Matemática Aplicada à Topografia

103 Pages·2017·2.49 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESP˝RITO SANTO
Centro de CiŒncias Exatas
Mestrado Pro(cid:28)ssional em MatemÆtica - PROFMAT
Antonio Donato Zucchi Neto
MatemÆtica Aplicada (cid:224) Topogra(cid:28)a
Vit(cid:243)ria ES
16 de Novembro de 2017
Antonio Donato Zucchi Neto
MatemÆtica Aplicada (cid:224) Topogra(cid:28)a
"Disserta(cid:231)ªo apresentada ao programa de
p(cid:243)s-gradua(cid:231)ªo PROFMAT do departamento
de matemÆtica da Universidade Federal do
Esp(cid:237)rito Santo, como requisito parcial para
obten(cid:231)ªo do t(cid:237)tulo de Mestre em MatemÆ-
tica".
Orientador: Prof. Dr. Valmecir Antonio dos
Santos Bayer
Vit(cid:243)ria ES
16 de Novembro de 2017
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Dedicat(cid:243)ria
"Dedico este trabalho as pessoas que tem grande impor-
t(cid:226)ncia na minha vida, a minha mªe Dona Dilma, minha
sogra Dona Geni, minha esposa Rosiane e minha (cid:28)lha
So(cid:28)a."
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Agradecimentos
Agrade(cid:231)o a Deus por ter me dado saœde e tranquilidade para enfrentar os momentos
mais dif(cid:237)ceis da trajet(cid:243)ria.
Aos meus pais, irmªos e amigos, que mesmo de longe torceram para que eu atingisse os
meus objetivos.
Aos professores do PROFMAT-UFES, por sua dedica(cid:231)ªo e aten(cid:231)ªo com todos, em
destaque ao meu orientador Professor Dr. Valmecir Ant(cid:244)nio dos Santos Bayer.
Aos meus amigos do mestrado, com os quais tive a honra de compartilhar momentos
inesquec(cid:237)veis durante o curso, em particular ao amigo Arthur, que sempre estava disposto
a ajudar a todos.
E em especial as duas pessoas que sªo o principal motivo por eu ter aceito esse desa(cid:28)o,
minha esposa Rose e minha (cid:28)lha So(cid:28)a, que tiveram que lidar com a minha ausŒncia e
com os momentos de maior tensªo que tive ao longo de todo curso.
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Resumo
Este trabalho apresenta a rela(cid:231)ªo entre conhecimentos bÆsicos de Geometria e Trigo-
nometria com a Topogra(cid:28)a, com Œnfase em Taqueometria. O trabalho Ø constitu(cid:237)do de
um breve hist(cid:243)rico de alguns conceitos topogrÆ(cid:28)cos, e de fundamenta(cid:231)ªo te(cid:243)rica da ma-
temÆtica necessÆria para as demonstra(cid:231)ıes de f(cid:243)rmulas usadas em cÆlculos topogrÆ(cid:28)cos.
Exemplos de aplica(cid:231)ªo de trigonometria e geometria na obten(cid:231)ªo de dist(cid:226)ncias inaces-
s(cid:237)veis e os procedimentos para efetuar os cÆlculos de um levantamento planimØtrico por
poligona(cid:231)ªo. (cid:201) apresentado sugestªo de aulas envolvendo topogra(cid:28)a com o objetivo de
melhorar o desenvolver dos conteœdos matemÆticos de forma prÆtica, com isso despertar
o interesse dos alunos.
Palavras-chave: Geometria, Trigonometria, Topogra(cid:28)a, Taqueometria, Levanta-
mento PlanimØtrico.
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Abstract
This work presents the relation between basic knowledge of geometry and trigonometry
with topography, with emphasis on tachometry. The work consists of a brief history
and some topography concepts, of the theoretical mathematical foundation necessary for
the demonstrations of formulas used in topographical calculations, examples of applying
trigonometry and geometry in obtaining inaccessible distances and the procedures to
perform the calculations of a survey planimetric by polygon. It is presented a suggestion
of classes involving topography in order to better develop mathematical contents in a
practical way and with that to asome the interest of the students.
Keywords: Geometry, Trigonometry, Topography, Tachometry, Survey Planimetric.
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Lista de Figuras
Figura 1 - Erro de esfericidade .....................................................23
(cid:28)gura 2 - ´ngulo horizontal ....................................................... 27
Figura 3 - ´ngulos Verticais .......................................................28
Figura 4 - Azimutes ...............................................................28
Figura 5 - Nortes verdadeiro e MagnØtico ..........................................29
Figura 6 - Rumos ................................................................. 30
Figura 7 - De(cid:29)exªo ................................................................31
Figura 8 - Poligonal com (cid:226)ngulos externos .........................................31
Figura 9 - Poligonal com (cid:226)ngulos internos ......................................... 32
Figura 10 - De(cid:29)exıes e (cid:226)ngulos externos da matemÆtica ...........................32
Figura 11 - ´ngulo de inclina(cid:231)ªo ..................................................33
Figura 12 - ´ngulos zŒnital e nadiral ..............................................33
Figura 13 - Levantamento por Triangula(cid:231)ªo .......................................34
Figura 14 - Levantamento por Ordenadas ......................................... 35
Figura 15 - Levantamento por Irradia(cid:231)ªo ..........................................35
Figura 16 - Levantamento por Interse(cid:231)ªo ..........................................36
Figura 17 - Levantamento por Poligona(cid:231)ªo ou Caminhamento .....................36
Figura 18 - ´ngulos ...............................................................38
Figura 19 - CircunferŒncia .........................................................40
Figura 20 - Teorema de PitÆgoras .................................................42
Figura 21 - Demonstra(cid:231)ªo do Teorema de PitÆgoras ...............................43
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Figura 22 - Caso de congruŒncia LAL ............................................. 44
Figura 23 - Caso de congruŒncia ALA .............................................45
Figura 24 - Caso de congruŒncia LLL ..............................................45
Figura 25 - Caso de congruŒncia LAAo ............................................45
Figura 26 - Caso de congruŒncia de tri(cid:226)ngulos ret(cid:226)ngulos ..........................46
Figura 27 - Teorema de Thales ....................................................46
Figura 28 - Caso de semelhan(cid:231)a AA ...............................................47
Figura 29 - Demonstra(cid:231)ªo do caso de semelhan(cid:231)a AA ..............................48
Figura 30 - Caso de semelhan(cid:231)a LAL ..............................................48
Figura 31 - Demonstra(cid:231)ªo do caso de semelhan(cid:231)a LAL ............................ 49
Figura 32 - Caso de semelhan(cid:231)a LLL ..............................................50
Figura 33 - Demonstra(cid:231)ªo do caso de semelhan(cid:231)a LLL (1) .........................51
Figura 34 - Demonstra(cid:231)ªo do caso de semelhan(cid:231)a LLL (2) .........................51
Figura 35 - Razıes TrigonomØtricas ...............................................52
Figura 36 - Lei dos Senos ..........................................................53
Figura 37 - Demonstra(cid:231)ªo da Lei dos Senos (1) ....................................54
Figura 38 - Demonstra(cid:231)ªo da Lei dos Senos (2) ....................................55
Figura 39 - Demonstra(cid:231)ªo da Lei dos Cossenos (1) .................................56
Figura 40 - Demonstra(cid:231)ªo da Lei dos Cossenos (2) .................................57
Figura 41 - Lei dos Cossenos ......................................................58
Figura 42 - Visada horizontal ......................................................60
Figura 43 - Visada inclinada ...................................................... 61
Figura 44 - ´ngulo de incidŒncia ..................................................62
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Figura 45 - Mira (cid:28)ct(cid:237)cia ...........................................................63
Figura 46 - Uma visada horizontal e uma inclinada ................................66
Figura 47 - Duas visadas inclinadas ............................................... 67
Figura 48 - Pol(cid:237)gono de trŒs lados .................................................68
Figura 49 - Pol(cid:237)gono de quatro lados ..............................................69
Figura 50 - Pol(cid:237)gono de cinco lados ................................................69
Figura 51 - Pol(cid:237)gono de seis lados ................................................. 70
Figura 52 - Pol(cid:237)gono de sete lados .................................................70
Figura 53 - Pol(cid:237)gono de n lados ....................................................71
Figura 54 - Poligonal horÆria de n lados ...........................................72
Figura 55 - CÆlculo de de(cid:29)exªo (cid:224) direita ...........................................73
Figura 56 - CÆlculo de azimute na poligonal horÆria ...............................73
Figura 57 - Poligonal anti-horÆria de n lados ...................................... 74
Figura 58 - CÆlculo de de(cid:29)exªo (cid:224) esquerda ........................................ 75
Figura 59 - CÆlculo de azimute na poligonal anti-horÆria ...........................76
Figura 60 - Azimute numa poligonal ...............................................77
Figura 61 - Azimute do primeiro quadrante ........................................78
Figura 62 - Azimute do segundo quadrante ........................................79
Figura 63 - Erro de fechamento linear absoluto ....................................81
Figura 64 - Nivelamento geomØtrico ...............................................83
Figura 65 - Nivelamento TrigonomØtrico ...........................................84
Figura 66 - Dist(cid:226)ncia vertical ......................................................85
Figura 67 - Altura do Pªo de A(cid:231)œcar ..............................................87
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