Table Of ContentМ.Н. Кирсанов
ЗАДАЧИ
по теоретической механике
с решениями в Maple 11
Пособие для студентов технических вузов и университетов
Москва
ФИЗМАТЛИТ
2010
УДК 681.3.06: 531
ББК 22.213
K 435
Кирсанов М.Н. Задачи по теоретической механике с ре-
шениями в Maple 11 — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 264 с. — ISBN
5-7046-1168-0.
K 435
Изложены условия и примеры решения задач по статике, ки-
нематике и динамике. Особое внимание уделено задачам динамики
на составление уравнений Лагранжа 2-го рода. Приведены условия
264 задач и 10 примеров на эту тему. Для других задач дано по 30
вариантов с ответами. Даны вспомогательные и иллюстративные про-
граммы для решения задач теоретической механики в системе Maple
11, алфавитный указатель к командами операторамэтой системы.
Книгаможетбытьиспользованакакприочной,такипридистан-
ционной формах обучения.
Для студентов и преподавателей университетов и технических
вузов.
Ил. 113.
УДК 681.3.06 : 531
ББК 22.213
ISBN 5-7046-1168-0 (cid:2)c Кирсанов М.Н., 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C1. Равновесие рамы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C2. Простаясоставная конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Примерырешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C3. Система трех тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
C4. Простаясоставная конструкция из трех тел. . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C5. Трение качения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Примерырешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C6. Расчет фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Примерырешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
C7. Равновесие полки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
C8. Статические инварианты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Глава 2. Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
К1. Кинематический анализ механизма(5 звеньев). . . . . . . . . . . . . . . 73
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
К2. Кинематический анализ плоскогомеханизмас цилиндром . . . . . . . 79
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
К3. Механизм с двумястепенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
К4. Определениеположенияи угловыхскоростейзвеньев механизма . . 91
4 Содержание
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
К5. Угловые ускорения звеньев механизма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Глава 3. Динамика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
Д1. Дифференциальное уравнение движения точки . . . . . . . . . . . . . .106
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
Примерырешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Д2. Кинетическая энергиясистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Д3. Принцип возможныхперемещений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Д4. Уравнение Лагранжа 2-го рода для механических систем с одной
степенью свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Примерырешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Д5. Уравнение Лагранжа 2-го рода для механических систем с двумя
степенямисвободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
Д6. Функция Рауса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209
Условия задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Примеррешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Глава 4. Maple-программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1. Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2. Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
3. Статические инварианты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
4. Набор стандартныхпроцедурдля рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . .228
5. Многозвенныймеханизм. Анимация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
6. Уравнения трех угловыхускорений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
7. Уравнение Лагранжа 2-го рода для механических систем с двумя
степенямисвободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
8. Кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
9. Функция Рауса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
Списоклитературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
Предметныйи именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Предисловие
В сборнике приведены экзаменационные задачи по статике, ки-
нематике и динамике. Каждая из задач имеет по 30 вариантов с
ответами. Особенностью сборника является то, что все задачи имеют
либо целые ответы, либо ответом является формула или уравнение. С
однойстороны,этоупрощаетматематическуючастьрешения,оставляя
без изменения содержательную сторону задачи, с другой — указывает
учащемуся на возможную ошибку в том случае, когда его решение
приводит к вещественной или рациональной форме ответа.
В задачах С1–С4 надо найти реакции опор плоской составной
конструкции.Почтиво всех этихзадачахрешениесводитсякрешению
системы линейных уравнений. Правильный выбор уравнений равнове-
сия позволяет уменьшить порядок этой системы.
В задачеС5 наопределениеусловияравновесиясистемытел с уче-
том трения качения делается предположение, что коэффициент трения
скольжения достаточно велик и проскальзывания не произойдет.
Для расчета фермы в задаче С6 предлагается несколько методов
решения, некоторые из которых заимствованы из строительной меха-
ники [20]. Учащийся может выбрать один из них, используя другие в
качестве проверки.
Задачи С7, С8 пространственной статики даны на известные темы
теоретической механики — определение реакций опор пространствен-
ной конструкции и нахождение инварианта системы сил.
Все задачи кинематики, представленные в сборнике, посвящены
одной теме — определению скоростей и ускорений точек тела при
плоском движении.
Задачи динамики точки Д1, задачи на составление уравнения Ла-
гранжа 2-го рода Д4 и определение функции Рауса Д6 имеют анали-
тическую форму решения. Задача Д4 является основной в сборнике,
она содержит 264 варианта. Экзаменационный билет в МЭИ(ТУ) по
курсу теоретической механики обычно включает в себя такую задачу.
В сборнике приведены решения десяти наиболее трудных вариантов,
включая задачу о моноцикле (с. 199). Для решения используется
удобный и наглядный метод кинематических графов [18]. Некоторые
задачи содержат краткие ответы (кинетическая энергия и обобщенная
сила).ЧетыреаналогичныезадачинасоставлениеуравненияЛагранжа
разобраны в Решебнике [12].
В задачах Д5 предлагаются простые системы с двумя степенями
свободы. Выбор обобщенных координат предоставляется учащемуся.
6 Предисловие
Задачи сборника могут быть использованы на экзаменах и зачетах,
при подготовке к контрольным работам и в дистанционном обучении.
В последней главе содержатся программы для Maple 11, облегча-
ющие решение задач и дающие иллюстративный материал к услови-
ям в виде рисунков, графиков и анимированных изображений. Даны
рекомендации по программированию в системе Maple. Большая часть
программ работоспособна в более ранних версиях Maple, а использу-
емые алгоритмы могут переноситься и на другие системы (Mathcad,
Mathematica, MATLAB).
Автор будет благодарен всем приславшим свои замечания о
книге: [email protected].
Глава 1
СТАТИКА
Статика — один из трех основных разделов теоретической механи-
ки. В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства
систем сил, необязательно находящихся в равновесии. В сборнике
приведены четыре типа задач статики — задачи на плоские составные
конструкции С1–С4, трение качения С5, ферма С6 и задачи простран-
ственной статики С7 и С8. Как и во всех задачах сборника, эти задачи
имеют целые ответы, однако промежуточные ответы могут быть и не
целые.Так,взадачеофермеусилиявнекоторыхстержняхвыражаются
вещественными числами.
Для решения задач статики потребуются понятия проекции силы
на ось и момента силы относительно точки и оси. Напомним, что
проекция вектора силы F(cid:2) на ось x определяется по формуле Fx =
= Fcosα, где α — угол между положительным направлением оси и
вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол
острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная.
Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна
нулю. Проекция силы, параллельной оси, равна F, если сила и ось
направлены в одну сторону (α = 0), и −F, если — в разные стороны
(α=180◦).
Общее определение момента M(cid:2)O силы F(cid:2) относительно точки O
дается векторным произведением 1
M(cid:2)O(F(cid:2))=(cid:2)r0×F(cid:2), (1)
где (cid:2)r0 — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно
точки O. Модуль момента вычисляем по формуле MO(F(cid:2)) = r0F sinγ,
где γ — угол между векторами (cid:2)r0 и F(cid:2). Направление вектора момента
вычисляется по правилу векторного произведения. Плечо h силы от-
носительно точки O — это кратчайшее расстояние от точки до линии
действия силы; h=r0sinγ.
Вектор момента перпендикулярен плоскости, в которой распо-
лагаются силы. Поэтому в задачах статики плоской системы сил
момент можно рассматривать как скалярную величину — величину
проекции вектора момента на нормаль к плоскости (ось z). Индекс z
для сокращения записи часто опускают и отождествляют моментсилы
1Векторное произведение иногдаобозначаетсяскобками [(cid:2)r0,F(cid:2)].
8 Статика Глава 1
MO относительноточки на плоскостисо скалярнойвеличиной— MOz.
Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы
относительно точки в плоских задачах статики. Для вычисления
момента силы относительно точки O (рис. 1) сначала находим
проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле
MOz(F) = −Fx · y0 + Fy · x0. Другой способ вычисления момента:
MOz(F) = ±Fh, где h — плечо силы относительно точки O.
y y
(cid:2)Fy (cid:3)F(cid:2) (cid:2) (cid:3)F(cid:2) (cid:2)z (cid:4)F(cid:2)
α
y0 γ (cid:2) Fx (cid:3)
(cid:2)r0 (cid:3)x h (cid:3)x n h F(cid:2)n
O x0 O
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила
поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент
отрицательный, против часовой стрелки — положительный. На рис. 2
момент силы F(cid:2) относительно точки O отрицательный. Если сила или
линияеедействияпересекаетточку,томоментсилыотносительноэтой
точки равен нулю.
ПрирешениизадачпространственнойстатикиС7,с.59,–требуется
вычислять момент силы относительно оси, или, что то же, проекцию
момента силы относительно точки (1) на ось, проходящую через нее.
Иногда эту величину удобнее искать как момент проекции F(cid:2)n силы
на плоскость, перпендикулярнуюоси, относительно точки пересечения
оси с плоскостью (рис. 3). Знак определяем по направлению вращения
вокругосисточкизрениянаблюдателя,находящегосянаконцеоси.Ес-
ливращениепроисходитпочасовойстрелке,томоментотрицательный,
противчасовойстрелки—положительный.Моментсилыотносительно
осиравеннулю,еслисилапараллельнаосиилипересекаетее,т.е.,если
сила и ось лежат в одной плоскости.
Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — это
совокупность двух равных параллельных противоположно направлен-
ных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил
относительно некоторой точки. Легко показать, что положение точки
не существенно и на момент не влияет, поэтому момент пары является
свободным вектором. Напомним, что вектор силы является вектором
скользящим 1. В зависимости от знака момента пары на плоскости
изображать пару будем изогнутой стрелкой (cid:2)(cid:2)(cid:3)или (cid:2)(cid:3)(cid:2). Вектор па-
1Изложениеосновныхтеоремстатикивтерминахскользящихвекторовдано
в учебнике Ю.Ф.Голубева[7].
Статика 9
ры перпендикулярен ее плоскости. Для решения задач о равновесии
тел или системы тел необходимо выделить тело, равновесие которого
изучается. Связи заменяем их реакциями. Основные виды связей в
плоских задачах и их реакции даны в таблице 1.
Подвижная опора имеет од- Таблица 1
ну реакцию, перпендикулярную
плоскости опоры (первые две A (cid:2)YA
строки таблицы — опора A). В
условиях задач предполагается, (cid:2)YA
A
что все cвязи двусторонние, т.е.
предусмотрено некоторое ограни- B (cid:2)(cid:3)YB
XB
чение (на рисунке не показано),
(cid:4)(cid:2)Y(cid:5)C
не позволяющее подвижным опо- C MC(cid:4)(cid:3)XC
рам отрываться от поверхности.
Неподвижный шарнир B име- (cid:4)(cid:2)Y(cid:5)C
ет две реакции, заделка C — C MC(cid:4)(cid:3)XC
три,включаяреактивныймомент.
Направлятьнеизвестныереакции MD(cid:5) (cid:4)(cid:2)YD
лучше в положительном направ- D (cid:5)(cid:6)(cid:4)YD(cid:3)(cid:7)MD
лении соответствующей оси. Мо-
мент направляем так, чтобы он
вращал против часовой стрелки. E (cid:7)(cid:6)(cid:2)ME
При разбиении составной
конструкции по внутренней G MG(cid:3)(cid:4)(cid:7)(cid:2)YG
связи (скользящей заделке
D) к каждой из частей при-
кладываем реакции — взаимно
противоположные силы, перпендикулярные оси скольжения, и момен-
ты. Заделка с двойным скольжением E имеет только одну реакцию —
момент.ВскользящейзаделкеGвозникаетреактивныймоментисила,
перпендикулярнаянаправлению скольжения.
Программы решения трех задач статики в системе Maple 1 приве-
дены в конце книги (с. 221, 225).
Большинство задач статики сводится к решению систем линейных
уравнений.Рутиннуючастьработыпо составлениюи решениюуравне-
ний можно поручить Maple. Простейшая программа может выглядеть,
например, так:
eq1:=Xa*2.5+Ya*3.1=20:
eq2:=-Xa*1.5+Ya*10=-12.5:
solve(eq1,eq2,Xa,Ya);
1Демонстрационнуюбесплатную версию MapleVR4 можновзять поадресу
http://vuz.exponenta.ru/PDF/DNLD/MVR4DEMO.rar
10 Статика Глава 1
Записывая уравнение на компьютере,а не на бумаге, вы достигаете
сразу же нескольких целей. Во-первых, компьютер выполняет мате-
матические действия, часто весьма громоздкие. Во-вторых, уравнение
легкопоправитьисразужепересчитать,есливыошиблисьприсостав-
ленииуравненияиответнесходится.В-третьих,решениеудобноофор-
мить, распечатав его на принтере. Можно вывести график, таблицу
результатов и т.д. Текст программы для Maple легко конвертируется в
HTMLилиLaTeXиееудобновыложитьв Интернет,чтобыподелиться
решением с друзьями.
C1. Равновесие рамы
Плоская рама представляет собой твердое тело, к которому при-
ложены силы и момент. Опоры у рамы содержат три неизвестные
реакции: три силы, или две силы и момент.
Условия задач
Плоскаярамазакрепленавдвух илитрех опорах.Нараму действу-
ют вертикальная сила P(cid:2), наклонная F(cid:2) и момент M. Размеры даны в
метрах, cosα=0,8. Определить реакции опор рамы.
C1.1 C1.2
α
M(cid:4)(cid:4)(cid:5)P(cid:2) (cid:5) (cid:6)α B 2 M(cid:4)(cid:4)(cid:5) P(cid:2) (cid:5) (cid:6)F(cid:2) B3
F(cid:2)
2 2
A A
3 9 4 7
F =5 кН, P =2 кН, M =6 кНм. F =20 кН, P =3 кН, M =6 кНм.
C1.3 C1.4
α (cid:4)
M(cid:4)(cid:4)(cid:5) P(cid:2) (cid:5) F(cid:2) B 3 M(cid:4)(cid:5) P(cid:2) (cid:5) 3
(cid:4)
3 α (cid:4)
A F(cid:2) 2
A
3 7 4 6
F =50 кН, P =1 кН, M =3 кНм. F =15 кН, P =2 кН, M =4 кНм.
