneficiará de las inversiones publicitarias y de los clientes de la
empresa C. En este caso P gana 60 millones de pesos, mientras que C pierde esa misma cantidad.
2- La empresa P decide abrir la nueva sucursal y la empresa C no: P se queda con el mercado del centro
comercial, pero no pudiendo aprovechar todas las inversiones de C, su inversión no compensa sus ventas. En
este caso P pierde 10 millones de pesos y C gana la misma cantidad al promover más sus ventas en sus
tradicionales locales.
3- La empresa P decide no abrir la nueva sucursal, pero la empresa C si la abre: C se queda con todo el mercado
del nuevo centro comercial, pero su inversión no supera sus ventas y pierde 20 millones mientras que P gana la
misma cantidad por promover sus ventas en sus tradicionales locales.
4- Ambas empresas P y C deciden no abrir la sucursal en el mismo centro comercial: en este caso, ninguna de
las dos compañías gana o pierde.
La información dada respecto a las ganancias o pérdidas para las dos empresas P y C, pueden organizarse por
medio de las siguientes tablas:

Respecto a P:
C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal
P decide abrir sucursal 60 -10
P decide no abrir sucursal 20 0

Respecto a C:
C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal
P decide abrir sucursal -60 10
P decide no abrir sucursal -20 0

O bien empleando un arreglo o estructura rectangular ordenada en filas y columnas encerradas entre paréntesis
o corchetes llamada MATRIZ de la siguiente manera:

60 −10 −60 10
Para P: ( ) y para C: ( )
20 0 −20 0

A continuación se presenta la definición de “matriz” que se utilizará para resolver problemas de la teoría de
juego.

Definición de MATRIZ
Dados dos números enteros positivos m y n, una matriz de orden mxn, es una disposición rectangular de m.n
números reales encerrados entre corchetes o paréntesis.
Se llama orden o tamaño de una matriz al número de filas y de columnas que la conforman.
Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha.
Los números o símbolos que se encuentran dentro de la matriz se llaman elementos de dicha matriz.

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En símbolos: Si A es una matriz de orden mxn, entonces A puede representarse así:

a a ... a ... a 
 11 12 1j 1n
a a ... a ... a 
21 22 2j 2n
 
... ... ... ... ... ...
A =  
a a ... a ... a 
i1 i2 ij in
 
... ... ... ... ... ...
 
a a ... a ... a 
 m1 m2 mj mn

El elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j se denota por a y se lee “a sub i j”.
ij
Simplificando esta notación se puede escribir:
A = (a ) con 1  i  m y 1  j  n donde a  R
ij ij
o también
A = (a )  i =1,…, m y  j = 1,…, n donde a  R
ij ij

Se lee: A es una matriz de orden mxn cuyo elemento genérico es a . El subíndice i, que representa el número de
ij
fila varía entre 1 y m, siendo m la cantidad de filas de la matriz. El subíndice j, que representa el número de
columna varía entre 1 y n, siendo n el número de columnas de la matriz.

Por lo mencionado:
El símbolo a representa un elemento genérico de la matriz A y
ij
el símbolo (a ) representa a la matriz A.
ij
El conjunto de las matrices de orden o tamaño mxn con elementos reales se indica: Rmxn, R o Mmxn
mxn

60 −10 −60 10
En la Situación 1 se expresa mediante: P =(p ) y C =(c ) a las matrices ( ) y ( ),
ij ij
20 0 −20 0
respectivamente.

Cada una de estas matrices se denomina Matriz de Beneficio o Pago de cada jugador.

Tanto las matrices P como C pertenecen al conjunto de las matrices de m filas y n columnas denominado R y
mxn
cada uno de sus elementos p y c representan los beneficios que obtiene cada una de las empresas P y C,
ij ij
cuando seleccionan la estrategia i y j, respectivamente.
Los beneficios de cada empresa, en cada una de sus estrategias, se pueden escribir en una sola matriz especial
denominada bimatriz, de la siguiente manera:

60; −60 −10;10
( )
20; −20 0;0

Los elementos que se encuentran a la izquierda del punto y coma, en cada fila, corresponden a los beneficios
del jugador P y los que se encuentran a la derecha corresponden a los beneficios del jugador C.
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CLASIFICACIÓN DE LOS JUEGOS:
Existen diversas formas de clasificar los juegos, los más usuales son:

 Por el número de jugadores: existen juegos de 2 jugadores, de tres jugadores o de más jugadores.
 Por la simultaneidad de las decisiones a tomar: Si los jugadores toman las decisiones al mismo tiempo
sin conocer la decisión del otro, el juego se denomina estático, en caso contrario el juego se clasifica
como dinámico.
 Por la suma de los pagos:
- Suma Cero: El premio es único y lo que un jugador gana coincide con lo que pierde otro.
- Suma no Cero: Lo que gana un jugador no necesariamente está vinculado con lo que pierde otro, o
los premios pueden ser obtenidos simultáneamente.
 Por el número de estrategias: los juegos pueden incluir 2 o más estrategias, que representan las
decisiones que pueden tomar cada uno de los jugadores.
 Por el tipo de estrategias:
- Juegos de Estrategia Pura: La estrategia pura es una decisión que se toma con certeza. Si un juego
no se puede resolver por estrategia pura puede pensarse como de estrategia mixta.
- Juego de Estrategia Mixta: Las estrategias de un juego son mixtas cuando es necesario asignar a cada
estrategia pura una probabilidad de ocurrencia y se interpreta como la incertidumbre de un jugador
respecto a lo que hará el otro.

El juego presentado en la situación 1, como todos lo que se abordarán en el presente material, es estático. Si se
clasifica de acuerdo a la cantidad de jugadores es un juego de dos jugadores, empresas P y C; de acuerdo a la
suma de pagos es de suma cero pues lo que gana uno de los jugadores es igual a lo que pierdo el otro jugador.
Es un juego de dos estrategias, abrir o no abrir la sucursal y dichas estrategias son puras.

TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN DE JUEGOS:

Para resolver este tipo de juego o los que se abordarán en este material y determinar la estrategia óptima se
aplican distintas técnicas como: Equilibrio de Nash, de Dominancia, de Mejor Respuesta, de Maximin y
Minimax, entre otras. La aplicación de una u otra técnica depende en general de las expectativas de los
jugadores.

Equilibro de Nash: Es un perfil o combinación de estrategias del que ningún jugador desearía desviarse
unilateralmente, ninguno se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el resto de
los jugadores. Es decir que el equilibrio de Nash está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador
dadas las estrategias del resto de los jugadores.
Esto no significa que en un equilibrio de Nash cada jugador esté alcanzando el mejor resultado posible, sino el
mejor resultado condicionado por el hecho de que los demás jugadores jueguen las estrategias indicadas por
ellos en dicho perfil.
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El Equilibrio de Nash, como estrategia de juego consiste en comparar todos los perfiles de estrategias hasta
encontrar la o las que cumplen la condición establecida. Sin embargo, en algunos casos conviene determinar
dicho equilibrio aplicando las otras técnicas nombradas.
John Forbes Nash, creador de esta teoría, es un matemático que recibió un premio nobel de economía y su
vida fue interpretada por Crowe Russell en la película “Una mente brillante”.

Dominancia de estrategias: Consiste en identificar qué estrategias (filas o columnas) dominan a otras o qué
estrategias son dominadas por otras. Ésta estrategia resulta óptima para un jugador independientemente de
los que hagan su(s) adversario(s). Matemáticamente, una estrategia domina estrictamente a otra cuando cada
uno de los elementos de la fila o columna que representa a la estrategia es mayor que cada elemento de la
misma posición de otra fila o columna, respectivamente. Una vez identificada las estrategias dominantes, se
eliminan las estrategias dominadas hasta obtener el resultado del juego.

Maximin y Minimax: Esta técnica sólo se aplica en juegos de suma cero y su objetivo es minimizar la máxima
pérdida de cada jugador.

Aclaración sobre la solución de los problemas de decisión: La solución de los problemas de decisión, depende
de las decisiones que tomen los jugadores. En algunos casos los participantes pueden decidir maximizar sus
beneficios, y aplicarán técnicas de dominancia, o en otros conformarse sólo con minimizar sus pérdidas y
elegirán técnicas de maximin y minimax, que no siempre conducen al mismo resultado. Sin embargo lo más
recomendable en todas es encontrar, si es posible, el equilibrio de Nash, porque aporta estabilidad en la
solución, dado que la solución se obtiene pensando en que cada jugador obtenga un beneficio y dejando de
lado el propio beneficio. Es decir se decide pensando en lo que sea óptimo para los dos.

Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Dominancia

Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar, si existe, la estrategia que más le conviene
a la empresa P, se comparan los elementos de cada una de las dos filas de la matriz correspondiente.
Los beneficios para le empresa P son:
60 −10
P = (p ) = ( )
ij
20 0

Se observa que no existe estrategia dominante y que por lo tanto el beneficio de la empresa P depende de la
decisión que tome C.
Los beneficios para le empresa C son:
−60 10
C = (c ) = ( )
ij
−20 0

Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar, si existe, la estrategia que más le conviene
a la empresa C, se comparan los elementos de cada una de las dos columnas de la matriz correspondiente. Se
observa que la estrategia: “No abrir la sucursal”, columna 2, domina a la estrategia “Abrir la sucursal”, pues
ganar 10 millones es mejor que perder 60 millones y no ganar ni perder es mejor a perder 20 millones.
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