Table Of Content•
•
,
,
MINISTERUL INVATAMANTULUI
C. NASTASESCU C. NITA S. POPA •
• V
•
•
Manual pentru clasa a X-a
•
•
•
•
,
I
-
I
•
•
•
x
•
,
( •
•
. ,. •
C. Năstăsescu • C. S. Popa
• Niţă
•
•
•
•
'., •
, •
•
• •
• • • \
• •
-
, ·
• •
,
•
-
- • •
•
•
•
•
,
•
•
• •
•
, •
•
•
•
•
•
-
•
• Algebră
•
• -
•
•
•
Manual pentru clasa a X-o
-
•
• ,
•
•
..
-
•
•
-
• •
•
•
-
• -
•
•
•
• •
-
•
•
,
-
•
•
•
\
•
•
•
• • • •
•
-
•
EDITURA DIDACTICA PEDAGOGICA, R.A.,
ŞI BUCUREŞTI
.
I
•
\ •
• •
•
•
•
• •
•
I •
•
.-....sI: ... ,.. cJr. IIM TOfftIu ..
"ni• .
rrol..
SiWia EItw,n"
-
Eli'''' O"oJ,./
Prol.
•
-
•
-
.
•
•
-
•
• •
•
/
,
,
• I
,
•
•
•
•
,
••
,
,
\
,
•
,
,~
• •
_/
IS BN 973- 30-3034-1
,
,,
•
,
, • -
•
-
,
•
-
-
I
•
•
•
•
,
-
•
•
,
• ,
~
•
•
•
•
,
•
•
•
I.dor:lor: Pref. Vlorrco rcitu
Anca Peto
Te t,r'oredoclof:
•
Nicolae Si/bu
(cperta ' •
•
•
•
•
•
I
•
,
.
• •
•
•
•
•
•
, -
-
'-
•
• >
• • • • • ."
- •
•
•
•
,
,
•
Functia $1 fllnctla
exponentlală ,
•
logarltmlcă-
•
•
•
•
•
§
1. Funql a
.exponenţială
•
•
1.1 Puteri cu exponent ril\ional (recap;fu!"r"')
•
,
• ..
î n clasa r X\f1 5-a d l f:ni t Pllt('IC;' lI! l:\ iHI! H!i' ]<1\:(111,,1
d - . l' ' ,"
~
"(' d ." 1, No"
.lceas,. l\ dcttlliJit. ,
-
•
1. Puteri cu ftpont:n! rlli.,.." O ", te
[>"!.Tlw. lJit(:~ tJ ;:;., 11.1. IlUi' ~ .
-
m
b c:nt:g,tti \.', IftlHJ!lrtl
1< i I - U!l P01,l tl\ , aIU!!'"1
•
•
It
• •
( rl
•
•
..
•
• , .
,
•
pOl\ h \'. • - •
al u
li'''!
"
•
•
•
1
• -
(2i .
.1
• •
· -
•
•
•
- -
..
- este • a • , , . I -
P0l.lt !\ , " • >l I .
~ ~
•
"
•
. •
:\. 1 r I . • -
r 7; " ' ,U I ;> U i~tT •
'" ;j I
•
I
,1" .., (:1;
•
R,I"\II I,' (1. Cl) ~,. (:l) (kri ,1('·(~P"1<f('" 1/11\11 Illllllâ l J)(~/,! t!\ ., l> j
I
. m
p·'"lrt: 'lIie(' rxponc ut , raţional - . 11 cl~s.1.
It
• ,
dc' prr){I td:iţi -,Il, PlltC',!1oT ('u expo !l C'lIt r;tţu)!1 ,d {la H.'('ar(',In n·h u' •
, UI tII ('a.~
vom ffll(J~1 iti ~i)1"d~ 1 proprietAţi l e d ate de
11II11 ttl0Rll'"" l('t., c :'l i
,
• • ,
•
,
,
•
•
•
f" > ce
Daci 1 .. un
II
, •• re ••
1.1.t. . cu exponent rasion.-J pOli,",
lIIar. aceea al cire' .lIpoM"
< <
24, Dacă O 1 este un nUllllr
/1
•
uteri cu exponent rasional IIG'iciv
P I - '
mai mare aceea a are. exponent
-
p
"~
1°, fie ->->Odoul
intr-adevăr,
Vtmonst. ... q
ţie, ,
• t .. .
,
'.Jf.ii,
/ 'a-
" A = .• şi a = Aducem aceşti
n";
• f
pOZ lt lYC vern ~ . V ....
Cilli d. acelaşi ordin.
V" ,,- !Ja'
':Q«"',
= ~H".q. =
I '
•
•
np,
!! .. t.. , mq > D ar, cum a > 1
rezultă că re1.ultă
CtllII
e 9 ,
I
tl>fi ' .. , , •
I > "" -
tinde ~ a!llll' li ~u ,
- -
>
a - a
9. ,
,
I
,
lO
• cu cca d e la punct ul
2(1, lJUllfJll~hJ:ţj- t ... t~ analo3gă
-
,
..
J1v
() f)1I1 III
1,2 1 1,22. De aceea
<1
i'''''fk 1) Anm 1) ,,22
,1, )' ,2'
1 > ( ,
2J < 2 (-:-
,21 ,21; ~
L -
"
1 )"'' (1 0'0
, ( ,
,
, 1;1 > .J'j
•
• , 1
,
•
12, Puteri cu real oarecare
7 exponenţ
•
. In,accst paragl al "om ddini pu!u ~a c u e:>:pon ~nt real oarec,are
,
POlltlva, astfel Încât aceasta să coincidă p enll u .exponent raţIOnal
,
mai inaintt.
in.trodusă .. .c..
a>
1bi pr~cis, dacă O ~ste lin n \lJll "r r ea l pozitiv, iar % UD
'-
a',
Il'll oarecare, ne propunem să dăm sens expresiei
-
, Amintim, lIlai În! âi, dtc\'a fapte p rivind aproximările
Il·ale. .
'\l.Jm~r('lor
_Fie .XlIl1 11111"01' IC31 ,>nl{'care r~llIe~e ntat sub fOl'lllă de
maLl IlIII III! ", adid, x x' l)~lltru ' nullliinll
=;\' ;\' 'l'" le.
• CII • 1 2"':1'" ..... . '--
10- .
zrl'l1lJal" cu o (-roare Iilai lIli(';i d('câ t SUllt 1
i~ x; ~ x
prin lipc;;'"t x •.
x\YlI.Ya ...
j ,
g
+
li) pfln ad,I<" I;\,' X ~ ~ 10- . \
'l' ,.
A •
1I'·1·"'2'".1·· · • •
~d,1f 1I\1I11~1I11i1" x ",o,'in t npl (\ximill ilc !'lI1~
1,1111
prlJl lIP~~ x' ~., x' x'
j
a, ... , -
. " l' l'
x· x·
adaos
PTlD I ,," %"
v'
1 . 1, """
4
I •
• •
,
•
•
•
•
I
•
< " ,
r< s;,
•
.; .; < s;, •
~
•
.; •
•
x"
. . . . .
. . . . . .
• • I
~
Observllm cii aproximArile Eecimale $>rin lipsA pnn
şi
numJr real '" sunt totdeauna Il1lmer.e.
raţionale.
1. Puleri exponenl real poziliv
CII
Pentru definirea puterii de a 0, cu expouent real,
bază ţ> di6ti~
•
dour\ cazuri, cum 'baza este sat:!
după S@lJrauJlitară sobunitară 1
>
IOa 1. Fie '" 0_ un real Jlproxi.mliJ ile
ţ> Oluriăr şi să ~L1siderăro
"
.' "'droaIe prin prin adaos cu o • ... At·une; ,
lipsă şi eroaremaillill.ădeeâtlO-
•
pentru orice n, ,ayem •
•
x; x x: .
<
~
•
.--
După cum am oL!:Ien-at nUllJt'r",1e z~, x: 511l1t raţiOllale poziti\'e şi. d~ci
.
pi
conform putuilor cu expuntnt ali sens putc:rile iJ'",
definiţit:i raţional,
.
'"
a'" pentru OHef
'1. fi-· .
IU
•
• <
• . Mai mult, după punctul 10 al tcon noei 1. 1. 1, Tez ultă că ',J'.
-
Q>
D e (i r. i l i. 1.2.1. Fie 1 si x un real pozitiv. Se numeste puterea '-
număr
• •
•
•
lui un real y, care pentru orice n.tural
• 10 CJ număr număr
s-atisface :
fi i negalitătile •
•
• < (/'., •
a' y
II ~
,
~ d~11ollstra că ă ~i,
poate 1111 a,,>tff:1 d<.: tllllll:11 rcal y exist mai mult,
•
LllllC. a ac«:st \Ii hq>t programa clasei _.
~·..,tt· DemoDstraţia rigt1rua~ă deprlŞC7te _'o
a X -a. Ea dt ya studia la mat
Df'cesită rtoţiunea llmită şi 6~ Ana1îz~ t.;~
-
....
lllatic:l in clasa.. a XI-a.
• y dat de . se
Numărul definiţia pr~ctdul ta uotea",ă
IiI pUlfre{,
;.1 l' .
,
•
B:ftmf1a. Să uFlidhn C~ trebuie tIlţt=h:5 J'TiD 3 ,2 . Aptoxim~rîJe t.ecimale alt. lui";2
unn:'::oarele:
~'lnl
- -
.
prin Iip'!i!!. : 1; 1."1; 1,414; ... ,
l.~; \
prin ada",: 2; 1,5; 1,415; ... ;
1,~2 ;
asU.,i) lod,t:
I
•
,,'2 \ -
I,~ ~ < I,Ci,
-
1 41 ~.J'2 < 1,4~,
.JT
), 4 14 ~ ~ l,41:;. •
........... ...... .
,
,
,
r.
4
~ li < :i'·~.
• •
:tl •4J C; Y '"', .i1,4<t, ,
•
-
:i'·f'.
~ ,'II • • ;\1,.41 11, •
. . . . . . . . . .
. . . .
,
i
•
• •
•
•
-
•
•
•
• •
1& O este UD Dumlt
~
«
l' O <: 1. Vadi
/1
"
•
1&',1&<
It• .
•
paragraful
iIIal tl'or~UlCi dlll
lJuPă' punct ul
.
•
•
" • •
A'. < a··
•
< a <
Fie O 1 li x un numir rNi
o.',• n•" '•" 1.2.2. •
puterea x a luI a un re.1 y. _ •
număr
•
natural n, satisface inegahtilile:
număr
•
•
•
•
- .
/
• ast fel d e numlr ,,:al• Y t1·1 stl .,;
poate demonstra ca un
'Se
•
~
este unt• c.
• ),r
•
•
"I3
E~o"plu. Să c~ lnţdes
explic4m trebu ie prin
, 'l .
(
•
rr~cuw şi
l,r .
,'\ .. lnd lu veuere cde de mai Inainte tabel ul a!m{,:cimlriior 7.eciuaalf'
'3I _1
..
Indl'plll1cşt(.
Jlo eltewpllli precedent, nuwl'l.rul C&r<!' ne Itttcre,sealli y - iu.
(
-
•
•
3t ' ) '.'. ,
<z y "
(
• • • I
+tu . • •
•
'" y .. ( • •
•
•
•
_. •
I ) "'"
<!V~
. ( 3
. .
.. ...... ... .. . . . .
. .
- '.'
• I
.
•
Vom ad ,htgOl ca real
pl.·t1~ru Urle..; n UlU,H ~,
•
•
•
l' = L
•
nttllţiollatii p~terilor
t n rllal Uel'II," o Pl op, il'la tc imPoltaut l a
expOlltnt poziti\" anume I
şi
•
> > >
Oricare ar fi a O şi O aFon a' O.
:t
re ' . • ' .. .
[lltr-adl'\-ăr
, , ' . . ' , X. ) I x. apro ","ua nle ~eci ",ale.JI.ie lui. pria
pnn adall.o. Al ll'ICI' .
r~::,p«tl\ . , 1/(:ul J n,
~ ti (tl lce a\"(~m I
0 >
1 lhcă" 1, alunci .
•
•
•
{i '" < u. 'e.
~' (1 '
<
2 Vad O a <l 1
\ o a t uuci
•
• •
• a··.
< •
o"· u" "
N x' " •
UlIlCfl:lt-
(1'; > O .. . ŞI sunt 1 ; lţ IP ll a h: ~I pOlitive.
t ..
. . pent ru 0'1 0(' a " O A .
>
IlI t re d" u\ . - . I line •• ,'vidcut. O dco~rec:e ~te
/1"
4I>oziti vt.' .
, nl1rn~t e
•
,
• ,
•
,
,
,
,
•
•
uE"'''
2, P"lrri tltc-aliv
,ti III rţal
• • prl•D •
, Darii "1> O le uu rcal ulgatl\', at unCI 4diuiţie
şi li< •• număr
,
• I -
,
--=- .
, 1
(1)
, , • CI' = • ,
,
-
• f)t.>tmrecc - x este poziti\", a ddinit la punctul 1 •
numărul fo~t
(j - .
,
-x>
Mai mult, am demonstrat c:r a- O. . O, peulru O.
,
•
•
•
-.ti - 1 Ct''' - '1 " - •
,
(-;
De uemplu, • •
~ • ,
, 3./1 I
J~r
-
•
• 1
>
Am demonstr at că dacă %),.0 at uuci cJ- · U. CUlll (1- ' = - , rez.ultă
u'
•
< > •
cA /,."Iru " 0, O.
~. Q~{'"
Q' •
Amintim că p (!lhu li <F 0, am 1..'t.Hl\·l-l},jt !-j, .pUllllll (l 0 = 1.
• Ast ft:l, am ddinit putt.:Tea 111lui lX.zit ClI ofic\.: rea l.
!Hl111~1f j\" (:XPOI1Lllt
Puterea \lllui nU!l;ăr [l(ogatÎ\' Cli l.:q,(.TH Jlt !l.:l, 111 glll<':la l. 1I11 este ddini t!i :-
I 3. Proprietăţi al • . pUlo fior' efo 1 xfu' ;/I'I rfa/
•
a»
Fie O şi b 1> li (ulImlle Hale }l('7iti n). Atunci pcutru x Ş1 ? •
numere r cn )e, avtm
1 •
•
a.
1. a' {I '+" , (ah I' .' 11' 1,' ,
CI' • c=
• •
.,'
a' Q • ,
a·-·
2 - , 4. 'b)
= = - -
•
II'
•
(1' J
inainte
• dată l1~a i ~i folosj~ d
PT01'rll'tăţ\le cor{'~puJ.,-~tO.l y{· alt l'tlttrii cu eXp01lCllt raţional, n .lif,ca
fI·a i:(l.l L â<;m ca cxucipu lor.
a,~l'~I 'H,l .~(: ta Lt~ 1' . kll lţat f' d(:TllOIl~t T<lTta
-
-
•
-
2·li
~)"' r"7 ( ~r'" -( ~J' ~ ~
(2")"' "' 512
• ,
- •
7" _
_.r,
3) 7'" - '" _7 2../1- '" _ 7"' • •
•
•
1] .Funq ;a
expone nţ;.aIă •
•
•
l>O/.ltl v. Am
F ij~ a > () 11 :1 ll!Jln~L; It·a l ut În paragraful 1.2 (pct ,
•
1 şi 2) eri OriC.I(l: ,.tI fi Il\Im ~ITn l n'a} x, 3,·tm O. A Ş.ld.lT. -pullJll. dcfini
•
•
funq ia l1rm:l.t OrlH' 1
fIII - (O, ,). f( T) - n'.
7
•
J
,
• ,
•
•
. . I
• . Pentru" - 1 obţloe o
le
ti
ObSl~I. .
· d aceea aeest caz; ou prez;\D
UD
f[" '"' e! Ils) "" >0
1,• . B (O (0) unde
Il", ci
o
• - , ' .
jWlcţt1
. Mpot/en/iIllă (de hatil Il).
'."'l"l
e. , . el
continuare, o sene
1" ţX În c
• Euun _1Il, •
1:
• .
eJ:pou~!ltiale.
> >
a> ~ avem
1. O ,ted 1, alllnCl pmlm x Il"
<
• 1 allwci p'lltru >-0 ave",
lD
<
u' 1. D aea · a. . ,
UV<III
•
-
< >
O tw.em u' 1.
II
, •
> >
• Demonstraţie: Fie a l şi x O. Dacă x esle raţional,
-
-
•
•
=-\1
•
a' = u-: > a- >
Cum (/ l
r ezultă că şi
d'
a t Ullel
1 ~ D .... cd. :r ţ:.;tt un llulti:lf l eal pozitiv o a lccare, he x~ şi
•
zecim ale prin prin a<L1oa ale lui _,
aproximă rile Iip,ă şi
x x::
<
x~ ~
-
.
• • . .
> ca pt'lltru OIIce i \'cm
elite. a 1, rt:inltă 1:'
-
• •
< •
a ' a r ,
.. I ,rr. ~ ,.:- ,
- •
•
l j.' r x•' t:~h: r«ţiUlla,l pOli• t 1\' )'; d " [':1 cu m am obsen'at Ola!•
.
,,'
•
,
a" 1, d ulld: 1.
.>
.:~
• < • •
U atunCI
lC~~ O, a \"l'm
•
•
•
,
•
- x . O ; a- I > 1: iu
U~r d l'C l }'I ur ma r ~
~.
. I •
1
"
< 1.
=
4 '
•
,
< <
CJ.lUl it.! care O a t Se t Iltc<,ză a ua log: îl lăsA.m ca
,
,,:a
2'D •
Ac~ '" x, = O, ut1{nei-. iltdepe n~tIlt de O avem a' - l.
el}>
d.n
•. relulLl defllllţla putcrll pu le.
-. 3 P01!ru a> 1, !lInc/ia n/)(ll'o'ţn,Iă !(:t) ... a' eSle st,ia
< <
11r pel/lru O a 1 esle slric! d"$Cffscă!oare.· .
> <
, l>c.ltnns!m/ie. Fie 1 şi x, x , . Să arlltă_ el
CI
<
, a r. a'.,
î"lr-ade\"1 d '
.... l I n x, x, 1l'l\lltă "" ('Xi,t 'l " > O astfel indt
+ <..
At
~ XI u, lllţci
•
a" --
fI 'o - a").
>
De'nl ·C·.· u O d -
•
1 ,liP" P ,p,;d ;,'tea t a functiei
(1'
.' A',leI.I' " " O
t O
1 .. (1 ") ...
SI
v , '. ' , a',.. () , ,de tll!de a ', (l - . .... •
v • ".... <~
fi
<
x,
fUl\cţl~ !(?I : "111 t l"n din II, rezultA ." <1
</ " ." fi' ,
1
Cs te
"" U ~• t n ct· crt', clloare.
8
•
•
,
•
,
•
-
•
,
•
< ..
dtmon.htBlA cA pentru O <t 1 ' nnclia l(tI) .. (I/t'
le
.mct
dţll'fe~'C1ltoa,c.
l' I(%} - .' > +
4. Fu"cţia ,8poII'''liaI4 R - ' (O. oo), (a O. 1) du ---
• Q
6ij.ctivil. '
I
D,mo"slralie. Să arătăm mai întâi că tite inlec~i\'ă. Fie, p<ntlU
<
aceasta, R a.tlel încât oF x,. Atunci avem "', x, san...%, l> :r •.
%" "'. %,
G
<
Sii presupunem, de t>:tmp)u, x, x, . Alunci
că după monoţonia {lll;cţici
•
•
o:poncn)iale (proprietatea 3)
rezultă,
1. a;> 1, atunci f (x,} <fIx,} deci fIx,} 1# f(x,};
dacă şi
« < >
2. O a 1, atunci fIx,} fIx,} deci f Ix, } oF fIx,} .
dacă şi
f
An alog, pentru x, ;> x,. Deci este
rezultă inj·ecti\'ă . Demonstraţia
•
f
faptuluI' că funcţia e"p~nenţiaIă (sl'c sUIjectivă depăşc~tc programa
clasei a. -X-a. Ea de continuitate va face
necesită noţiunea şi . se J",AnaJiză •
În clasa a XI-a. Cu alte cuvinte, se poate demonstra •
matematică că ,
>
oricare ar fi Yo O. un rta] poz.iti\", real astfel
număr (:xistă U11 număr ' 0
•
f
încât u" Yo ' (Conform injecti"itfqii e,le ,nie.)
= funcţiei lezultă că X o
5. a' esle
Funcţia exp0fle"ţiaIă f(.~} = i"versabiIă. •
,
•
pro,prittate este t:Yldcnt:i, dt.eart·('(' orice n-te
Această funcţie bij (:ctiyă
inn:TSlbi!ă . •
\ • -
In § 2 vom Dlllpa de in\'usti funclic:i
De st~diul C:XPOli LI] ţiale.
•
•
• 1.01 . Graricul
funcţiei exponenţiale
• -
•
p(: ace-ca ,i figură "om rlŢHzulta grafx.ul funcţiilor f{x) =:2' ~i ,(1) = •
-
•
..
funcţiilor ~ (~
5", iar pc alta al b(x) = " ;i k(x} = '. Trasa". fi,·
c=
2
~.
,
grafic s( facI' •. prill puncte;". Asocjtm tahtkle xalori
c:jn~i d~ U11r~i;('~ircl ..
, -
o -
. 1
I -oc - 3 -2 -J ? 3
•
•
•
. 1 1 1
fIx) - 2' I - -., I 8 ,
.. -
8 4 • -
__
- - - - - - ,.----------,-----_._''-
--------"''-',
_
1 ' \ l ' 1 1
iI(.v} _ 8 4 2 1 - -= -
2 4 8
~
•
•
±
±2, 3 în general, }1lutru x întrq; dife-
()h~('rvăm că !J(1l11U X = şi,
•
1 '
± A-I>'l
nI. d" 1, valorile {,1Ilqiilor g!x ) = 5' = - sunl. ori foarte Ula';,
şi
• 5
•
mlc-i , (kci punrtt:lc suut gn:ll de figurat pc glafic
OT r(Jnrh~ core5I'tll1l,ătoarc
De.: 1(1('~, in au'st caz, vom lu~ pc'otnt % vak)ri fructiouat e CllPl111SC intre
,n'
_1 oi LUOI!,lu , '" _ -1 _:1 _. _1 _ 1 O 1 1 · 3 1
4' ' 4 '
.. . ' 4' ~ 2' ''' 2' ",, ' .
-
-
•
•
9
• •
•
•
•
•
