Logikkalküle in der Informatik: Wie wird Logik vom Rechner genutzt?

238 Pages·2013·4.224 MB·German

by  Michael Schenke (auth.)

Studienbücher Informatik
Die Reihe „Studienbücher Informatik“ wird
herausgegeben von Walter Hower.
Michael Schenke
Logikkalküle in der
Informatik
Wie wird Logik vom Rechner genutzt?
Prof. Dr. Dr. Michael Schenke
Hochschule Merseburg
Merseburg
Deutschland
ISBN 978-3-8348-1887-4 ISBN 978-3-8348-2295-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-2295-6
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Vorwort
Das vorliegende Buch geht zurück auf Beobachtungen aus Schenke (1997) zu Verbindun-
gen zwischen verschiedenen Logiken, die dort aber nicht weiter verfolgt wurden. Dort lag
das Augenmerk auf anderen Fragen, nämlich der sicheren Implementierung von Realzeit-
systemen. Trotzdem schien es mir schon damals lohnend, der Frage genauer nachzugehen,
inwieweit verschiedene Logiken auf einer gemeinsamen Basis gegründet sein und in einem
Lehrbuch dargestellt werden können. Im Laufe der Jahre hat sich mir dann die Gelegenheit
geboten, verschiedene Logiken und die Verbindungen zwischen ihnen aus verschiedenen
Perspektiven in einer Reihe von Lehrveranstaltungen vorzustellen und auch in Skripten
darzustellen, die die Grundlage zu diesem Buch bilden.
Inhaltlich steht aber immer die Frage der Anwendbarkeit der Logiken für die Informa-
tik im Vordergrund, das heißt in diesem Fall die Frage nach Kalkülen, die als Grundlage
einer Implementierung dienen können. Natürlich können Kalküle, also die syntaktischen
Formalismen, nicht alleine untersucht werden. Werden neben den syntaktischen auch die
semantischen Grundlagen der Logiken genauer behandelt, so kommen automatisch typi-
sche Fragen wie die nach Korrektheit, Vollständigkeit oder Entscheidbarkeit der verschie-
denen Kalküle auf.
Für mich ist es wichtig, in diesem Buch auch die Hintergründe der Logiken mit zu
betrachten, bis hinein in andere Wissenschaften, etwa Philosophie oder Sprachwissen-
schaft. Das Wesentliche dieses Buches ist die Darstellung der verschiedenen Logiken, ihrer
Hintergründe und der Querbeziehungen zwischen ihnen. Allerdings erhebe ich keinen
Anspruch darauf, in diesem Buch wissenschaftliches Neuland bezüglich der Logiken an
sich betreten zu haben; neu ist lediglich die Perspektive. Die Lektüre dieses Buches soll
nicht die Lektüre der hervorragenden Bücher ersetzen, die sich auf die einzelnen Logiken
spezialisiert haben.
In diesem Buch bieten die einzelnen Kapitel einen gedrungenen aber befriedigenden
Überblick über die Logiken, soweit es für das Verständnis der Querverbindungen zwi-
schen den Formalismen nötig ist. Ein am jeweiligen Thema interessierter Leser, der nur
einen Überblick ohne zu viele Details sucht, wird genau das finden. Deshalb werden auch
nur recht wenige exakt ausformulierte Beweise in diesem Buch vorgestellt. In vielen Lehr-
büchern laufen solche Beweise doch sehr oft auf zwar zwingende aber durch unübersicht-
liche Notationen und Formulierungen belastete Darstellungen hinaus, welche die Tendenz
V
VI Vorwort
haben, die Grundideen der Gedankengänge zu verschleiern. Im vorliegenden Buch findet
man hingegen sehr häufig Beweisideen, die den Lernenden vermitteln sollen, „woran es
liegt“ und „worum es im Wesentlichen geht“. Insgesamt geht es mir vor allem um eine
vergleichende Zusammenschau der Formalismen unter Aspekten von Sprache (Syntax,
Semantik), Philosophie und vor allem der Anwendbarkeit in der Informatik.
In vielen Details habe ich mich auch auf Literatur anderer Autoren gestützt, bei den klas-
sischen Logiken besonders auf Schöning (2000), Olderog (2002) und Böhme (1981), bei
der Hoareschen Logik auf Apt et al. (2009), bei der modalen Logik auf Hughes, Cresswell
(1968), bei der intuitionistischen, der epistemischen und der deontischen Logik auf Kreiser
et al. (1990) sowie bei der epistemischen Logik auf Fagin et al. (1995) und bei den nicht-
monotonen Formalismen auf Beierle, Kern-Isberner (2003).
Am Ende dieser Vorbemerkungen möchte ich noch Frau Susann Ludwig für die Er-
stellung der noch sehr kurzen Erstfassung dieses Buches, Frau Dana Lomott für dessen
Überarbeitung und Herrn Matthias Kopsch für Anfertigung der meisten Abbildungen und
für die umfangreiche Arbeit mit Formatvorlagen danken.
Literatur
Apt KR, de Boer FS, Olderog ER (2009) Verification of Sequential and Concurrent Pro-
grams (3., rd ed.). Springer, London
Beierle C, Kern-Isberner G (2003) Methoden wissensbasierter Systeme, 2. Aufl. Vieweg,
Wiesbaden
Böhme G (1981) Einstieg in die mathematische Logik. Hanser, München
Fagin R, Halpern JY, Moses Y, Vardi MY (1995) Reasoning about Knowledge. The MIT
Press, Cambridge (Massachusetts)
Hughes GE, Cresswell MJ (1968) An Introduction to Modal Logic. Methuen, London. Aus
d. Engl. übers. v. Coulmas F, Posner R, Wiese B (1978) Einführung in die Modallogik.
de Gruyter, Berlin
Kreiser L, Gottwald S, Steltzner W (1990) Nichtklassische Logik, 2. Aufl, Akademie-Ver-
lag, Berlin
Olderog ER (2002) Logik. Vorlesungsskript zum Modul Theoretische Informatik I, Olden-
burg (Carl von Ossietzky Universität)
Schenke M (1997) Development of Correct Real-Time Systems by Refinement. Habili-
tationsschrift, Oldenburg. Online verfügbar unter http://www.iks.hs-merseburg.de/
~schenke/Habilschrift.pdf
Schöning U (2000) Logik für Informatiker. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Mathematik als Abstraktion des Wissens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Logik als Abstraktion von Sprachfragmenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Syntax und Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Semantik der AL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Der logische Folgerungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Metasprachen und Kalküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Kalküle für die Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Normalformen in der AL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Semantik der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Unifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Der logische Folgerungsbegriff der PL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Normalformen in der PL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Ein Prädikatenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Prädikatenlogisches Schließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8 Syllogismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9 Lewis Carroll – Das Spiel der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Der SLD-Kalkül (Logik-Programmierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Horn-Klauseln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Semantik von Logik-Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
5 Hoaresche Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Hoaresche Tripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Semantik von WHILE-Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Kalküle für Hoaresche Tripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Modale Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Kripke – Semantiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Gültigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4 Das System T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5 Die Systeme S4 und S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.6 Intuitionistische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.7 Der modale Prädikatenkalkül erster Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Temporale Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1 Verschiedene modale Modelle der temporalen Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 Kripke-Semantiken für eine modale temporale Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Zur Topologie der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.4 Abgeleitete Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5 Intervall-temporale Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.6 Der Duration Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8 Epistemische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2 Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.3 Verteiltes Wissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9 Deontische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.2 Kodexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.3 Zu einer Metatheorie von Kodexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10 Nichtmonotone Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.1 Truth Maintenance-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.2 Der JTMS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.3 Die JTMS-Inferenzrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Inhaltsverzeichnis IX
11 Default-Logiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.1 Syntax und Semantik von Defaults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.2 Bestimmung von Extensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.3 Prozessbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.4 Eigenschaften der Default-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.1 Mengen, Relationen, Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.3 Graphen, Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227