Mantık Muharrem Şahin 1.1

35 Pages·2011·0.54 MB·Turkish

Mantık Muharrem Şahin
1.1 – Mantık Nedir? Çıkarımların geçerliliğini denetleme yollarını bil-
mediğiniz şu anda, sizce aşağıdaki çıkarımlardan
hangileri geçerlidir? Geçersiz bulduklarınızı hangi
Etkinlik – 1.1 gerekçelerle geçersiz sayıyorsunuz? Tartışınız.

Sözlüğünüzden, aşağıda verilen sözcüklerin
anlamlarını öğreniniz. Sözlüğe baktıktan sonra bu
a. 3 ile 5 birer asal sayı olup toplamı çifttir.
sözcüklerin anlamları ile ilgili düşünceleriniz
O hâlde, iki asal sayının toplamı çifttir.
değişti mi?
b. Çift iki doğal sayının çarpımı çift olduğuna
Sözcüklerin anlamları üzerinde tartışınız. göre, tek iki doğal sayının çarpımı tektir.
a. Doğru b. Yanlış c. Tanım c. Tanıdığım her Rize’li iyi insandı.
d. Kavram e. Yargı f. Çıkarım Rize’liler iyi insanlardır.

d. Çalışan kazanır.

Kazandıysa çalışmıştır.
Mantık doğru yargılar yapmayı öğreten bilimdir.
Doğru yargılar, doğru düşünce ve davranışlara e. Ünye’liler cömerttir.
temel oluştururlar. Yargıların aktarılmasında en Ayşe Ünye’lidir.
önemli aracın sözcükler olduğu dikkate alınırsa, Öyleyse, Ayşe cömerttir.
kullanılan sözcüklerin anlamlarının iyi bilinmesinin f. Ünye’liler cömerttir.
ne derece önemli olduğu anlaşılır. Nazlı da cömerttir.
Öyleyse, Nazlı Ünye’lidir.
Etkinlik – 1.2 g. Ünye’liler cömerttir.
Zeynep cömert değildir.
“Ali kalem kutusundaki kurşun kalemlerden
Öyleyse, Zeynep Ünye’li değildir.
3’ünü almış; uçlarının açık olmadığını görünce
kutuya geri koymuştur.” h. Ünye’liler cömerttir.
Soner Ünye’li değildir.
Yukarıda anlatılanların doğru olduğunu varsaya-
Öyleyse, Soner cömert değildir.
rak, kutudaki kalemlerle ilgili aşağıdaki yargıların

doğruluğunu tartışınız.
Doğru düşünme konusunda henüz bilimsel bir
a. Kutuda açık uçlu kalem yoktur. birikiminizin olmamasına karşın, yukarıda verilen
b. Kutuda açık uçlu kalem vardır. çıkarımlardan hangilerinin geçerli, hangilerinin
geçersiz olduklarını bulmuşsunuz-dur. Demek ki,
c. Kutuda, uçları açık olmayan kalemlerin sayısı
doğru düşünme yeteneği insanın doğasında
3’tür.
vardır. Bununla birlikte doğru düşünmenin derli
d. Kutudaki kalemlerden en az 3’ünün uçları açık
toplu kurallarının konulmasının gerektiğini de
değildir.
sezmişsinizdir.

İşte mantık biliminde bu yapılır.
Etkinlik – 1.3
Mantık, doğru düşünmenin – doğru çıkarımlar
Eldeki yargılardan sonuç çıkarma işlemine
yapmanın, yapılan çıkarımların doğruluğunu
çıkarım denir. Eldeki yargılara öncül adı
denetlemenin – kurallarını koyan bilim dalıdır.
verilir. Örneğin;
Doğru düşünme yeteneği insanın doğasında var
“Çalışmayan sınıfını geçemez.
olduğuna göre, doğru düşünme kurallarını ilk
Yiğit çalışıyor. insanların da uyguladıklarını söyleyebiliriz. Bu-
nunla birlikte, bu kuralları sistemli bir biçimde ilk
O halde; Yiğit sınıfını geçer.”
kez ortaya koyan – ya da derleyip toparlayan- İlk
bir çıkarımdır. Bu çıkarımda ilk iki yargı Çağ’ın Yunan filozoflarından Aristo’dur. Aristo,
öncül, son yargı sonuçtur. sizin Etkinlik-1.3’te incelediğiniz türden
çıkarımları konu edinmiştir. O’nun koyduğu
Mantıkta, çıkarımların geçerliliğini denetleme
kurallar bütünü günümüzde klasik mantık diye
(çıkarımların doğru olup olmadığını belirleme)
bilinir.
yollarını öğreneceksiniz.
1
Mantık Muharrem Şahin
mantıkta sözcüklerin veya sözlerin yerine
Mantık ve Dil sembollerin kullanılması ile çözümlenmiştir.
Aristo da zaman zaman sembol kullanmıştır.
“Mantık” sözcüğü Arapça kökenli olup “konuşma, Ancak mantıkta ve matematikte sembolik
dile getirme” anlamına gelen “nutuk” sözcüğünden evrensel bir dil oluşturma çabaları Alman filozofu
türetilmiştir. Bu isim bile mantık ile dilin nasıl sıkı G.W. Leibniz (1646–1716) ile başlar. Leibniz’in
sıkıya bağlı olduklarını anlatmaya yeter.
çalışmaları bugünkü bilgisayar biliminin de
Gerçekten, düşüncelerin belirtilmesinde en önem-
temelini oluşturur.
li araç dildir. Bununla birlikte, yargıların doğru
aktarılmasını sağlamada sözler zaman zaman Matematiksel mantık veya sembolik mantık diye
yetersiz kalabilir. Sözlerle belirtilen düşünceler de adlandırılan bugünkü modern mantığın
sözlerin söyleniş biçiminden, sözcüklere değişik kurucuları, Leibniz’in açtığı yolda çalışmalar
kişilerce değişik anlamlar yüklenmesinden
yapan İngiliz matematikçi ve mantıkçı G. Boole
etkilenebilir.
(1815–1864) ile Alman matematikçi ve mantıkçı

G. Frege (1848–1925) dir.

Etkinlik – 1.4 İngiliz filozof ve matematikçileri A.N. Whitehead
(1861–1937) ve B. Russell (1972–1970) da
Aşağıdaki cümlelerin her biri iki anlama gele-
mantık bilimini geliştirerek tüm matematiği
bilir. Gerekli değişiklikleri yaparak, bu cümleleri
mantığa indirgeyen çalışmalar yapmışlardır.
yalnız bir anlama gelen biçimlere dönüştürünüz.
Bugün sembolik mantık doğru düşünmenin
a. Bu gece gezintileri onu yordu.
bilimi olmasının yanında matematiğin de dili
b. İpek iki kulplu tencere satın almış.
durumundadır.
c. Ülkü teyzesiyle oynasın.

d. Çocuk kitabı okuyor.

Terim, Tanımsız Terim
Etkinlik – 1.5

“Çalışırsan kazanırsın.” cümlesini öyle bir Etkinlik – 1.7
vurgulama ile söyleyiniz ki, “Ancak çalışırsan
kazanırsın.” anlamına gelsin. Aşağıdaki sözcüklerin günlük dildeki anlamları
ile matematikteki anlamlarını açıklayınız.

Etkinlik – 1.6 a. Nokta b. Doğru c. Daire

Alper, “Temmuzda Bodrum’a veya Fethiye’ye d. Işın e. Küp f. Küme

gideceğim.” demişse, sizce aşağıdakilerden han-
gisini anlatmak istemiştir? Etkinlik – 1.8

a. “Temmuzda ya Bodrum’a ya da Fethiye’ye Matematikte, günlük konuşma dilindeki anlamla-
gideceğim.”
rından başka özel anlamlar yüklenerek kullanılan
b. “Temmuzda ya Bodrum’a ya Fethiye’ye ya da sözcüklere örnekler veriniz.
hem Bodrum’a hem de Fethiye’ye gideceğim.”

Aynı dili konuşan insanların bile sözlerle aktarı- Tanım – 1.1
lan yargıları nasıl farklı algılayabileceği ortada
Bir bilim dalında, o bilim dalına özgü kavram-
iken bir de, bir dilde yapılan çıkarımların başka
lara ad olarak getirilmiş sözcüklere veya sözlere
bir dile çevrildiğini düşününüz. Sözcüklerin diğer
o bilim dalının terimleri denir.
dildeki tam karşılıklarını bulmada büyük sorunlar
yaşanabilecektir. Oysa, çıkarımlar dil ve kültür
farklılıklarından etkilenmemelidir. Bütün bunlar, Bir terim günlük konuşma dilinden alınmış bir
yargıları açık ve kesin olarak aktaracak evrensel sözcük olabileceği gibi, yalnız o bilim dalında
bir dilin gerekliliğini ortaya koymuştur. Bu sorun, geçerli bir anlamı olan bir sözcük de olabilir.
Günlük dildeki bir sözcüğün bir bilim dalında bir
2
Mantık Muharrem Şahin
kavrama karşılık getirilmesi, doğal olarak bu kav- Tanım – 1.2
ramla o sözcüğün anlamı arasında bir benzerlik
Doğru ya da yanlış bir yargı (hüküm) bildiren
kurulması sonucu olur. Matematikteki nokta ile
ifadeye önerme denir.
“bilet satış noktası”ndaki noktayı; matematikteki
ışın ile “ışık ışınları”ndaki ışını düşününüz. Aynı
benzerlikler kurularak, bir bilim dalında anlamı Örneğin;
olan bir terim de zamanla günlük dilde kullanılan “Kızılırmak Karadeniz’e dökülür.”;
bir sözcük durumuna gelebilir.
“237”
Bir terimin anlamının açıklanmasına o terimin ifadeleri birer önermedir. Bunlardan birincisi
tanımlanması denir. Bir terimi tanımlamak için doğru, ikincisi yanlış bir yargı bildirir.
başka terimleri kullanırız. Örneğin; matematikte

“açı” terimi, “Başlangıç noktaları aynı olan iki
ışının birleşimidir.” biçiminde tanımlanır. Bu  Önermeler p, q, r, … gibi küçük harflerle
tanımda geçen “nokta”, “ışın”, “birleşim” terimleri gösterilirler.
önceden tanımlanmış olmalıdır. Burada karşımıza
 Doğru ve yanlış nitelemelerine önermenin
bir sorun çıkar. Her terimi tanımlanmış terimlerle
doğruluk değerleri adı verilir.
tanımlamaya kalkışırsak, elimizde tanımlanmış
terim kalmaz. Bu yüzden bazı temel kavramları Bir önermenin doğru olması durumu D harfi
tanımsız terimlerle adlandırma zorunluluğu ya da 1 rakamı ile; yanlış olması durumu Y
vardır. Tanımsız olarak alınan terimler, sözler harfi ya da 0 rakamı ile belirtilir.
veya şekillerle mümkün olduğu kadar açıklanır;
Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği
bunların algılanması sezgiye bırakılır.
tabloya doğruluk tablosu denir.
Nokta, doğru, düzlem, küme, değişken,
 p doğru bir önermeyi, q yanlış bir önermeyi, r
eşitlik terimleri matematikteki tanımsız terimler-
doğruluğu ya da yanlışlığı belirtilmeyen bir
den bazılarıdır.
önermeyi gösteriyorsa, bunların doğruluk

tabloları aşağıdaki gibi olur.

1.2 – Önermeler Mantığı
p p q q r r
ya da ; ya da ; ya da
D 1 Y 0 D 1
Y 0
1.2.1 – Önermenin Tanımı

 Doğruluk değerleri belirtilmeyen p p q
Etkinlik – 1.9 ve q gibi iki önermeden p doğru iken
1 1

q doğru ya da yanlış; p yanlış iken q
Aşağıdaki ifadelerden hangileri için doğru, 1 0
yine doğru ya da yanlış olabilir. O
hangileri için yanlış diyebilirsiniz?
0 1
hâlde, iki önermenin birlikte doğru-
a. İki kere iki dört etmez. luk değerleri yandaki gibidir. 0 0
b. 1 ile 3’ün toplamı 5’ten küçüktür.

c. 3426
d. Kitap en iyi arkadaştır.

e. Zeynep çok akıllıdır.
Etkinlik – 1.10
f. Bu şarkı harika.
a. Üç önermenin doğruluk değerleri kaç değişik
g. Kaç yaşındasın?
durumda olabilir? Bu durumları doğruluk tablo-
h. Günaydın. sunda gösteriniz.
i. Ders çalışırken masanızda bir sözlük bulun- b. Dört önermenin doğruluk değerleri kaç deği-
durunuz. şik durumda olabilir? Bu durumları doğruluk tab-
losunda gösteriniz.
j. Sözlük ve ansiklopedi kullanmanız, çalışma-
c. n önermenin doğruluk değerleri kaç değişik
nızın verimliliğini arttırır.
durumda olabilir?
3
Mantık Muharrem Şahin
 Bazı önermelerin doğruluk değeri belli bir Ancak; mantık biliminin dil, din, kültür ve ırk
yorumlama yapılmazsa belirsizdir. Örneğin, farklılıklarından etkilenmemesi gerektiği düşü-
“Ali Can’dan uzun boyludur.” önermesine ilk nülürse, bu tür önermelerin mantıkta ele alın-
bakışta “doğrudur” ya da “yanlıştır” dene- mayacağı anlaşılır. Mantıkta inceleyeceğimiz
mez. Ancak Ali ile Can’ın boyları belirtilirse bu önermeler, doğruluk değeri üzerinde herkesin
önerme doğruluk değeri kazanır. birleştiği önermeler olacaktır.

Bir önermenin doğruluk değerinin belirlenmesi

için ek bilgilerin verilmesi işlemine anlam be-
Bir Önermenin Olumsuzu
lirlemesi veya yorumlama denir. Bu durum-
da önerme tanımını genişleterek aşağıdaki gibi
yaparız: Tanım – 1.3
“Belli bir yorumlama ile bir doğruluk değeri Bir önermenin bildirdiği yargının yerine bunun
kazanan ifadelere önerme denir.” olumsuzunun konulmasıyla elde edilen önermeye
ilk önermenin olumsuzu (değili) denir.
 Polonyalı bilgin Mikolaj Kopernik (1473–1543)
16. yüzyılda,
 p önermesinin olumsuzu p ile p p
“Dünya, Güneş’in etrafında dönüyor.”
gösterilir.
1 0
demiştir. O günlerde birkaç kişi bu önermeyi
p doğru ise p yanlış; p yanlış ise 0 1
doğru diye nitelerken, bunların dışındaki
p doğrudur.
herkes yanlış diye niteliyordu.

Bir sözün kimilerince doğru, kimilerince yanlış Örnekleri inceleyiniz:
sayılması, o sözün önerme olup olmadığını
p : 15 asal sayıdır. (0)
belirlemek için bir ölçüt değildir. Dünya,
Güneş’in etrafında ya dönüyordur ya da p : 15 asal sayı değildir. (1)
dönmüyordur. Kopernik’in sözü ya doğrudur ya q : Ünye Karadeniz bölgesindedir. (1)
da yanlıştır. Öyleyse bu söz bir önermedir.
q : Ünye Karadeniz bölgesinde değildir. (0)
Bazı önermelerin doğruluk değerini belirlemek r : 23427 (1)
için gözlemler ve deneyler yapmak gereke-
r : 23427 (0)
bilir.
t : Her kuş uçar. (0)*
 Bir sözün önerme olması için nesnel bir yargı t : Her kuşun uçtuğu doğru değildir. (1)
taşıması gerekir. Örneğin;

“Ayşegül’ü seviyorum.”
(*) “Her kuş uçar.” önermesi ile bunun olumsuzunu
türünden öznel bir yargı taşıyan söze “doğru” niceleyiciler mantığı bölümünde yeniden ele alacağız.
ya da “yanlış” diyemezsiniz.

 “Ali’nin çalışırsa sınıfını geçeceği doğru ve

Ali’nin sınıfını geçtiği doğru ise Ali çalışmıştır.”
İki önermenin denkliği
türünden bir önermenin doğruluk değeri bir
mantık hesabı ile belirlenir. Bunu ilerdeki
sayfalarımızda yapacağız. Tanım – 1.4
 “Son peygamber Hz. Muhammet’tir.”. Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk
önermeler denir.
önermesini müslümanlar doğru, müslüman
olmayanlar yanlış kabul eder.
p önermesi q önermesine denk ise pq
“20. yüzyılın en büyük devlet adamı K.
biçiminde; değilse pq biçiminde gösterilir.
Atatürk’tür.”

önermesi de aynı türden bir önermedir.
4
Mantık Muharrem Şahin
Örneğin; p, q, r, s önermeleri 1.2.2 – Bileşik önermeler
p : Ay Dünya’dan küçüktür. (1)
q : 235 (0) Etkinlik – 1.15

r : Bir hafta 7 gündür. (1) Aşağıdaki önermeleri inceleyiniz. Bu önermeleri
s : Ankara bir başkent değildir. (0) daha basit önermelere ayırabiliyor musunuz?
olarak verilirse, a. Alper ve Murat müdürle görüştü.
b. Alper ile Murat müdürle görüştü.
pq, qs ve pq olur.
c. Alper veya Murat müdürle görüştü.
Etkinlik – 1.11 d. Alper müdürle görüştü ise Murat da görüş-
müştür.
Etkinlik–1.9’da verilen ifadelerden hangileri
e. Ancak ve ancak Alper müdürle görüştü ise
önermedir? Önerme olanların olumsuzlarını
Murat da görüşmüştür.
yazınız.
Etkinlik – 1.12 f. Alper’in müdürle görüştüğü doğru değildir.

Aşağıda verilen ifadelerden hangileri önermedir?
Önerme olanların olumsuzlarını yazınız. Denk Tanım – 1.5
olan önermeler varsa belirtiniz.
Bir veya daha fazla önermeden yeni önermeler
a. Her gün süt içerim. elde etmek için kullanılan ve, veya, ise, değil,
ancak ve ancak … ise gibi sözcük ya da sözcük
b. Yarın İstanbul’a kar yağacak.
gruplarına önerme eklemi denir.
c. Terimlerin tanımlarını öğrenmeliyim.

d. Beşiktaş Ankara’nın ilçesidir.
Günlük dilde önerme eklemi olarak kullanılan
e. CO CO
2 2 sözcükler genellikle çok anlamlı olduğu gibi, aynı
f. Bu problem böyle mi çözülür?
eklem için farklı sözcükler de kullanılır. Bu
g. 1262327 durumdan doğabilecek çok anlamlılığı önlemek
h. Fatih Sultan Mehmet ceylân eti yedi. için mantıkta önerme eklemi olarak tek anlamlı
özel semboller kullanılır.
i. Meltem derslerini dikkatle izlemelidir.
j. Alper çok akıllıdır. Mantıkta Tanım–1.5’te verilenlerden başka
önerme eklemleri de kullanılır. Ancak matematik-
k. Erol dün okula gitmemiş.
te burada verilenler yeterli olacağı için biz sadece
l. 6282 102 olduğu doğru değildir. bu eklemlerden söz edeceğiz.
m. Murat’ın başkan olmasını öneriyorum.
n. Murat’ın başkan olmasını önerdim. Tanım – 1.6
o. Bu etkinlikteki her önerme yanlıştır. Önerme eklemleri kullanılarak elde edilen yeni
p. Bu etkinlikteki her önerme doğrudur. önermelere bileşik önermeler; bir bileşik öner-
meyi oluşturan önermelere de bu bileşik önermenin
Etkinlik – 1.13 bileşenleri denir. Bileşenlerine ayrılamayan
önermelere basit önermeler adı verilir.
Bir önermenin olumsuzunun p p p
olumsuzu kendisine denktir.
1 Örneğin,
Yandaki tabloyu tamamlayarak
0
p p olduğunu gösteriniz. 1 “Arda evde değildir.”;
2 “Arda ve Yüksel evdedirler.”;

Etkinlik – 1.14 3 “Arda veya Yüksel evdedirler”;

4 “Arda evde ise Yüksel evdedir.”;
Önerme olan ve önerme olmayan ifadeler yazınız.
Bunlardan önerme olanlarının olumsuzlarını da 5 “Ancak ve ancak Arda evde ise Yüksel
yazınız. evdedir.”;

5
Mantık Muharrem Şahin
önermeleri birer bileşik önermedir. Bu bileşik Aksiyom – 1.2
önermeleri oluşturan,
p ve q birer önerme,  önerme eklemi olduğuna
p: “Arda evdedir.” ile göre pq önermesinin doğruluk tablosu
aşağıdaki gibidir.
q: “Yüksel evdedir.”

önermeleri birer basit önermedir. p q pq q
Mantıkta ve eklemi yerine “” sembolü; veya 1 1 1  1 0
eklemi yerine “” sembolü kullanılır. Buna göre, 1 0 1 p 1 1 1

2 önermesi pq biçiminde; 0 1 1 0 1 0

0 0 0
3 önermesi pq biçiminde gösterilir.

1 önermesinin p biçiminde gösterildiğini
biliyorsunuz.
Tabloda görüldüğü gibi; pq önermesi bileşen-
4 ve 5 önermelerini koşullu önermeler başlığı lerinin her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer
altında inceleyeceğiz. durumlarda doğrudur.

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri “” ve “” işlemlerinin özelikleri
Mantıkta; “” ve “” eklemlerine, hemen hemen a ve b gibi iki sayı arasına “” işareti koyarak
günlük dildeki anlamları yüklenerek, pq ve ab sayısını elde ederiz. Burada “” işareti
pq önermelerinin aşağıda verilen doğruluk toplama işlemini “ab” de toplamı gösterir.
değerleri aksiyom olarak alınmıştır.
p ve q gibi iki önermeden önerme eklemleri
Doğru olarak kabul edilen önermeye aksiyom; kullanarak bir bileşik önerme elde etme eylemi de
doğru bir yargılama ile doğruluğunun gösterilmesi bir işlem yapmadır.
gereken önermeye teorem denildiğini şimdiden
Bu yaklaşımla;
söyleyelim.
 “” sembolü ile gösterilen işleme

kesişme işlemi,
Aksiyom – 1.1 pq önermesine kesişim;
p ve q birer önerme,  önerme eklemi olduğuna  “” sembolü ile gösterilen işleme
göre pq önermesinin doğruluk tablosu birleşme işlemi,
aşağıdaki gibidir.
pq önermesine birleşim;

p q pq q  ... sembolü ile gösterilen işleme
1 1 1  1 0 değilleme işlemi,
1 0 0 p 1 1 0 ... önermesine … nin değili denir.

0 1 0 0 0 0
Biz kesişme işlemine kısaca “ işlemi”,

0 0 0 birleşme işlemine “ işlemi” diyeceğiz.

Tabloda görüldüğü gibi; pq önermesi bileşen-
lerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer
durumlarda yanlıştır.
6
Mantık Muharrem Şahin
Tek kuvvet özeliği Etkinlik – 1.18

a. Aşağıdaki doğruluk tablosunu tamamlayarak
Teorem – 1.1 pqrpqr olduğunu gösteriniz.
p bir önerme olduğuna göre, aşağıdaki
p q r pq qr pqr pqr
denklikler geçerlidir.
1 1 1
a. ppp ( işleminin tek kuvvet özeliği)
1 1 0
b. ppp ( işleminin tek kuvvet özeliği) 1 0 1
1 0 0
Etkinlik – 1.16 0 1 1
0 1 0
a. Yandaki doğruluk tablosunu p p pp
tamamlayarak ppp 0 0 1
1 1
olduğunu gösteriniz. 0 0 0
0 0

b. Doğruluk tablosu yardımıyla
b. Doğruluk tablosu yardımıyla ppp
pqrpqr olduğunu gösteriniz.
olduğunu gösteriniz.

 Teorem–1.3’e dayanılarak, art arda  işlem-
Değişme özeliği leri ile art arda  işlemleri arasındaki
parantezler atılabilir:
Teorem – 1.2 pqrpqr ve
p ile q birer önerme olduğuna göre, aşağıdaki pqr pqr gibi.
denklikler geçerlidir.
 “” ve “” işlemlerinin hem değişme hem de
a. pqqp (’nin değişme özeliği)
birleşme özelikleri olduğundan, aşağıdaki
b. pqqp (’nın değişme özeliği) denklikler geçerlidir:
1 pqr prqqpr rpq...
Etkinlik – 1.17
2 pqr prqqpr rpq...

a. Yandaki doğruluk p q pq qp
tablosunu 1 1

tamamlayarak
1 0 Dağılma özeliği
pqqp olduğunu
0 1
gösteriniz.
0 0 Teorem – 1.4
b. Doğruluk tablosu
p, q ve r birer önerme olduğuna göre, aşağıdaki
yardımıyla pqqp olduğunu gösteriniz.
denklikler geçerlidir.

a. pqrpqpr
(’nin  üzerine soldan dağılma özeliği)
Birleşme özeliği
b. pqrpqpr
(’nın  üzerine soldan dağılma özeliği)
Teorem – 1.3
p, q ve r birer önerme olduğuna göre, aşağıdaki c. pqrprqr
denklikler geçerlidir. (’nın  üzerine soldan dağılma özeliği)
a. pqrpqr (’nin birleşme özeliği) d. pqrprqr
b. pqrpqr (’nın birleşme özeliği) (’nin  üzerine soldan dağılma özeliği)
7
Mantık Muharrem Şahin
Etkinlik – 1.19
Örnek – 1.1
Doğruluk tablosu yardımıyla,

pqqr 0olduğuna göre,
a. pqrpqpr
olduğunu gösteriniz. s pqpqpqr
   
b. pqrpqpr
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
olduğunu gösteriniz.
Çözüm

pqqr 0 ise

pq 0 ve qr 0 olur.
Kesişim ve birleşimin değilleri
Bu denkliklerden
pq1 ve qr 1 olduğu;
Teorem – 1.5
bunlardan da,
De Morgan Teoremi
p  1, q  0, r  1 olduğu bulunur.
p ile q birer önerme olduğuna göre aşağıdaki
Bu doğruluk değerleri s önermesinde yerlerine
denklikler geçerlidir.
konulursa;
ab.. ppqq ppqq s 1010 101
 s 110110
   
Etkinlik – 1.20
 s1111

a. Aşağıdaki doğruluk tablosunu tamamlayarak
pq pq olduğunu gösteriniz.  s101
 s00
p q p q pq pq pq  s0 bulunur.
1 1
(“” işareti ise anlamında kullanılmıştır.)
1 0

0 1
0 0

b. Doğruluk tablosu yardımıyla pq pq Örnek – 1.2

olduğunu gösteriniz. p'nin doğru bir önerme olduğu bilindiğine göre,
s pqpqpqr

önermesini en sade biçimde yazınız.
Etkinlik – 1.21

“1” doğru bir önermeyi, Çözüm

“0” yanlış bir önermeyi, p1 değerini s önermesinde yerlerine koyarsak;
“p” bir önermeyi gösterdiğine göre; s 1q0q1qr
aşağıdaki denklikleri doğruluk tablosu yardımıyla  sqqqr
gösteriniz.
 sqqr (tek kuvvet özeliği)
a. p1p b. p00 c. p11
 sqqqr (dağılma özeliği)
d. p0p e. pp1 f. pp 0
 s1qr
g. ppp h. ppp
 sqr bulunur.

8
Mantık Muharrem Şahin
Örnek – 1.3 Çözüm
Aşağıdaki denkliklerin doğruluğunu gösteriniz. s pqrpq
a. ppqp  
b. pqqq  s pqrpq (De Morgan Teoremi)
 spqrpq (birleşme özeliği)
c. pqpq pq
 sqrppq (değişme özeliği)

Çözüm  sqrpppq (dağılma özeliği)

Verilen denkliklerin doğruluğu, doğruluk tablo-  sqr1pq
ları ile gösterilebilir. Bunu siz yapınız.
 sqrpq
Biz işlemlerin özeliklerinden yararlanacağız :
 s qrqp (birleşme ve değişme özeliği)
a. ppqpppq (dağılma özeliği)
 s qqrqp (dağılma özeliği)
 ppqppq (tek kuvvet özeliği)
elde edilir.  s 1rqp
 srqp elde edilir.
ppq önermesinde dağılma özeliği bir kere

daha kullanılırsa yeniden ppq elde edilir. Bir

kısır döngüye girilmiş olur. Başka bir yol

düşünelim.
Etkinlik – 1.22

pp0 denkliğini kullanalım:
Önerme işlemlerinin özeliklerinden yararlanarak,
ppqp0pq aşağıda verilen önermelere denk olan en sade
 ppqp0q (dağılma özeliği) önermeleri bulunuz. Doğruluk tablosu yardımıyla,
bulduğunuz denkliklerin doğruluğunu gösteriniz.
 ppqp0
a. pqp b. pqp
 ppqp bulunur.
c. pqq d. pqq

b. pqqpqq1 qq1
e. pqpq f. pqpq
 pqqpq1q (değişme özeliği)

 pqqp1q (dağılma özeliği)

 pqq1q
 pqqq bulunur.
Etkinlik – 1.23
c. s pqpqdiyelim. p qqr doğru bir önerme olduğuna göre,
 s ppqpq (dağılma özeliği) pr önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

 s 1qpq
 sqpq
 sqqpq (dağılma özeliği)
Etkinlik – 1.24
 s0pq

pqq1 ise, pq önermesinin doğruluk
 spq bulunur.
değerini bulunuz.

Örnek – 1.4

s pqrpq
 
önermesini en sade biçimde yazınız.
9
Mantık Muharrem Şahin
1.2.3 – Koşullu önermeler adı verilir. Hipotez hükmün yeterli koşulu;
hüküm hipotezin gerekli koşuludur.
Etkinlik – 1.25 Buna göre, pq önermesi,

A okulu ile B okulu futbol maçı yapacaklardır. A  “q için p yeterlidir.” ya da
takımındaki Volkan’ın, sakatlığı nedeniyle maç  “p için q gereklidir.”
kadrosuna girmesi şüphelidir. A okulundan Sezen
biçimlerinde de ifade edilebilir.
arkadaşlarına, “Volkan oynarsa, maçı kazanırız.“
diyor. Örneğin,
Bu önermenin, “Volkan oynayacak ise maçı  “Erol’un çalışması sınıfını geçmesi için
kazanacağız.“ anlamına geldiğine dikkat ediniz. yeterlidir.”
a. Sezen’in sözü, “Maçı kazanmamızın tek yolu  “Erol çalışırsa sınıfını geçmesi
Volkan’ın oynamasıdır.“ anlamına mı gelir? gereklidir.”
Tartışınız.
önermeleri aynı anlamı taşır.
b. Maç oynanıp bittiğinde; Volkan oynamış ve
“Erol çalışırsa sınıfını geçer.” önermesi, Erol’un
maçı A takımı kazanmış ise Sezen’in sözü
sınıfını geçmesi için tek yolun çalışması olduğu-
doğrulanmış olur mu?
nu bildirmez. “Erol çalışmaz ama başka yollarla
c. Volkan oynamış ve maçı A takımı kazanama-
da sınıfını geçebilir.“ anlamını saklı tutar.
mış ise Sezen’in sözü doğrulanmış olur mu?
Mantıkta, pq önermesinin aşağıda verilen
d. Volkan oynamamış ve maçı A takımı kazanmış
doğruluk değerleri aksiyom olarak alınmıştır.
ise Sezen’in sözü yanlış mı olur?

e. Volkan oynamamış ve maçı A takımı kazana-
mamış ise Sezen’in sözü yanlış mı olur?
f. “Volkan oynarsa A takımı maçı kazanır.“ öner- Aksiyom – 1.3
mesini, “Volkan oynayacak“ bileşenini p ile;
p ve q birer önerme,  önerme eklemi olduğuna
“A takımı maçı kazanacak.“ bileşenini q ile;
göre pq önermesinin doğruluk tablosu
ise eklemini ““ sembolü ile göstererek
aşağıdaki gibidir.
pq biçiminde sembolleştirebiliriz.

Tartışmalarınızın sonuçlarına göre, pq p q pq q
önermesinin doğruluk değerlerini aşağıdaki
1 1 1  1 0
tablolara yerleştiriniz.
1 0 0 p 1 1 0
p q pq q
0 1 1 0 1 1
1 1  1 0 0 0 1
1 0 p 1

0 1 0
Tabloda görüldüğü gibi; pq önermesi p’nin
0 0
doğru ve q’nun yanlış olması durumunda yanlış;
diğer durumlarda doğrudur.

Tanım – 1.7

p ve q gibi iki önermenin, koşul eklemi adı Etkinlik – 1.26
verilen ise sözcüğü ile birleştirilmesiyle elde
edilen bileşik önermeye koşullu önerme denir. Aşağıdaki önermelerin doğruluğunu nasıl
açıklarsınız?

a. Paris Amerika’da ise Ankara Türkiye’dedir.
 p ise q önermesi pq biçiminde gösterilir.
pq önermesinde: b. Aristo Türk ise ben otobüsüm.

 p bileşenine hipotez;

 q bileşenine hüküm
10