Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme: Algorithmen und Anwendungen

201 Pages·2005·13.94 MB·German

by  Olaf Steinbach (auth.)

Mathematik fOr Ingenieure und Naturwissenschaftler
Olaf Steinbach
Losungsverfahren
fur lineare Gleichungssysteme
Mathematik far Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Herausgegeben von
Prof. Dr. Otfried Beyer
Prof. Dr. Horst Erfurth
Prof. Dr. Christian GroBmann
Prof. Dr. Horst Kadner
Prof. Dr. Karl Manteuffel
Prof. Dr. Manfred Schneider
Prof. Dr. GOnter Zeidler
Olaf Steinbach
Losungsverfahren
fur lineare
Gleichungssysteme
Algorithmen und Anwendungen
lliI
Teubner
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Olaf Steinbach
Geboren 1967 in Rochlitz (Sachsen). Studium der Mathematik an der TU Karl-Marx-Stadt (Chemnitz),
Diplom 1992. Von 1992 bis 1996 wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universitat Stuttgart, Promotion
1996. Von 1996 bis 2003 wissenschaftlicher Assistent, 2003 bis 2004 Oberassistent am Institut fOr
Angewandte Analysis und Numerische Simulation an der Universitat Stuttgart, Habilitation 2001. Von
1998 bis 2000 langere Arbeitsaufenthalte an der University of New South Wales in Sydney, der Texas
A&M University in College Station und der University of Texas in Austin. 1m Wintersemester 2001/02
Vertretung einer C4-Professur fOr Numerische Mathematik an der TU Chemnitz, im Sommersemester
2002 Gastprofessor an der Johannes Kepler Universitat Linz, im Sommersemester 2004 Vertretung
einer C4-Professur fOr Wissenschaftliches Rechnen an der TU Dresden. Seit 1.10.2004 Professor fOr
Numerische Mathematik an der TU Graz.
E-Mail: [email protected]
Homepage: http://www.numerik.math.tu-graz.ac.at
1. Auflage Juni 2005
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Verlag 1 GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005
Lektorat: Ulrich Sandten 1 Kerstin Hoffmann
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von
jedermann benutzt werden dOrften.
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Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-519-00502-5 e-ISBN-13: 978-3-322-80080-0
DOl: 10.1007/978-3-322-80080-0
Vorwort
Dieses Lehrbuch entstand auf der Grundlage von Vorlesungen und Seminaren,
welche ich in den letzten Jahren an der Universitat Stuttgart sowie an den Tech
nischen Universitaten in Chemnitz, Dresden und in Graz gehalten habe. Es richtet
sich an Studierende der Mathematik und der Natur- und Ingenieurwissenschaf
ten. Aufbauend auf Grundlagen der Numerischen Linearen Algebra werden aIle
Verfahren und Algorithmen sorgfaltig hergeleitet und begrundet. Dabei wird ver
sucht, die mathematisch begrundeten Herleitungen moglichst einfach und leicht
nachvoIlziehbar darzustellen. Das Lehrbuch eignet sich sowohl fur eine vierstundi
ge Vorlesung als auch fUr zwei zweistundige Lehrveranstaltungen zu Iterations
verfahren und Hierarchischen Matrizen. In diesem Rahmen eignet es sich auch
als Vorlage fur Seminarveranstaltungen, wobei natiirlich auch auf Originallitera
tur zuriickgegriffen werden sollte. Selbstverstandlich bietet sich das vorliegende
Lehrbuch auch fUr ein Selbststudium an.
Die numerische Simulation naturwissenschaftlicher und ingenieurtechnischer Pro
bleme fUhrt in der Regel auf eine Folge von linearen G leichungssystemen groBer
Dimensionen. Charakteristische Beispiele hierfUr sind Gleichungssysteme, die aus
der Anwendung der Finiten Element Methode (FEM) oder einer Randelementme
thode (BEM) entstammen. Diese Diskretisierungsverfahren zahlen zu den in der
Praxis am haufigsten verwendeten Naherungsverfahren zur Losung von Rand
wertproblemen partieller Differentialgleichungen, siehe zum Beispiel die Lehr
biicher [10, 24, 31, 47, 51].
1m erst en Kapitel werden die spater benotigten Grundlagen aus der Linearen Al
gebra bereitgestellt. Neben Normen, Eigen- und Singularwerten wird besonderes
Augenmerk auf Tschebyscheff-Polynome gelegt, die eine groBe Bedeutung in der
Numerischen Mathematik besitzen. Die Interpolation und Approximation von
Funktionen mittels globaler und lokaler Polynome stellen ein einfaches Beispiel
fUr das Auftreten linearer Gleichungssysteme dar. Daneben werden einfache Dis
kretisierungen mit Finiten Elementen und Randelementen eingefUhrt. Dabei wird
sich bewuBt auf einfache eindimensionale Modellprobleme beschrankt, urn deren
charakteristischen Eigenschaften untersuchen zu konnen. In speziellen Situatio
nen konnen effiziente direkte Losungsverfahren eingesetzt werden. Ein wichtiges
Hilfsmittel hierfiir ist die schnelle Fouriertransformation, die zum Beispiel bei der
Beschreibung zirkulanter Matrizen zum Einsatz kommt.
6 Vorwort
Einen erst en Schwerpunkt des Buches stellen Iterationsverfahren zur Lasung li
nearer Gleichungssysteme dar. Ausgehend von den klassischen Iterationsverfahren
wie dem Jakobi- und dem GauB-Seidel-Verfahren werden zunachst Gradienten
verfahren betrachtet. Basierend auf der Konstruktion orthogonaler Vektorsyste
me werden Krylov-Raum-Verfahren unter einer einheitlichen Sichtweise herge
leitet. Zu nennen sind hier insbesondere das Verfahren konjugierter Gradienten
(CG), das Verfahren des verallgemeinerten minimalen Residuums (GMRES) und
das stabilisierte Gradientenverfahren biorthogonaler Richtungen (BiCGStab), die
zu den in der Praxis am meisten benutzten Lasungsverfahren geharen.
Lineare Gleichungssysteme mit Blockstruktur bilden einen zweiten Schwerpunkt
dieses Lehrbuches. Diese entstehen zum Beispiel bei der numerischen Lasung
partieller Differentialgleichungen mit Gebietszerlegungsmethoden auf Parallel
rechnern, bei der Verwendung gemischter Diskretisierungsverfahren oder bei der
Kopplung verschiedener numerischer Naherungsverfahren. Die Herausforderung
besteht dabei in der Konstruktion fast optimaler Vorkonditionierungsmatrizen,
die die Anzahl der notwendigen Iterationsschritte unabhangig von der Dimension
des linearen Gleichungssystems beschranken. Fur Block-schiefsymmetrische Sy
sterne (Sattelpunktprobleme) werden geeignete Transformationen betrachtet und
zugehOrige Vorkonditionierungsmatrizen analysiert.
AbschlieBend werden Hierarchische Matrizen zur effizienten Speicherung und An
wendung vollbesetzter Matrizen behandelt. Hierarchische Matrizen dienen der
Approximation vollbesetzter Matrizen durch Niedrig-Rang-Approximationen von
hierarchisch erzeugten Block-Matrizen. Ursprunglich fUr die Approximation der
bei Randelementmethoden auftretenden vollbesetzten Steifigkeitsmatrizen ent
wickelt, werden Hierarchische Matrizen jetzt auch zur Approximation der inver
sen Steifigkeitsmatrix der Finiten Element Methode eingesetzt. Es ist jedoch zu
bemerken, daB die Anwendungsmaglichkeiten Hierarchischer Matrizen viel weiter
als bei den hier behandelten Beispielen reicht. Deshalb wird hier versucht, Hier
archische Matrizen aus einer rein algebraischen Sichtweise und somit maglichst
allgemein einzufUhren.
Bedanken machte ich mich bei M. Jung und G. Of fUr das sorgfaltige Korrek
turlesen des Manuskripts und die vie len Hinweise zur Verbesserung des Textes.
AuBerdem danke ich Herrn J. WeiB und dem Verlag fUr die stets freundliche
Zusammenarbeit.
Graz, Juni 2005 Olaf Steinbach
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 9
1.1 Normen von Vektoren und Matrizen . 9
1.2 Eigenwerte und SinguHirwerte . . . . 16
1.3 Orthogonalisierung von Vektorsystemen . 22
1.4 Tschebyscheff-Polynome ....... . 25
2 Lineare G leichungssysteme 32
2.1 Interpolation ...... . 32
2.2 Projektionsmethoden .. . 38
2.3 Finite Element Methoden 42
2.4 Randelementmethoden 47
3 Strukturierte Matrizen 49
3.1 Schnelle Fouriertransformation . 49
3.2 Zirkulante Matrizen . . . . . . . 52
3.3 Toeplitz Matrizen . . . . . . . . 57
3.4 Niedrig-Rang-Storung regularer Matrizen 62
4 Klassische Iterationsverfahren 65
4.1 Station are Iterationsverfahren 65
4.2 Gradientenverfahren ..... 76
5 Verfahren orthogonaler Richtungen 82
5.1 Verfahren konjugierter Gradienten . 82
5.2 Verfahren des minimalen Residuums 95
5.3 Verfahren biorthogonaler Richtungen 101
6 Gleichungssysteme mit Blockstruktur 116
6.1 Symmetrische Gleichungssysteme 116
6.2 Blockschiefsymmetrische Systeme 124
6.3 Zweifache Sattelpunktprobleme 132
8 Inhaltsverzeichnis
7 Hierarchische Matrizen 135
7.1 Partitionierte Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Approximation mit Niedrigrang-Matrizen ... 145
7.2.1 Approximation symmetrischer Matrizen 145
7.2.2 Approximation allgemeiner Matrizen 149
7.3 Arithmetik von Hierarchischen Matrizen 152
7.3.1 Matrix-Vektor-Multiplikation 153
7.3.2 Addition............ 154
7.3.3 Matrix-Matrix-Multiplikation 160
7.3.4 Invertierung ...... . 163
7.4 Geometrische Partitionierungen 165
7.4.1 Box-Clustering .... . 165
7.4.2 Bisektionsverfahren .. . 167
7.5 Niedrigrang-Approximation von Funktionen 168
7.5.1 Darstellung mit Taylor-Reihen 170
7.5.2 Explizite Reihendarstellung .. 173
7.5.3 Adaptive Cross-Approximation 174
7.6 Anwendungen in der FEM ...... . 176
7.6.1 L -Projektion ......... . 176
2
7.6.2 Randwertprobleme zweiter Ordnung 184
Literatur 194
Index 199
Kapitell
Grundlagen
In diesem einfiihrenden Kapitel sollen die Grundlagen aus der linearen Algebra
bereitgestellt werden, die spater bei der Konstruktion effizienter Algorithmen
fiir die Losung linearer Gleichungssysteme benotigt werden. Neben den grundle
genden Begriffen wie zum Beispiel Normen von Vektoren und Matrizen wird die
Singularwertzerlegung beliebiger Matrizen hergeleitet. Diese bildet die Grundlage
der in Kapitel 7 behandelten hierarchischen Matrizen. Das Orthogonalisierungs
verfahren nach Gram-Schmidt bildet den Ausgangspunkt fiir die Herleitung von
modernen Iterationsverfahren fiir lineare Gleichungssysteme. Deren Konvergenz
analyse erfordert die Beschaftigung mit Tschebyscheff-Polynomen. Diese wieder
urn sind zentral fiir die polynomiale Approximation von Funktionen, welche zum
Beispiel auch bei Anwendungen hierarchischer Matrizen benutzt werden konnen.
1.1 Normen von Vektoren und Matrizen
Fiir n E IN ist IRn der Raum der n-dimensionalen Vektoren 1[, E IRn mit Kom
ponenten Ui E IR fiir i = 1, ... , n. Mit
(.,.) : IRn x IRn --t IR
wird ein beliebiges Skalarprodukt im Vektorraum IRn bezeichnet, das heiBt es
gilt die Distributivitat
die Kommutativitat
die Homogenitat
(a1[" Q) = a (1[" Q)
fiir aIle Vektoren 1[" Q, 1!l E IRn und a E IR sowie die positive Definitheit