Master BELHOUT Ali , BOUHADJAR Ali

89 Pages·2017·0.85 MB·French

MINIST¨RE DE L(cid:146)ENSEIGNEMENT SUP(cid:201)RIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSIT(cid:201) DE M(cid:146)HAMED BOUGUERRA
FACULT(cid:201) DES SIENCES
D(cid:201)PARTEMENT DE MATH(cid:201)MATIQUES
MØmoire
PrØsØntØe pour l(cid:146)obtention du dipl(cid:244)me de
Master
FiliŁre : MathØmatiques
SpØcialitØ : Master MathØmatiques FinanciŁres
Par
BELHOUT Ali , BOUHADJAR Ali
TH¨ME
(cid:201)quation diگrentielle stochastique
et Application
Soutenu publiquement, le 01/ 07 /2017 devant le jury composØ de:
Mr. KHALDI Khaled PrØsident
Mr. TAZEROUTI Moussa Encadreur
Mr. HENNECHE Mohamed Examinateur
Remerciements
Nosremerciementss(cid:146)adressenttoutnaturellement(cid:224)notrepromoteur,TAZEROUTIMoussa
.Nous souhaitons lui exprimer nos profondes gratitudes pour son accompagnement constant
ses conseils, son soutien, sa disponibilitØ, son Øcoute et sa patience. Nous avons eu le priv-
ilŁge de bØnØ(cid:133)cier d(cid:146)un excellent encadrement scienti(cid:133)que, ce qui a trŁs largement contribuØ
(cid:224) la rØussite de ce travail.
Ensuite, jetiens(cid:224)exprimermesremerciementsauxmembresdejury,pro⁄eseurKHALDI
Khaled prØsident ainssi que Mr HENNECHE Med qui ont accpetØ d(cid:146)Øvaluer notre travail
certaines personnes ne peuvent etre oubliØes mes enseignats : GRAZEM Med, ,RAH-
MOUNE Ahmed ,AKLIOUAT Kamel ).
J(cid:146)ai Øgalement une pensØe pour tous mes proches, famille et amis, qui ont fait preuve de
beaucoup de patience et m(cid:146)ont toujours encouragØ. J(cid:146)espŁre maintenant Œtre plus disponible
et leur rendre ce que je leur dois.
. En(cid:133)n, je souhaite remercier en particulier Mon oncle vava Rachid et mes parents pour
leurs e⁄orts, encouragements, pour le temps qu(cid:146)ils ont consacrØ pour moi et pour tout.
i
Table des matiŁres
Introduction gØnØrale v
1 Introduction au calcul stochastique 1
1.1 Processus stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Les processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Processus stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 EspØrance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 PropriØtØs de l(cid:146)espØrance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 PropriØtØs trajectorielles du mouvement Brownein . . . . . . . . . . . 4
1.4 Filtrations, Martingales et temps d(cid:146)arrŒt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Temps d(cid:146)arrŒt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 IntØgrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Calcul d(cid:146)It(cid:244) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Processus d(cid:146)It(cid:244) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 (cid:201)quation diگrentielle stochastique 11
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Existence et unicitØ de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 PropriØtØs de la solution d(cid:146)une EDS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ii
TABLE DES MATI¨RES
2.3 Solution forte d(cid:146)une EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Processus d(cid:146)Ornstein Uhlenbeck : . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Brownien gØomØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 ThØorŁme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Changement de ProbabilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Solution faible d(cid:146)EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Le calcul stochastique appliquØ (cid:224) la (cid:133)nance et modŁles (cid:133)nanciers 28
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Notations, terminologies et quelques dØ(cid:133)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Les options en (cid:133)nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Le prix d(cid:146)exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.3 Payo⁄d(cid:146)une option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.4 La durØe de vie d(cid:146)une option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 MarchØ (cid:133)nancier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1 Equilibre d(cid:146)un marchØ (cid:133)nancier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Absence d(cid:146)opportunitØ d(cid:146)arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3 E¢ cience d(cid:146)un marchØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.4 Mesures de sensibilitØs des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 ModŁle binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 ModŁle binomial (cid:224) une pØriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2 ModŁle binomial (cid:224) n pØriodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.3 Calcul de la prime d(cid:146)une option europØenne avec le modŁle binomial . 39
4 Estimation et Simulation d(cid:146)Øquations di⁄Ørentielles stochastiques 40
4.1 Estimation paramØtrique des EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Vraisemblance approchØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Estimation non paramØtrique des EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Estimation non-paramØtrique de b et de (cid:27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.1 Estimateurs a noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
Table des matiŁres
4.4 Simulation des EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 SchØma d(cid:146)Euler- Maruyama : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 SchØma de Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Simulation d(cid:146)un mouvement Brownien standard: . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.1 DiscrØtisation du temps : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.2 Simulation de la trajectoire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.8 Simulation d(cid:146)un mouvement Brownien gØomØtrique . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8.1 Simulation du modŁle Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9 Simulation du modŁle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.9.1 Simulation de la fonction d(cid:146)un call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.9.2 Simulation de la fonction d(cid:146)un put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 (cid:201)tude et Application modØle de Black - Scholes: 63
5.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Description du modŁle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Etude de la serie caterpillar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 Simulation des trajectoires de la sØrie caterpillar par le modŁle de
Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Algorithme modŁle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.3 Les PrØvisions: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Calcule du call europØen par la mØthode MC: . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Conclusion gØnØrale 80
Bibliographie 80
iv
Introduction gØnØrale
Introduction gØnØrale
Les mathØmatiques (cid:133)nanciŁres sont devenues de nos jours un outil incontournable dans
un monde oø l(cid:146)argent prend une place prØpondØrante dans les a⁄aires.
Toutcommenceen1827aveclebotanisteRobertBrownquidØcritlemouvementcontinu
inhabituel et chaotique de trŁs petites particules immergØes dans un liquide. Plus tard en
1900,dans sa thŁse intitulØe ThØorie de la spØculation, Louis Bachelier introduit l(cid:146)utilisation
en (cid:133)nance du mouvement brownien. Plusieurs progrŁs suivront dont les plus notables sont
ceux de Norbert Wiener qui donne un formalisme mathØmatique au mouvement brownien
et ceux de Kiyosi It(cid:244) dans la thØorie des processus stochastiques.
Tous ces rØsultats seront utilisØs par Black et Scholes qui publieront en 1973 une analyse
sur les options europØennes The Pricing of Options and Corporate liabilites.
C(cid:146)est la naissance du modŁle de Black & Scholes qui favorisera l(cid:146)essor de l(cid:146)ingØnierie
(cid:133)nanciŁre.
Les Øquations di⁄Ørentielles stochastiques sont de plus en plus utilisØes dans di⁄Ørents
domaines tels que les (cid:133)nances, a(cid:133)n par exemple de modØliser l(cid:146)Øvolution de cours de bourses
(exemple du mouvement brownien gØomØtrique dans le modØle de Black-Scholes),la dy-
namique des populations, a(cid:133)n de modØliser la localisation ou la taille de la population d(cid:146)une
espØce donnØe, la physique (mØcaniquedes (cid:135)uides, gØophysique,. . )
Notre intØrŒt se portera plus prØcisØment sur la simulation numØrique de processus alØa-
toiresetcelledumouvementBrowniengØomØtriquedanslemodØledeBlack-Scholes(cid:224)temps
continu, devenu la rØfØrence en termes de modŁle d(cid:146)Øvaluation des produits dØrivØs. Il a eu
un impact majeur sur les mØthodes utilisØes.
Ce mØmoire sera organisØ comme suit :
Dans Le premier chapitre sera consacrØ aux rappels de base concernant les proces-
sus stochastiques.On donnera les principales propriØtØs du mouvement Brownien ainsi que
celles des martingales qui seront utiles pour cela. AprŁs avoir prØsenter quelques rØsultats
importants relatifs (cid:224) l(cid:146)intØgrale stochastique, on verra comment il peut Œtre mise en oeuvre
pour la rØsolution des Øquations di⁄Ørentielles stochastiques.
v
Introduction gØnØrale
Le deuxiŁme chapitre sera consacrØ pour dØ(cid:133)nir c(cid:146)est quoi une EDS et approfondir de
ce sens et expliquer briŁvement l(cid:146)unicitØ de la soulution d(cid:146)une EDS solution forte et faible,et
ensuite les diگrents domaines d(cid:146)application des EDS
Le troisiŁme chapitre prØsente le champ d(cid:146)application du calcul stochastique en (cid:133)-
nances, plusieurs notions (cid:133)nanciŁres sont dØ(cid:133)nies telle que les options, le prix d(cid:146)exercice...
etc. Ensuite , quelque notions sur les marchØs (cid:133)nanciers et en(cid:133)n nous parlerons des modŁles
(cid:133)nanciers tel que le modŁle binomial,et de Black Scholes
Le quatriŁme chapitre prØsente des estimations et simulations des notions introduites
dans les chapitres prØcØdents : mouvement Brownien, Øquation difØrentielle stochastique,
schØmas numØriques.
En(cid:133)n le cinqiØme chapitre traitera le modŁle de Black scholes qui sera des exem-
ples illustratifs (Comparaison shema Euler et Milstein de ce processus. ,cours boursiers
caterpillar) .
vi
Chapitre 1
Introduction au calcul stochastique
1.1 Processus stochastique
Un processus stochastique est un modØle mathØmatique qui permet de dØcrire le comporte-
ment, a tout moment aprØs l(cid:146)instant initial (par exemple t = 0), d(cid:146)un phØnomØne alØatoire.
0
Nous prØcisons cette notion dans la de(cid:133)nition suivante.
DØ(cid:133)nition 1.1.1 Un processus stochastique X = (X ) est une famille de variables alØa-
t t I
(cid:26)
toires, indexØe par I et dØ(cid:133)nie sur l(cid:146)espace de probabilitØ ((cid:10);z;P) a valeurs dans un espace
mØsurable (S;S), qu(cid:146)on appelle espace d(cid:146)Øtats.
Remarque 1.1.1 1)Il est parfois commode de rassembler toutes ces v.a. en une seule v.a.
X dØ(cid:133)nie sur ((cid:10);z;P) est (cid:224) valeurs dans un espace fonctionnel ET , c-(cid:224)-d pour un ! (cid:133)xØ
et t variable dans T;X(!;t)est appelØe trajectoire du processus, c(cid:146)est une simple fonction du
temps (sans caractŁre alØatoire) qui reprØsente la rØalisation du processus sous l(cid:146)occurence
Pour un t (cid:133)xØ, X(!;t) est une simple v.a.
2) On prend sur l(cid:146)espace ET la tribu de Kolmogorov, dØ(cid:133)nie comme Øtant la plus petite
tribu rendant mesurables les v.a. X , pour tout t T:
t
2
3) Si T est continu (exemple : T = [0; [ ,T = [0;t] tq t R ;:::), (resp. discret) on
+
1 2
dit que le processus est en temps continu (resp. discret).
1
1.1. Processus stochastique
1.1.1 Les processus gaussiens
Dans cette partie nous allons rappeler quelques notions et rØsultats pour une classe im-
portante de processus stochastiques, les processus gaussiens.
DØ(cid:133)nition 1.1.2 Un processus(Xt)t i est un processus gaussien si pour tout n N(cid:3) et pour
2 2
tout (t ;:::;t ) In, le vecteur alØatoire (X ;:::;X ) est un vecteur gaussien.
1 n 2 t1 tn
Nous savons que la loi d(cid:146)un vecteur alØeatoire gaussien est caractØrisØe par sa moyenne
et sa matrice de covariance. La proposition suivante Ønonce le rØesultat analogue pour un
processus gaussien.
Proposition 1.1.1 . La loi d(cid:146)un processus gaussien (X ) est caracterisee par sa fonction
t t i
2
moyenne
mx : I R
(cid:0)!
t E(X )
t
(cid:0)!
et par sa fonction de covariance
(cid:0)x : I I R
(cid:2) (cid:0)!
(s;t) Cov(X ;X )
s t
(cid:0)!
1.1.2 Processus stationnaire
Un processus stochastique (X ) est stationnaire si pour tout entier n et pour tous rØels
t t 0
(cid:20)
0 < t < t < ::: < t < , et pour tout h; les variables alØatoires (X ;X ;:::;X ) et
1 2 n 1 t1 t2 tn
(X ;X ;:::;X ) ont mŒme loi.
t1+h t2+h tn+h
2
1.2. EspØrance conditionnelle
1.2 EspØrance conditionnelle
Soit F une sous-tribu de F: F reprØsente une information partielle sur le hasard.
1 1
L(cid:146)espØrance conditionnelle d(cid:146)une v.a. X par rapport (cid:224) F reprØsente la meilleure esti-
1
mation que l(cid:146)on puisse faire de la valeur de X (cid:224) l(cid:146)aide de l(cid:146)information contenue dans F :
1
Soit X une v.a. telle que E X < + , onappelle espØrance conditionnelle de X sachant
j j 1
F , et on note E(X=F ), toute v.a. satisfaisant les deux conditions suivantes :
1 1
1) E(X=F ) et F -mesurable.
1 1
2) Pour tout A F on a :
1
2
XdP = E(X=F )dP
1
Za Za
1.2.1 PropriØtØs de l(cid:146)espØrance conditionnelle
Soient X et Y deux v.a. intØgrables et soit F F on a :
1
(cid:26)
1) E(aX +Y= ) = aE(X= )+E(Y= ):
1 1 1
F F F
2) Si X Y alors E(X= ) E(Y= ).
1 1
(cid:20) F (cid:20) F
3) E(E(X= )) = E(X) (on prend A = (cid:10) dans la dØ(cid:133)nition).
1
F
4) Si X est indØpendante de on a E(X= 1) = E(X), c-(cid:224)-d qu(cid:146)en l(cid:146)absence de toute
1
F F
information sur X, la meilleure estimation que l(cid:146)on puisse faire sur X est son espØrance.
5) Si X est -mesurable alors E(X= ) = X. Cela traduit le fait que contient dØja
1 1 1
F F F
toute information sur X:
6) Si X est-mesurable et E( XY ) < + , alors E(XY= ) = XE(Y= ):
1 1
j j 1 F F
7) Si , alors E(E(X= )= ) = E(X= ):
1 2 2 1 1
F (cid:26) F (cid:26) F F F F
8) Contraction dans Lp, pour p 1, si X Lp : E[ E(X=F ) p] E X p
1 1
(cid:21) 2 j j (cid:20) j j
9) InØgalitØ de Jensen : si ’est convexe et E ’(x) < + ; alors ’(E(X=F1))
j j 1 (cid:20)
E(’(X)=F ):
1
3