Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 531.133.3:531.395
Nr. 1035
Dr.-Ing. Walter Rath
Lehrstuhl für Getriebelehre an der Technischen Hochschule Aachen
Massenkräfte in den Lagern
sphärischer Getriebe
Als Manuskript gedruckt
WESTDEUTSCHER VERLAG I KOLN UND OPLADEN
1961
ISBN 978-3-663-03714-9 ISBN 978-3-663-04903-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-04903-6
G I i e der u n g
. . .
Vorwort · s. 5
· . . . . · . . . . · . .
1. Einleitung. · s. 7
· · · s.
2. Massenkräfte und -momente der einzelnen Glieder. 13
2.1 Massenkräfte des Antriebsgliedes · · · · · · · · · · s. 13
2.2 Massenkräfte und -momente des Abtriebsgliedes. · s. 14
2.3 Massenkräfte und -momente der Koppel · · · · · · s. 17
2.31 Zerlegung der gesamten Massenträgheitswirkung.e n in
einzelne Kräfte und Momente · · · · s. 17
2.32 Bestimmung von ~fc' · · · · · · s. 19
.
2.33 Bestimmung von :P · · · · · · · · · • · s. 25
n rel c
2.34 Bestimmung von ~t · · · · · s. 25
rel c .
2.35 Bestimmung von ~ • · · · · · · · · · · · s. 27
ce . . .
2.36 Bestimmung von liL · · · · · · · · • s. 30
c
3. Lagerkräfte und -momente, die durch Kräfte und Momente der
s.
einzelnen GI ieder hervorgerufen werden •• •• • • • 32
3.1 Lagerkräfte und -momente, die durch Massenkräfte des An-
triebsgliedes hervorgerufen werden • • • • • • • • S. 32
3.2 Lagerkräfte und -momente, die durch Massenkräfte und
-momente des Abtriebsgliedes hervorgerufen werden.. '. S. 51
3.3 Lagerkräfte und -momente, die durch die Massenkräfte und
-momente der Koppel hervorgerufen werden • • • • • • • • • s. 65
4. Massenkräfte und -momente des Kreuzgelenkes als Beispiel •• • S. 78
Literaturverzeichnis ••••.•.••••••.•••••••• • S. 81
Seite 3
Vor w 0 r t
Räumliche Getriebe treten immer mehr in den Vordergrund, und man darf
sich nicht nur auf Untersuchungen ihrer Kinematik, wie sie im Forschungs
bericht Nr. 873 für die sphärische Schubkurbel und in weiteren vorange
gangenen Veröffentlichungen des Unterzeichneten dargestellt wurde, be
schränken, sondern es bedarf auch der Untersuchung der besonders bei
hohen Drehzahlen merkbaren Massenkräfte. In der vorliegenden Arbeit mei
nes Mitarbeiters, Dr.-Ing. W. RATH, werden nun Wege zur Errechnung der
Massenkräfte in den Lagern sphärischer Getriebe gezeigt. Dabei werden
von der anschaulichen Seite her die Momente sowie die Kräfte ermittelt
und dann anschließend in die Gestalt von Formeln gekleidet - mit Metho
den, wie sie in gleicher Weise auch für ebene, in dieser Hinsicht aller
dings einfachere Getriebe, vom Unterzeichneten benutzt wurden.
In folgenden Arbeiten sollen weitere spezielle und häufig benutzte sphä
rische Getriebe als Sonderfälle behandelt und sollen durch Messungen die
theoretischen Ergebnisse nachgeprüft werden.
Dem Kultusministerium sei wiederum für die Unterstützung der vorliegen
den Untersuchungen ein besonderer Dank ausgesprochen.
Prof.Dr.-Ing. W.MEYER ZUR CAPELLEN
Aachen, im Januar 1961
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1. Einleitung
Bei der Bestimmung der Trägheitswirkungen der einzelnen Getriebeglieder
eines allgemeinen sphärischen Getriebes und ihrer Auswirkungen auf die
Lager werden die Übertragungskräfte, die Reibung und das Gewicht der Ge
triebeglieder in die Untersuchungen nicht mit einbezogen. Um die kompli
zierten Rechnungen etwas zu vereinfachen, wird eine konstante Antriebs
drehzahl angenommen. Das heißt, daß der Antriebsmotor ein veränderliches
Drehmoment, das durch die Trägheitswirkungen der Getriebeglieder hervor
gerufen wird, aufnehmen muß. Die Getriebeglieder werden als starr ange
nommen, was zur Folge hat, daß mit den Regeln der Statik die Kräfte und
Momente in den Lagern bestimmt werden können. Die Auswirkungen der Mas
sen der Getriebeglieder auf die Gelenke werden einzeln untersucnt, wobei
die übrigen Glieder als masselose Stäbe angenommen werden. Anschließend
lassen sich die einzelnen Komponenten der Kräfte und Momente in den La
gern superponieren.
Zur Berechnung der Massenkräfte ist die Kenntnis der Bewegungsgesetze,
vor allem der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, Voraussetzung. Des
halb soll kurz auf diese eingegangen werden.
"-J/I
A b b i 1 dun g 1
Sphärischer Kurbeltrieb
Eine allgemeine sphärische Viergelenkkette zeigt Abbildung 1. Hier ist
a
(X der Antriebswinkel, mit dem sich das Antriebsglied A A = = 1 um die
o
Achse I dreht,ß der Drehwinkel des Abtriebsgliedes B B b = 3 um die
o
Achse 111. Mit 61 wird der Drehwinkel der Koppel AB = c = 3 gegenüber
dem Antriebsglied, mit 62 der Drehwinkel der Koppel gegenüber dem Ab-
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triebsglied bezeichnet. Um die Richtungen von Geschwindigkeiten, Be
schleunigungen, Kräften, Momenten und die Lage einzelner Punkte, wie z.B.
Schwerpunkte, festzulegen, werden die rechtwinkligen, rechtssinnigen räum
lichen Koordinatensysteme nach den Abbildungen 2a, 2b und 2c eingeführt.
x
A b b i 1 dun g 2a A b b i 1 dun g 2b
Koordinatensysteme am Antriebs- Koordinatensysteme am Abtriebs-
glied glied
A b b i 1 dun g 2c
Koordinatensysteme an der Koppel
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Diese Koordinatensysteme werden allen weiteren Berechnungen zugrunde ge
ß
legt. Ähnlich wie beim ebenen Getriebe läßt sich der Winkel folgender
maßen zerlegen (Abb.3):
(1-1 )
ß
KS ist der Abtriebswinkel einer sphärischen Kurbelschleife. Mit ~ wird
der Winkel zwischen den Ebenen OB B und OB A bezeichnet. Für die Getriebe
o 0
A b b i 1 dun g 3
Zerlegung des Abtriebswinkels ß einer sphärischen Viergelenkkette in den
ß
Abtriebswinkel einer sphärischen Kurbelschleife und in die Überlage
KS
rung ~
mit den Gliedlängen b c = ~ gilt der Winkel~=~. Mit f wird der Bogen
AB bezeichnet. Nach dem Seitencosinussatz der sphärischen Trigonometrie
o
errechnet sich f zu
cosf cosä . cosd - sina . sind cosC1 • (1-2 )
ß
Unter Anwendung des Sinussatzes lassen sich KS und ~ berechnen aus
-
1
sinßKS = sina s in (l( (1-3)
sin f
und
-
1 .
sin~ = sinc sinOC (1-4)
sin f
Ebenso ergeb°en sich durch weitere Formeln der sphärischen Trigonometrie
die Winkel 1 und 62• Es gilt:
cosacosd-cosbcosc sinasind
----cosCX (1-5 )
sinbsinc sinbsinc
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ö1 wird in zwei Winkel zerlegt:
ö1 = ö+1 + ö+1 +
mit
. 5+ 1
Sl.n 1 sind sinct (1-6)
sinf
und
. 5++ . b 1 . 6
Sl.n 1 Sl.n --_- Sl.n 2 •
sinf
Aus diesen Winkeln lassen sich die Übersetzungsverhältnisse herleiten.
Wenn W10 die Winkelgeschwindigkeit des Gliedes 1 gegenüber 0'W 30 die
Winkelgeschwindigkei t von 3 gegen 0, (JJ 21 die von 2 gegen 1 und W 23 die
von 2 gegen 3 ist, dann sind die auf W bezogenen Winkelgeschwindig
10
W /W W /W
keiten die Übersetzungsverhältnisse i = , i = , i
30 30 10 21 21 10 23
W23/W10•
Es ist somit
. dß dßKS ~
(1-8)
l.30 = doc = ~ + dct
d51 d5~ döt+
(1-9)
i21=~=~+ dCi
und
(1-10)
Aus den allgemeinen Bewegungsgesetzen lassen sich die Gesetze für Sonder
fälle, wie z.B. die sphärische Doppelschleife (das Kreuzgelenk) (Abb.4),
die sphärische Kreuzschleife (Abb.5), die sphärische Kurbelschleife
(Abb.6) und die sphärische Schubkurbel (Abb.7) herleiten [2,3,4,5,6,7J.
Die Bewegungsgesetze sind in den einzelnen Veröffentlichungen untersucht
worden, deshalb sollen hier nur noch einige allgemeine Bemerkungen ge
macht werden. Bei der Doppelschleife, der Kreuzschleife und der Kurbel
c
schleife ist "Ei = = ~. Damit wird f = 52. Die Komponente 4> wird ~. Als
Abtriebswinkel soll hier ß = ß gelten.
KS
Doppelschleife: tgß = tgCi (1-11)
cosd
Kreuzschleife: tgß = tgasinct , (1-12)
=(:~~d in~ ~ ::~
Kurbelschleife: sN)
tgß s / + co
Sei te 10
\
I
11I
A b b i 1 dun g 4 A b b i 1 dun g 5
Sphärische Doppelschleife Sphärische Kreuzschleife
JI[ _ . !.
/
I
A b b i 1 dun g 6 A b b i 1 dun g 7
Sphärische Kurbelschleife Sphärische Schubkurbel
Nachfolgend sind die wesentlichen Bezeichnungen, die benutzt wurden, zu
sammengestellt.
Bei den geometrischen Untersuchungen bedeuten:
-
AA a Antriebskurbel (Nr.1 )
0
B8 'Ei Abtriebsglied (Nr.3)
0 -
AB c Koppel (Nr.2)
A B CI Gestell (Nr.4 = 0)
o 0
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L Lager bei Ao
AO
LA Lager bei A
LBo Lager bei Bo
LB Lager bei B
o
= Kugelmittelpunkt
R Kugelradius
I Antriebsachse
111 Abtriebsachse
x,y,z Koordinaten in den gliedfesten Koordinatensystemen
Koordinaten in den gestellfesten Koordinatensystemen
ä,b,c
S ,Sb' S Schwerpunkte der Glieder
a c
Ci Antriebswinkel (Kurbelwinkel)
ß Abtriebswinkel
W Winkelgeschwindigkeit
E Winkelbeschleunigung
v Geschwindigkeit
b Beschleunigung
i Übersetzungsverhältnis
i'=di/d.cx. Beschleunigungsverhältnis
51 Schnittwinkel der Ebenen OA A und OAB
o
5 Schnittwinkel der Ebenen OBoB und OAB
2 2d
A=tg "2 Parameter bei der sphärischen DOPF2lschleife, dem Kreuzgelenk
2ä
A=tg "2 Parameter bei der sphärischen Kreuzschleife, dem Hookeschen
Schlüssel.
Bei den dynamischen Untersuchungen bedeuten:
c
ä, b,
m ,mb,m Massen der Glieder
a c
e Trägheitsmoment
E kinetische Energie
12 Kraft vom Betrage P
0& Moment vom Betrage M
z. B. :
Kraft, die im Lager B durch die Trägheitswirkungen des An-
~aBo3x o
triebsgliedes hervorgerufen wird und vom Gestell in x-Richtung
auf das Glied 3 (Abtriebsglied) ausgeübt wird
Kraft, die im Lager A durch die Trägheitswirkungen der Kop
~cAo1z o
pel hervorgerufen wird und vom Gestell in z-Richtung auf das
Glied 1 (Antriebsglied) ausgeübt wird
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