Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1958
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprăsidenten Heinz Kiihn
von Staatssekretăr Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 621.83.03.1.4
Dr.-Ing. F. Heinrich Lehn
Institut fiir Getriebelehre und Maschinentrynamik
der Rhein.-WestJ. Techn. Hochchule Aachen
Direktor: Prof Dr.-Ing. Walther Meyer zur Cape/len
Massenkrăfte bei Kopplung von
Ge1enk- und Rădertrieben
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06374-2 ISBN 978-3-663-07287-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07287-4
Verlags-Nr.011958
© 1968 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprunglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH. Koln und Opladen 1968
Vorwort
Die Kopplung von Gelenkgetrieben mit Rädertrieben, auf welche z. B. im Forschungs
bericht Nr. 1901 (Bearbeiter: MEYER ZUR CAPELLEN und Dipl.-Ing. v. D. OSTEN-SACKEN)
ausführlich eingegangen wurde, erweitert den Bereich der möglichen Bewegungsgesetze
erheblich. Bei schnellaufenden Getrieben können jedoch die verlangten Bewegungs
gesetze (z. B. eine Rast oder ein stationärer Geschwindigkeitsverlauf) durch die Massen
kräfte gestört werden.
In der beigefügten Untersuchung meines Mitarbeiters DrAng. FRANZ HEINRICH
LEHN über »Massenkräfte bei Kopplung von Gelenk- und Rädertrieben« ist nun die
Auswirkung der Massenkräfte betrachtet und sind auch Möglichkeiten für den Massen
ausgleich angedeutet bzw. durchgeführt. Die erforderliche rechnerische Auswertung
konnte in dankenswerter Weise beim Rechenzentrum der TH Aachen (Direktor Prof.
Dr. REUTTER) durchgeführt werden, wodurch die erforderlichen Zahlenwerte rasch
und genau gefunden werden konnten.
Besonderer Dank gebührt wiederum dem Herrn Ministerpräsidenten des Landes
Nordrhein-Westfalen für die Förderung der vorliegenden Untersuchungen.
W. MEYER ZUR CAPELLEN
Aachen, November 1967
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Inhalt
Verwendete Abkürzungen und Bezeichnungen .............................. 7
1. Einleitung ........................................................... 9
2. Kinematische Voraussetzungen zur Untersuchung von Koppelrädertrieben ... 10
2.1 Einfache U mlaufrädertriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
2.2 Bewegungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
2.2.1 Koppelrädertrieb mit einer umlaufenden Kurbelschleife erster Art als
Grundgetriebe, Modell I ........................................ 11
2.2.1.1 Aufbau des Getriebes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
2.2.1.2 Winkel ....................................................... 11
2.2.1.3 Winkelgeschwindigkeiten ....................................... 12
2.2.1.4 Winkelbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
2.2.2 Koppelrädertrieb mit einer Kurbelschwinge als Grundgetriebe,
Modell 11 ..................................................... 12
2.2.2.1 Aufbau des Getriebes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
2.2.2.2 Umlauffähigkeitsbereiche ....................................... 13
2.2.2.3 Winkel ....................................................... 13
2.2.2.4 Winkelgeschwindigkeiten ....................................... 14
2.2.2.5 Winkelbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
2.2.3 Koppelrädertrieb mit einer umlauffähigen Doppelschwinge als Grund-
getriebe, Modell III ............................................ 15
2.2.3.1 Aufbau des Getriebes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
2.2.3.2 Winkel ....................................................... 15
2.2.3.3 Winkelgeschwindigkeiten ....................................... 16
2.2.3.4 Winkelbeschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
2.2.3.5 Numerische Auswertung... . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 18
3. Ermittlung der Antriebsmomente von Koppelrädertrieben nach dem Prinzip
der virtuellen Arbeit .................................................. 19
3.1 Koppelrädertrieb mit einer umlaufenden Kurbelschleife erster Art als
Grundgetriebe, Modell I ........................................ 19
3.2 Koppelrädertrieb mit einer Kurbelschwinge als Grundgetriebe,
Modell 11 ..................................................... 20
3.3 Koppelrädertrieb mit einer umlauffähigen Doppelschwinge als Grund-
getriebe, Modell III ............................................ 21
5
4. Kraftwirkungen in periodischen Getrieben .............................. 22
4.1 Wirkung der Gewichtskräfte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
4.2 Wirkung der Massenkräfte ............. ....................... 24
5. Bestimmung der Lagerkräfte, Zahnkräfte und des Antriebsmomentes an einem
Koppelrädertrieb mit einer Kurbelschwinge als Grundgetriebe, Modell II ... 24
5.1 Ortsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
5.2 Massenkräfte und -momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
5.3 Befreiung der Getriebeglieder .................................. 26
5.4 Aufstellung eines Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
5.4.1 Gleichgewichtsbedingungen für Glied 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
5.4.2 Gleichgewichtsbedingungen für Glied 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
5.4.3 Gleichgewichtsbedingungen für Glied 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
5.4.4 Gleichgewichtsbedingungen für Rad Z5 .......................... 32
5.4.5 Zusammenfassung der Bestimmungsgleichungen .................. 32
5.4.6 Auflösung des linearen Gleichungssystems ....................... 34
5.4.7 Mögliche Lagen der Zahnkraft ................................. 35
5.5 Auswertung und Darstellung der Ergebnisse ..................... 36
5.5.1 Lagerkräfte, Zahnkräfte, Antriebsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
5.5.2 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
5.5.3 Harmonische Analyse ......................................... 38
6. Bestimmung der Lagerkräfte, Zahnkräfte und des Antriebsmomentes an einer
zykloidengesteuerten Kreuzschleife, Model IV .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
6.1 Aufbau und Kinematik ........................................ 39
6.2 Aufstellung eines Gleichungssystems ............................ 40
6.3 Rückwirkung der Kräfte und Momente auf das Gestell 0 '" . . . . . . .. 43
6.4 Einfluß der Gewichtskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
7. Massenausgleich..................................................... 45
7.1 Ausgleich der resultierenden Kraft $tö ........................... 46
7.2 Ausgleich des resultierenden Momentes 9)1'0 ...................... 47
7.3 Ausführung des Massenausgleichs an Modellgetriebe IV ........... 48
8. Zusammenfassung ................................................... 48
9. Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
10. Abbildungen........................................... . . . . . . . . . . . .. 51
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Verwendete Abkürzungen und Bezeichnungen
Mo,M Lagerpunkte der Umlaufrädergetriebe
A Zykloidenerzeugungspunkt
Ao,Bo,A,B Lagerpunkte des Viergelenkgetriebes
R,L Lagerpunkte der Kreuzschleife
E,C Zahnradwälzpunkt
P Relativpol P20
H Relativpol PSI
St Schwerpunkt des Getriebegliedes i
a=AoA Kurbellänge, Schwingenlänge bei Viergelenkgetrieben (Glied 1)
a=MoM Kurbel- oder Steglänge bei Umlaufrädergetrieben (Glied 1)
b = BoB Schwingenlänge (Glied 3)
c=AB Koppellänge (Glied 2)
d= AoBo Steglänge (Glied 4 = 0)
Wälzkreisradius des Zahnrades Zi
'i
p=MA Abstand des Zykloidenerzeugungspunktes A von M
q = 01011 Abstand der Lagerpunkte der Ausgleichsrnassen
I =LR Abstand der Lagerpunkte L und R
et Abstand des Schwerpunktes Si von einem Lagerpunkt
~, Jj, c, a, rt, }
ei Vektoren
p, ij, 1,
3t Ortsvektor des Schwerpunktes Si
i Glied-Nummer (das feste Gestell ist immer mit 4 0 bezeichnet)
Index der Fourierkoeffizienten
virtuelle Arbeit des Gliedes i
Drehwinkel des Gliedes 1
IX
'Y Drehwinkel des Gliedes 2
ß Drehwinkel des Gliedes 3
-0 Drehwinkel des Rades Zs
Ci, /1, ß, T, }
Winkel am Viergelenkgetriebe
f[!,rp,tp
1: Zahneingriffswinkel der Evolventenverzahnung (die genormte Be
zeichnung und Größe des Eingriffswinkels sind lXo = 20°)
Lagenwinkel des Schwerpunktes Si
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung des Gliedes i gegen
über dem Gestell 0
XYZ raumfestes Koordinatensystem
Koordinaten des Gliedes i
Lagenwinkel des raumfesten Koordinatensystems
7
mi Masse des Gliedes i
mr, mn Ausgleichsmassen
Bi Massenträgheitsmoment des Gliedes i
MTM Massenträgheitsmoment
.Rim, Kim Kraftvektor, -betrag (von Glied i auf Glied m wirkend)
.Rs Trägheitskraft des Gliedes i (in Schwerpunkt Si wirkend)
i
9(i Normalkomponente der Kraft .Rsi
::ri Tangentialkomponente der Kraft .Rsi
G5i Gewicht des Gliedes i
sm, sm sm
n, t Kräfte an der Zahnflanke
9)1im, il1im Momentenvektor, -betrag (von Glied i auf Glied m wirkend)
9)1(t), M(t) durch Trägheitskräfte hervorgerufenes Moment
Wl(a), M(a) äußeres Moment (Vektor, Betrag)
r, f, }" J., P, a Abkürzungen und Parameter beim Viergelenkgetriebe
Abkürzungen und Parameter beim Umlaufrädergetriebe
Reibungskoeffizient
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1. Einleitung
Dadurch, daß man Gelenk- und Zahnradgetriebe miteinander verbindet, lassen sich
verhältnismäßig einfach verschiedenartige Bewegungsgesetze mit vorgeschriebenen
Eigenschaften verwirklichen. Bekannte Bauformen solcher Getriebekombinationen
sind Koppelrädertriebe oder Zweiradgetriebe sowie Kurbelrädertriebe oder Dreirad
getriebe. Die Kinematik der Koppelrädertriebe ist hinlänglich bekannt [1 bis 4]. Vor
zugsweise lassen sich die Koppelrädertriebe als Rastgetriebe verwenden [5 bis 8]. Die
Kinematik der Kurbelrädertriebe ist zwar auch schon untersucht worden [9 bis 12],
jedoch sind auf diesem Gebiet noch weitere Ergebnisse zu erwarten [10]. Viele der an
ebenen Getrieben gewonnenen Erkenntnisse lassen sich auf sphärische Getriebe über
tragen.
Zur Untersuchung der Kräfte in periodischen Getrieben bedient man sich oft zeichne
rischer oder zeichnerisch-rechnerischer Verfahren [13 bis 17,32, 33]. Bei einigen dieser
Methoden wird besonderes Gewicht auf die Harmonische Analyse gelegt [18, 19].
Gegenüber rein graphischen Verfahren haben die zeichnerisch-rechnerischen Verfahren
den Vorteil, daß sie genauere Lösungen ergeben und sich außerdem als Grundlage für
eine numerische Kräfteermittlung eignen. Durch die neuerdings gegebene Möglichkeit
der Verwendung moderner Datenverarbeitungsanlagen kann man jetzt dazu übergehen,
den zeichnerischen Weg als Vorbereitung und Kontrolle der Rechnung anzusehen.
Es ist ein Vorteil rein rechnerischer Verfahren, daß sie mit Hilfe von Digitalrechnern in
kurzer Zeit exakte Ergebnisse liefern. Wegen der raschen Verbreitung von Daten
verarbeitungsanlagen ist zu erwarten, daß die rechnerischen Verfahren eine häufigere
Anwendung finden als bisher [21 bis 23J.
In dieser Arbeit sollen die Wirkungen der Massen-und Gewichtskräfte der Kombinatio
nen von ebenen Zahnrad- und Gelenkgetrieben in bezug auf die Lager- und Zahn
belastung untersucht werden. Da diese Eigenbelastung der Getriebe außer von ihrem
Bewegungszustand noch von der Massenverteilung abhängig ist, können die Unter
suchungen nicht allgemein, sondern nur an bestimmten Modellen durchgeführt werden.
Dabei soll ein bestimmter Bewegungszustand angenommen und die Reibung vernach
lässigt werden.
Geht man davon aus, daß die Antriebswinkelgeschwindigkeit eines periodischen Ge
triebes einen bestimmten Funktionsverlauf hat, so kann mit Hilfe des Prinzips der vir
tuellen Arbeit, nach der Lagrangeschen Gleichung oder dem Energiesatz [13,24] der
Verlauf des Antriebsmomentes bestimmt werden.
Benutzt man bei einem Getriebe zur Bestimmung der Lagerkräfte, Zahnkräfte und des
Antriebsmomentes die Gleichgewichtsbedingungen der einzeln befreiten Getriebe
glieder, so ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, welches mit Hilfe eines Digital
rechners aufgelöst werden kann. Der Rechengang läßt sich dabei auf einfache Weise
graphisch kontrollieren. Dieses Verfahren zeichnet sich durch Übersichtlichkeit, Exakt
heit und Schnelligkeit aus, zumal der Programmierungsaufwand durch die Einführung
problemorientierter Sprachen, wie ALGOL und FORTRAN, in erträglichen Grenzen
gehalten wird und ferner die Verwendung eines lochkartengesteuerten Zeichenauto
maten die Auswertung der Ergebnisse sehr erleichtern kann.
Da über den Funktionsverlauf der Antriebswinkelgeschwindigkeit allgemein keine
Aussage gemacht werden kann, beziehen sich hier alle numerisch ausgeführten Rech
nungen auf konstante Antriebswinkelgeschwindigkeiten.
9
Gegenstand der Untersuchungen sind zunächst drei Modelle von Koppelrädertrieben mit
verschiedenen Grundgetrieben. Da Gelenkgetriebe sich auf verschiedenartigste Weise
mit Rädertrieben kombinieren lassen, ist als viertes Beispiel eine zykloidengesteuerte
Kreuzschleife gewählt worden. Dieses Modell eignet sich besonders zur Demonstration
eines nahezu vollständigen Massenausgleichs.
2. Kinematische Voraussetzungen zur Untersuchung
von Koppelrädergetrieben
2.1 Einfache Umlaufrädergetriebe
Man unterscheidet drei Typen einfacher Umlaufrädergetriebe [7,25]. In Abb. 1 * sind
diese drei Typen mit A, Bund C bezeichnet. Räder mit dem Index m sind im festen
Punkt Mo gelagert und Räder mit dem Index k im Lager M des in Mo gelagerten
Steges s. Bei Typ A ist Rad k innen- und Rad m außenverzahnt, bei Typ C umgekehrt
und bei Typ B sind beide Räder außenverzahnt.
Für die auf die feste Ebene 0 bezogenen Winkelgeschwindigkeiten der drei Glieder eines
Umlaufrädergetriebes gilt die allgemeine Beziehung
(1)
In dieser Gleichung sind die Winkelgeschwindigkeiten als gleichsinnig drehend an
genommen. Ein Richtungswechsel ist mit einem Vorzeichenwechsel verbunden. Die
Koeffizienten lauten allgemein
~1 = (1-'YJ) (2)
und
~2 = 'YJ, (3)
jedoch gilt für 'YJ im einzelnen
Typ A B C
(4)
'Y}=
2.2 Bewegungsgesetze
Eine Untersuchung der Dynamik periodischer Getriebe setzt die Ermittlung der Be
wegungsfunktionen der einzelnen Getriebeglieder voraus. Weil es sich bei den behandel
ten Modellen um prinzipiell bekannte Getriebe handelt [5 bis 8], sollen ihr Aufbau und
ihre Kinematik nur so weit beschrieben werden, als es zur Untersuchung der Dynamik
erforderlich ist. - Die allgemeinen Herleitungen der Winkelbeschleunigungen be
ziehen sich auf eine veränderliche Antriebswinkelgeschwindigkeit. In die numerische
Rechnung soll nachfolgend jedoch immer eine konstante Antriebswinkelgeschwindigkeit
eingeführt werden.
* s. Abs. 10. Abbildungen, S. 51
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