Table Of ContentLÆREBOK
i
MATEMATISK
ANALYSE
AV
R. TAMBS LYCHE
Professor i ren matematikk
ved Universitetet i Oslo
ANNEN DEL
FUNKSJONER AV FLERE
FRI VARIABLE
FJERDE UTGAVE
GYLDENDAL NORSK FORLAG
OSLO 1962
NB Rana
Depotbiblioteket
© Gyldendal Norsk Forlag A/S 1940 and 1953
FOLKEBOKSAMUHG
5lo
13686
FR. BAGGES KGL. HOFBOGTR YKKER1
KØBENHAVN
FORORD TIL TREDJE UTGAVE
Også i denne annen del av Matematisk analyse er en del avsnitt
revidert. I kapitel 9 er begrepet »rang« av en matrise innført for å
få en bedre gjennomført behandling av lineære likningssett. Set
ningen om den uniforme kontinuitet (nr. 160) er gitt en slik form
at innføringen av dobbeltintegral i kapitel 15 er blitt mere tilfreds
stillende.
Som i de tidligere utgaver er en rekke avsnitt satt med mindre
skrift; slike avsnitt kan forbigås uten at det bryter sammenhengen;
dog er der blant disse avsnitt også bevisene for en del setninger,
der selve setningen er nødvendig for sammenhengen.
Det er meg en glede på dette sted å takke forlaget for dets
imøtekommenhet og trykkeriet for hurtig og fortrinlig arbeide.
Oslo i april 1958.
R. Tambs Lyche,.
FORORD TIL FJERDE UTGAVE
Endringene fra tredje utgave er få. Det tilføyde avsnitt om
residuesetningen er gitt nummer 240 A for å kunne beholde den
videre nummerering uforandret.
Boulder (Colorado), februar 1962.
R. T. L.
INNHOLD
IX. Determinanter. XI. Romkurver.
125. Løsning av lineære likninger 1 148. Vektorfunksjoner..................... 64
126. Permutasjoner............................. 2 149. Tangenten til en romkurve 65
127. Matriser.......................................... 5 150. Buelengden av en romkurve 68
128. Determinanter............................. 8 151. Krumning av romkurver. . . 70
129. Setninger om determinanter 10 *152. Smygplan og hovednormal. 73
130. Utvikling av en determinant 16 *153. Torsjon......................................... 75
131. Multiplikasjon av determi *154. Frenets formler....................... 77
nanter ........................................... 19 155. Kurveintegral............................ 79
132. Pangen av en matrise............ 21 *156. Vektor integral........................... 80
133. Den cr amer ske regelen........... 23
134. Almene lineære likningssett . 25 XII. Funksjoner
av flere fri variable.
X. Vektorregning 157. Plane punktmengder.............. 83
og analytisk romgeometri. 158. Funksjoner av to fri variable 89
159. Konvergente punktfølger.. . 91
135. Kartesiske koordinater........... 31
160. Grenseverd og kontinuitet . 92
136. Vektorer...................................... . 32
161. Funksjoner av flere fri
137. Addisjon og subtraksjon av
variable..................................... 97
vektorer....................................... 34
138. Komponenter av en vektor. 35
XIII. Partielle deriverte.
139. Parallellskyving av koordinat
systemet. ..................................... 38 162. Partielle deriverte................... 99
140. Retningskoser og retningstall 39 163. Totalt differensial................... 101
141. Skalar multiplikasjon av to 164. Den deriverte av en sammen
vektorer....................................... 40 satt funksjon.......................... 103
142. Vektorproduktet........................ 45 165. Tangentplanet........................... 104
143. Det skalare tre vektorproduk 166. Paraboloider.............................. 107
tet.................................................. 49 167. Implisitte funksjoner............. 110
144. Vektorrom..................................... 52 168. Partielle deriverte av funk
145. Den rette linjen og planet. . 54 sjoner av flere variable. . . 113
*146. Dreining av koordinatsyste 169. Ellipsoiden.................................. 116
met................................. 59 170. Den enkappete hyperboloi-
*147. De eulerske vinklene................. 62 den............................................... 118
171. Den tokappete hyperboloi- 194. Dobbeltintegral over et
den. ............................................. 120 rektangel som grensen for
172. Jacobideterminanten.............. 121 en sum....................................... 169
*173. Énentydig avbilding............. 124 195. Dobbeltintegral over et om
råde Q....................................... 170
XIV. Partielle deriverte 196. Almen definisjon av dobbelt
av høyere orden. integral ....................................... 173
174. Partielle deriverte av annen 197. Anvendinger av dobbelt-
orden.......................................... 128 integralet................................... 175
175. Partielle deriverte av høyere 198. Volumberegning ved
orden.......................................... 131 dobbeltintegral....................... 177
176. Totale differensial av høyere *199. Integralformelen til Gauss . 179
orden........................................... 132 200. Integrasjon og derivasjon
177. Utviding til funksjoner av under integraltegnet............ 181
flere fri variable.................... 133 201. Integrasjon av totalt
178. Taylors formel for funksjoner differensial.............................. 189
av flere variable................... 134 *202. Innføring av nye variable. . 192
179. Elliptiske, hyperbolske og *203. Areal i krumlinjekoordinater 193
parabolske punkter på flata *204. Innføring av nye variable i
dobbeltintegral. ...... 195
........... 137
180. Ekstremalverd for funksjo *205. Arealet av krumme flate-
ner av to variable............... 139 stykker........................ 198
181. Ekstremalverd for funksjo *206. Flateintegral.............................. 203
ner av flere variable........... 141
*182. Ekstremaloppgaver med til
leggskrav................................... 142 XVI. Trippelintegral.
*183. Metoden med ,,minste kva-
207. Trippelintegralet over et
dratsum“.................... 144
parallellepiped......................... 205
*184. Krumlinjekoordinater............ 146
208. Trippelintegralet over et
*185. Tangentplan............................... 148
område....................................... 207
*186. Fundamentalstørrelsene av
209. Anvendinger av trippel
første orden.............. 149
integralet................................... 209
*187. Flateelementet.......................... 151
*210. Trippelintegral i sylinder
*188. Flatekurver. ............................. 153
koordinater ............... 211
*189. Hovedkrumningene................ 156
*211. Trippelintegral i polar
*190. Krumlinjekoordinater i
koordinater ............... 212
rommet....................... 160
*212. Integralsetningen til Stokes 214
*213. Vektorfelt.................................. 216
XV. Dobbeltintegral.
*214. Integralsetningen til Gauss i
191. Integral av en begrenset rommet........................ 221
funksjon..................................... 163 *215. Greens integralformel.......... 222
192. Integral som avhenger av en *216. Vektorpotensial....................... 223
parameter.................................. 164 *217. Innføring av nye variable i
193. Dobbeltintegral over et trippelintegral.......... 225
rektangel................................... 167 *218. Multiple integral................... 227
232. Eksponentialfunksjonen . ... 257
*XVII. Funksjoner
233. Trigonometriske funksjoner. 258
av komplekse variable.
234. Sirkulære funksjoner............ 260
219. Komplanare vektorer...... 230 235. Den almene potens-
220. Komplekse tall................... 232 funksjonen................................ 261
221. Sirkeldelingslikningen...... 234 236. Den deriverte av en holomorf
222. Funksjoner av en kompleks funksjon..................................... 262
variabel................................ 235 237. Cauchy-Taylor-rekken........... 263
223. Komplekse tallfølger og rek 238. En hjelpesetning om begren
ker med komplekse ledd. . 237 sete funksjoner....................... 265
224. Avbilding............................... 239 239. Poler og vesentlig singulære
225. Flertydige funksjoner...... 240 punkter..................................... 266
226- Fundamentalsetningen for 240. Poler og nullpunkter i et om
algebraen................. 243 råde. Hele transendente
227. Holomorfe funksjoner...... 245 funksjoner................................. 270
228. Integrasjon i det komplekse 240A. Kesiduesetningen.................. 273
område.................................. 248 241. Konform avbilding................ 278
229. Cauchys integralsetning. . . . 250 242. Konform avbilding fra en
230. Cauchy-integralet............... 253 flate til en annen................ 281
231. Den komplekse logaritmen. 255
9. kapitel
DETERMINANTER
125. Løsning av lineære likninger. — Fra algebraen vet en
hvordan en kan løse et sett av lineære likninger, når antallet av lik
ninger er det samme som antallet av ukjente. Har en n likninger
med n ukjente, kan en eliminere en av de ukjente mellom to og to
av likningene til en får n— 1 likninger med n— 1 ukjente. Fortset
ter en dette, så får en til slutt en eneste likning med 1 ukjent, som
en så kan løse. (Foreløpig ser vi da bort fra det tilfelle at likningene
er avhengig av hverandre eller står i strid med hverandre).
Er koeffisientene i likningene bestemte tallstørrelser, kan en
gjennomføre regningen uten altfor svært arbeid, dersom ikke an
tallet av likninger er for stort. Men er koeffisientene bokstavstør
relser, vil en se at det snart blir ytterst innviklet. Alt for n = 3 blir
de uttrykkene en får lite oversiktlige i det almene tilfellet.
Nå skal vi se at en kan skrive løsningen av et slikt likningssett
på en oversiktlig måte, slik at det blir mulig å utføre forskjellige
regneoperasjoner med løsningene, uten å utføre de vidtløftige reg
ningene. Det er dette som opprinnelig er formålet med de størrel
sene en kaller determinanter.
Eksempel. Likningene
a2x + b2y = c2
har løsningene
cA —atc2—
x —--------------, y —-----------— ?
a-J)2——a2^1
dersom a±b2 — a2b1=^0.
(ai ^i\
Setter en opp koeffisientene i likningene i en tabell: , kaller vi den liknings-
(7 \ \ a* b o /
al C1 \ . '
er likningssettets ,,totalmatrise“.
^2 ^2 C2/
Av disse matrisene kan en jo ta ut koeffisientene for hver av de ukjente i hver av
likningene, av den siste også tallene på likningenes høyre side. Av tallene i koeffi-
Matematisk analyse II. — 1
2 9. KAPITEL 125
sientmatrisen kan. en danne den felles nevner i formlene for x og y, nemlig
«1&2 —«2^1’ kaller denne størrelsen for likningssettets „determinant“.
Oppgaver.
a. Løs likningssettet
+
b2y+c2z = d2
a3x + c3z = d3 .
b. Vis at løsningen av likningssettet
a^ + b-^ + ^z = d±
a^x-yb^y-Yc^z = d2
a3x-\-b3y-\-c3z = d3
blir brøker som får til nevner (kanskje på fortegnet nær)
D = H~ ^1C2^3 + Cl®2^3 ^1C2^3 ^1^2C3 C1^2^'3 •
126. Permutasjoner. — Har en et antall innbyrdes ulike tegn,
t. d. tall eller bokstaver, kan en ordne dem i en rekke på ulike vis.
De tre bokstavene a, b og c kan en t. d. ordne på 6 ulike måter:
abc, acb, bac, boa, cab, cba .
Hver slik ordning kaller vi en per mutasjon av disse tegnene. Ord
ningen bca er t. d. en permutasjon av bokstavene a, b og c, og 3412
er en permutasjon av tallene, 1, 2, 3 og 4.
Det er lett å finne hvor mange innbyrdes ulike permutasjoner en kan få, om
en har n slike tegn. La oss kalle dette antallet Pn. Vi tenker oss valt ut i fleng ett
av de n tegnene og setter det på første plass. Da er det n— 1 tegn igjen å ordne på
de n— 1 plassene som er igjen, og dette kan en gjøre på Pn_r ulike måter. For hvert
av de n tegnene en setter på første plass får en altså P?l_1 ulike permutasjoner, der
for må en få Pn = nPn_1. Nå er sjølsagt Pj = 1, for ett tegn kan en bare ,,ordne“
på én måte. Og da får en P2 = 2PX =2-1, P3 = 3P2 = 3-2-1, osv. Ålment
Pn = n{n— l)(n — 2). . .2 • 1 = n! .
Vil en ordne om tegnene fra én permutasjon til en annen, kan en
åpenbart gjøre det slik at en etter hvert lar to og to tegn bytte
plass. En kan tilmed gjøre det slik at en hver gang bytter to tegn
som står ved siden av hverandre. Vil en t. d. gå over fra permuta-
sjonen cadbe til bdeca, kan en gjøre det gjennom trinnene:
cadbe, cabde, cbade. bcade, bcdae, bdcae, bdcea, bdeca ,
der de to bokstavene som hver gang blir byttet om, er strøket under.
En slik ombytting av to tegn kaller vi en transposisjon („plass-
