Table Of ContentHans Liebig
Logischer Entwurf
digitaler Systeme
II
Beispiele und Ubungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1975
Dr.-Ing. HANS LIEBIG
Professor an der Technischen Universitiit Berlin
Informatik-Forschungsgruppe Rechnerorganisation und Schaltwerke
Mit 92 Abbildungen
ISBN-13: 978-3-540-06912-6 e-ISBN-013: 978-3-642-87378-2
001: 10.1007/978-3-642-87378-2
Das Werk ist urheberrechtlich geschOtzt. Die dadurch begrOndeten Rechte, insbesondere die der
Obersetzung, de,s Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf
photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen
bleibt auch bei nur auszugsweiser Verwertung vorbehalten.
Bei Vervielfaltigungen fOr gewerbliche Zwecke ist gemaB § 54 UrhG eine VergOtung an den Verlag zu
zahlen, deren H6he mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© by Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1975.
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Liebig, Hans. Logischer Entwurf digitaler Systeme (Hochschultext)
Bibliography: p.
1. Digital electronics. 2. Logic circuits.
J. Title.
TK7868.D5L53 621.3819'58'35 74-22105
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buche
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zur Annahme, daB solche Namen
im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher
von jedermann benutzt werden dOrften.
VOrzburg
Vorwort
Der vorl iegende Ubungsband enthalt Erganzungen und 72 Ubungsaufgaben zu dem 1973
im Springer-Verlag erschienenen Lehrbuch "Logischer Entwurf digitaler Systeme"
von W. Gi loi und H. Liebig. Die vollstandig durchgerechneten Losungen zu jeder
Aufgabe konnen als Beispiele fUr den Entwurf digitaler Systeme angesehen werden.
Die in dem zitierten Lehrbuch dargestel Iten mathematischen Methoden werden im
vorl iegenden Band ausgiebig angewendet und zum Tei I noch erganzt. Die Ergan
zungen behandeln wichtige Themen, die von theoretischem wie von praktischem In
teresse sind, so Methoden fUr den Entwurf mehrdimensionaler Schaltketten, fUr
den Entwurf von Schaltnetzen mit Fertigsignalen und den Entwurf von Schaltnetzen
und Schaltwerken mit Festspeichern (ROMs und PLAs). Aber auch einige grundsatz-
I iche Fragen werden in den Erganzungen diskutiert, wie der Aufbau elektronischer
Schaltkreise, klassische Verfahren zur Minimierung zweistufiger Schaltnetze und
Mag I i chke i ten der Ana I yse von Asynch ron-Scha I twe rken. 0 i e gegenUberste I I ende
Darstel lung von Formeln und Bi Idern wird dem Studenten wie dem Ingenieur eine
wi Ilkommene StUtze sein. Sie soil die Fahigkeit fordern, sich in Formeln und
Bildern gleichermaBen gut ausdrUcken zu kannen.
Der enge Bezug zu dem oben zitierten Lehrbuch kommt in der identischen Kapitel
einteilung und in den haufigen, kursiv gedruckten Verweisungen auf Kapitel,
Gleichungen, Beispiele und Bi Ider des Lehrbuches zum Ausdruck.
Der vorl iegende Band ist fUr Studenten bestimmt, die sich im Entwurf digitaler
Systeme Uben wollen. DarUber hinaus ist er fUr Entwicklungsingenieure geeignet,
die ausgefUhrte Beispiele immer wiederkehrender Probleme beim Entwurf von
Scha It netzen und Scha I twerken nachsch I agen wo I Ie n.
Berl in, im September 1974 H. Li eb i 9
Inhalt
Uberslcht
1. AussagenkalkUI und Boolesche Algebra •••••••••••••••••••••••••••••
1.1 Aufgaben •.....•.•..•••••••••...•••..•••••.••.••.••.•.•.•••••.
1.2 L6sungen ...••..•••......••....••••••...•••.•...••...•••••••.• 6
1.3 Erganzungen: Elektronlsche Schaltkrelse •••••••••••••••••••••• 19
Scha It erverb I ndungen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 19
E Ie ktron i sche Grundscha It ungen •••••.••••••••••••••••••••••••• 23
2. Boolesche Algorithmen •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 30
2.1 Aufgaben .•....••••.....••..••.•..•.•••••.••••...•..•••.•••••• 31
2.2 Losungen .•....••••.••••••.•.•.••.••.............•..••••.••.•. 35
2.3 Erganzungen: Mehrfach-Rekursionen •••••••••••••••••••••••••••• 49
3. Schaltnetze ............••.•.......•........•..•..•..•.........••• 61
3.1 Aufgaben .......•••.••.••.••.••.......•.••...•.••.•.••••.••••• 61
3.2 L6sungen ••••.•••..•.••••.••..••.•...•••.••••..•••..•••••••••• 65
3.3 Erganzungen: Algorlthmische Minimlerung •••••••••••.•••••••••• 78
Das Verfahren von Quine-McCluskey •••••••••••••••••••••••••••• 85
4. Scha Itketten 90
••••••••• II •••••••••••••••••••••••••••••• I ••••••••• II
4.1 Aufgaben ................ , ................................... . 90
4.2 LBsungen .•.•...••.•••.•.•.•.••••..•..••••••..•.•••...•••••.•• 93
4.3 Elndlmenslonale Schaltketten In Zweidraht-Technlk •••••••••••• 104
Fertlgmeldung In Schaltketten •••••••••••••••••••••••••••••••• 109
5. Asynch ron-Scha It werke •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 113
5.1 Aufgaben •••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 113
5.2 Losungen •••••••••••••••••••••.••.•••••••••••••••••••••••••••• 117
5.3 Erganzungen: Analyse von Asynchron-Schaltwerken •••••••••••••• 128
6. Synch ron-Scha It werke ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 139
6.1 Aufgaben ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 140
6.2 Losungen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 145
6.3 Erganzungen: Schaltnetze und Schaltwerke mit Festspelchern ••• 164
Entwurf von zwelstuflgen Schaltnetzen •••••••••••••••••••••••• 166
Entwurf von Synchron-Scha Itwerken ............................ 169
v
Aufgaben und L6sungen
1. AussagenkalkOI und Boolesche Algebra
1.1 Wahre Aussagen •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 6
1.2 Kommutat i v- und Assoz I at i vgesetz •••••••••••••••••••••••••• 2 7
1.3 Idempotenz- und Absorptionsgesetz ••••••••••••••••••••••••• 2 8
1.4 Pei rce- und Shefferfunktion .............................. . 2 9
1. 5 Antlva lenz und KonJunktion .............................. .. 2 10
1 .6 Best i mmungsgl e I ch ungen •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 3 10
1.7 Verelnfachung elnes Ausdruckes •••••••••••••••••••••••••••• 3 11
1.8 Veltch-Dlagramm ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 3 12
1.9 Codeumsetzung ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 3 13
1.10 Vektorfunktlonen •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 4 15
1.11 Spezlelle Vektorfunktlonen •••••••••••••••••••••••••••••••• 4 16
1.12 Strukturbeschrelbung von Spelchern •••••••••••••••••••••••• 5 16
1.13 Xqulvalente Schalterverblndungen •••••••••••••••••••••••••• 20 20
1.14 Vol laddlergl ied ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 26 27
1.15 D-Fllpflop •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 28 28
2. Boolesche Algorithmen
2.1 Addition ••.••.•...•••••.•.•..•..•••.•.••.•...••••.•.•.•••• 31 35
2.2 Subtraktlon ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 31 36
2.3 Subtraktlon, Vergleich ................................... . 32 37
2.4 Addition von Oktalzahlen ................................. . 32 39
2.5 Verglelch ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 32 41
2.6 k-Xqulvalenz von Zust!:lnden •••••••••••••••••••••••••••••••• 33 43
2.7 Pseudoz I ffern ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 33 44
2.8 Xqu I va I ente A Igorithmen ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 34 48
2.9 Akkumu I ator 52 52
2.10 Akkumu I ator 59 59
3. Schaltnetze
3.1 Parit!:ltsprOfung........................................... 61 65
3.2 Prlorlt!:lten-Schaltnetz •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 62 68
3.3 Quadrlerschaltnetz •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 62 69
3.4 Quadrlerschaltnetz fOr dual codierte Dezlmalziffern ••••••• 63 71
3.5 Zwel Schaltnetze fOr die Addition von sechs Dualzahlen •••• 63 73
3.6 Verelnfachung elner vollst!:lndig deflnlerten Funktlon •••••• 64 75
3.7 Algorithmische Ermlttlung aller Prlmlmpllkanten ••••••••••• 64 77
VI
3.8 Algorithmische Minimierung ..•.•••••.••••••.••.•••••••••.•• 64 77
3.9 Ermittlung der Primterme einer vol Istandig definierten
Funktion .••••..•..••...•..••••...••...••••.•••••••..••.••• 81 81
3.10 Ermittlung der Primterme einer unvol Istandig definierten
Funktion .•••.••••...••..••..•••••••..•••••••..•.•.•••••••• 83 83
3.11 Vereinfachung einer vol Istandig definierten Funktion •.•.•• 87 87
3.12 Vereinfachung einer unvol Istandig definierten Funktion •••• 88 89
4. Schaltketten
4.1 Vergleich 90 93
4.2 Zwei Vergleichsschaltketten •••.••.•..•••.••.•...•••••••••. 91 94
4.3 2-KompI ement-Bi Idung .•••...••••.•.•.•••••••.•.•••••••.•.•• 91 96
4.4 Addition einer Dualziffer ...•.••••.••••••••••••.•••••••••• 91 97
4.5 Multipl ikation einer Konstanten •.••••••••••••••••••..•.••• 92 98
4.6 Multipl ikationsschaltkette ••.••..••.••••••••••••••••••••.• 92 100
4.7 Multipl ikationsschaltnetz fUr dual codierte Dezimalziffern 93 102
4.8 Codierung von Zweidraht-Variablen •.•••••••••..•..••••.•••• 107 107
4.9 Antivalenz- und Volladdiergl ied ..•...•••••....••••••.••••• 108 108
4.10 Add itionsscha Itkette ••.•..•..••••.•.••••..•••••.••.••.•••• 110 111
5. Asynchron-Schaltwerke
5.1 Negationsschaltwerk 113 117
5.2 Einfache Schaltwerksanalyse •••••.••.•.•.••.•••.•••••.••..• 114 117
5.3 Hazards in Schaltnetzen ....••...•••••.•.•••.••.•••.•.••... 114 118
5.4 Abtastscha It lJng ..•.••.•.....••••.•.••••.•••••••••.•••••••. 114 120
5.5 Scha It werk rr i t essent i e I I em Haza rd •.••••••••.•••.••••••••• 115 121
5.6 Frequenzte i I er 115 122
5.7 JK-Vorspeicherfl ipflop •.••..•••..••••.••••••.•....•••••••• 116 124
5.8 Speichergl ied fUr Zweidraht-Variablen •.••...••.•••.••••.•• 116 126
5.9 JK-Vorspeicherfl ipflop •.•.•...•..•••..•••••••••.••.••••.•. 117 127
5.10 D-FI ipflop ..••••.•.•..•.....••....•••••.•..••.•....••..••• 129 129
5.11 D-Flipflop •..•.•..••..••.••..••.•.•••••.•••••.•.••.••.••.. 132 133
5.12 SR-FI ipflop ••......•••••.•....•••••.•.•••••••..•••.•••.•.• 136 137
6. Synchron-Schaltwerke
6.1 T-FI ipf lop................................................ 140 145
6.2 Modulo-3-Zahler ..... , ...........................•.....•... 140 146
6.3 Log i sches Rechenwerk •..••••.•.••..•.•..•••••.•..••••.••••• 140 148
6.4 Addierwerk .............•...........•.....•...•.......••••• 141 150
VII
6.5 Vorwarts-ROckwarts-Zah ler ............................... .. 141 153
6.6 Dezimalzahler •..•••••••••••..•.••••••••....••....•••.••••. 142 155
6.7 Pseudoz i ffern ••.••.••.....•••••••.•.•.••.•.•••••.•.••••..• 142 157
6.8 Codeumsetzung Dualcode/Graycode .•..•••.•••.•••..••.••••.•• 143 159
6.9 Mu It i P I i kat i onssteuerwerk ••.••.•..•.•••.••••..•.•••••••••• 143 161
6.10 Multiplikationssteuerwerk mit U1-Flipflops .............. .. 144 163
6.11 Codeumsetzer fOr ein Quadrierschaltnetz •....•....•••.••••. 166 167
6.12 Multipl ikationssteuerwerk 170 170
6.13 Multiplikationssteuerwerk 174 174
Kursiv gedruckte Verweisungen (Kapitel, Gleichungen, Beispiele und Bi Ider)
beziehen sich auf das diesem Ubungsband zugrunde I iegende Lehrbuch
"Logischer Entwurf digitaler Systeme" von W. Gi ioi und H. Liebig.
1. AussagenkalkUl und Boolesche Algebra
In Kapitel 1 werden logische Funktionen behandelt, die durch eine unverander
I iche, konstante Zuordnung
a = gee) (1. 1)
zwischen Eingangsparametern e und Ausgangsparametern a charakterisiert werden.
Eine solche Funktion1) ist im allgemeinen durch eine Funktionstabel Ie oder durch
eine Funktionsgleichung definiert. Welche der beiden Darstel lungen zur Beschrei
bung logischer Zusammenhange gewahlt wird, hangt von der Art des Problems abo
Eine Funktionstabel Ie wird man dann aufstel len, wenn die Beschreibung des
Problems schon in 0-1-Kombinationen der unabhangigen Variablen vorliegt
und wenn deren Anzahl nicht zu groB ist, also wenn es sich Z. B. urn arithmetische
Operationen von binar codierten Ziffern oder urn Umsetzungen binar codierter Zei
chen handelt. Eine Funktionsgleichung wird man dann aufschreiben,
wenn die Beschreibung des Problems als formal wahr definierte Aquivalenz im
Sinne des Aussagenkalkuls vorllegt, also wenn es sich Z. B. urn Satze handelt,
in denen unabhangige Aussagen einer abhangigen Aussage in der Form einer wahren
Aquivalenz zugeordnet werden.
Beide Beschreibungsformen sind ineinander uberfuhrbar. Die Funktionstabel len
sind wichtig fur die Untersuchung von Funktionen, also fur die Analyse
digitaler Systeme. Die Funktionsgleichungen sind wichtig fur die Realisierung
von Funktionen, also fur die Synthese digitaler Systeme.
1.1 Aufgaben
Aufgabe 1.1. Wahre Aussagen
Die beiden folgenden Aussagen sind daraufhin zu untersuchen, ob sie inhaltl ich
oder formal wahr sind:
1)Entsprechend DIN 44300, Nr. 86 eine Schaltfunktion, d.h. "eine Funktion, bei
der jede Argument-Variable und die Funktion nur endlich viele Werte annehmen
kennen."
2
.1 Paris ist die Hauptstadt von Frankreich und London ist die Hauptstadt von
England •
• 2 Entweder ist Paris die Hauptstadt von Frankreich oder Paris ist nicht die
Hauptstadt von Frankreich. )
'
Aufgabe 1.2. Kommutativ- und Assoziativgesetz
FUr welche der in Definition 1.1 angefUhrten zweistel ligen logischen Operationen,
die nlcht boolesche Operatlonen sind, gilt
.1 das Kommutativgesetz,
.2 das Assoziativgesetz.
Aufgabe 1.3. Idempotenz- und Absorptionsgesetz
Aus den als Axlome einer Algebra aufgefaBten S§tzen Gln. (1.1) bis (1.10) sind
die folgenden S§tze herzuleiten:
.1 a+a = a und a'a = a (1. 2)
.2 a+a'b = a und a'(a+b) = a (1. 3)
Aufgabe 1.4. Peirce- und Shefferfunktlon
a,
Die drei booleschen AusdrUcke a+b und a·b sind durch drel §quivalente Aus
drUcke darzustel len, die
.1 nur w als Operationszelchen enthalten,
.2 nur I als Operationszeichen enthalten.
Aufgabe 1.5. Antivalenz und Konjunktion
FUr die VerknUpfungen Antlvalenz und Konjunktion sind folgende Gesetzm§Bigkeiten
zu UberprUfen:
.1 Welche der Gln. (1.1) bis (1.8) behalten ihre GUltigkeit, wenn + durch G)
ersetzt wird .
• 2 1st die Antivaienz umkehrbar, d. h. existieren uneingescbr§nkte Losungen der
Bestimmungsgleichung
a ® b = 0 ( 1.4)
fUr a und b.
l)'n Anlehnung an HERMES,H.: £infUhrung In die mathematische Logik;
B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1963, S. 42.
