LM256 : Analyse vectorielle, intégrales multiples

126 Pages·2013·4.7 MB·French

LM256 : Analyse vectorielle, intégrales multiples
FabriceBethuel
AnnéeUniversitaire2012-2013
Table des matières
1 Fonctionsd’unevariableréelle 3
1.1 Généralitéssurlesapplicationsetlesfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Premièresdéfinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Compositiondesapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Applicationréciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Lanotiondelimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Lanotiondecontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Lanotiondedérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Calculsdedérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Dérivéesd’ordresupérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Opérationssurlesprimitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Intégralesdéfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Aired’undomaineduplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.4 intégrationdelarelation(cid:191) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Développementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Fonctionsdedeuxvariables 19
2.1 L’espacevectoriel(cid:82)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Courbesparamétréesde(cid:82)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Graphes,lignesdeniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Limites,continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Lanotiondedérivéepartielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 Développementlimitéàl’ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Legradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Dérivationdesfonctionscomposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.4 LamatriceJacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.5 Dérivéessecondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Lethéorèmedesfonctionsimplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Champsdevecteurs 44
3.1 Premièresdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Changementderepère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Champdegradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Lignesdechamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Circulationd’unchampdevecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
3.2.1 Circulationd’unchampdegradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Leformalismedesformesdifférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Formeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Formedifférentiellesdedegré1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.3 Intégralecurviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Intégralesdoubles 59
4.1 Constructiondel’intégraledouble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 LeThéorèmedeFubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Intégrationparparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.1 Calculdel’aired’undomaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.2 Fluxetdivergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.3 Autresformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.4 Ladivergenceencoordonnéespolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Changementsdevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1 Aired’unparallélelogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.2 Airedel’imaged’unrectangleélémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.3 Laformuleduchangementdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.4 Invariancesparchangementderepèreorthonormé. . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Calculduvolumed’undomainede(cid:82)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Interprétationdeladivergenceetduflux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Analysevectorielledans(cid:82)3 82
5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.1 Rappelssur(cid:82)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Limites,continuitésetdérivationdans(cid:82)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Courbesparamètréesdans(cid:82)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Surfacesparamétréesdans(cid:82)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Lethéorèmedesfonctionsimplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5.1 Aired’unesurface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.2 Intégrationsurlessurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6 Intégralestriples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.2 LeThéorèmedeFubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.3 Changementsdevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.7 Formuleflux-divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Lerotationnel 104
6.1 Champdevecteurs,champsdegradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.1 Invariancedurotationnelparchangementderepèreorthonormé . . . . . . . 106
6.2 Fluxdurotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Surfacesfermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Surfacesdontlebordestunecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Champsàrotationnelnul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Champàdivergencenulle,potentielsvecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Sujetsd’examen 113
2
Chapitre 1
Fonctions d’une variable réelle
Danscechapitre,nousrappelonsquelquesélémentsdel’analysedesfonctionsd’unevariable
réelle.
1.1 Généralités sur les applications et les fonctions
1.1.1 Premièresdéfinitions
Une application d’un ensemble E (dit "ensemble de départ") dans un ensemble F (dit "en-
sembled’arrivée")estunecorrespondancequiassocieàtoutélémentdeE unélémentdeF etun
seul.Onnotecetteapplication:
f :E (cid:55)→F ouencore f :x(cid:55)→y = f(x).
L’élément y = f(x)deF estappelél’imagedex parf.Onditaussiquex estl’antécédentde y.
LegraphedefestlapartieG duproduitE×F constituéedesélémentsdelaforme(x,f(x)),où
x∈E.
Une fonctiondeE dansF estuneapplicationd’unepartieD deE dansF.LapartieD ⊂E est
alorsappeléedomainededéfinitiondelafonction f,etestsouventnotéeD :
f
D=D .
f
Commeprécédemmentlegraphede f estdonnéeparlesélémentsdelaforme(x,f(x)),oùx∈D .
f
Danscechapitre,nousconsidérerons uniquement lecasoùE =F =(cid:82).Onparlealorsdefonc-
tionsréelled’unevariableréelle.Enrevanche,dansleschapitressuivants,nousconsidéronsplus
généralementlescasoùE =(cid:82)N,F =(cid:82)K,avecN ∈{1,2,3}, K ∈{1,2,3}.
Pourlesfonctionsd’unevariableréelle,lafonction f estsouventdéfinieàl’aided’uneformule.
L’ensemblededéfinitionestdoncreprésentéparleséléments x pourlesquelscetteformuleàun
sens.
Exemple1.
– Lafonctions x →ax ,où a estdonné,estunefonctionlinéaire.Sondomainededéfinition
est(cid:82)toutentier.Songrapheestunedroiteduplan(cid:82)2passantparl’origine.
3
– la fonction x →ax+b où les nombres a et b sont donnés est une fonction affine. Son do-
maine de définition est (cid:82) tout entier. Son graphe est une droite du plan (cid:82)2 passant par le
point(0,b).
– la fonction x → ax2+bx+c , où a (cid:54)=0,b,c sont donné définit une fonction, polynôme de
degré 2. son domaine de définition est (cid:82) tout entier. Son graphe est une courbe, appelée
parabole,quipasseparlepoint(0,c).
1
– La fonction f définie par la formule f(x)= est définie pour tout x non nul de (cid:82), son do-
x
mainededéfinitionestdoncD =(cid:82)\{0}.
f
(cid:112)
– La fonction f définie par la formule f(x)= 1−x2 est définie pour tout x de l’intervalle
[−1,1].SondomainededéfinitionD estdoncl’intervalle[−1,1].
f
Revenons au cas général, et considérons une application f :E →F, où E et F sont deux en-
sembles.Ondiraque:
– L’application f est injective si chaque élément y de F a au plus un antécédent par f. En
(cid:48)
d’autres termes, f est injective si et seulement si pour touséléments x et x de E l’égalité
f(x)= f(x(cid:48))entraînenécessairementx=x(cid:48).
– L’application f estsurjective sichaqueélément y deF aaumoinsunantécédentpar f.En
d’autrestermes, f estsurjectivesietseulementsipourtouséléments y(cid:48) deE ilexiste x ∈E
telque y = f(x).
– L’application f est bijective si et seulement si chaque élément y de F a exactement un an-
técédentetunseulpar f.End’autrestermes, f estbijectivesietseulementsipourtoutélé-
ment y deE ilexisteununiqueélément x∈E telque y = f(x).
Onvérifierasansmalqu’uneapplicationestbijectivesietseulementsielleestinjectiveetsur-
jective.
Par exemple, l’application x →sinx est surjective si on la considère comme application de (cid:82)
dans[−1,+1].Ellen’estpasinjectivepuisque,parexemple,sin0=sin2π.Enrevanche,elledevient
bijectivesionlaconsidèrecommeapplicationde[−π,+π]sur[1,+1].
2 2
1.1.2 Compositiondesapplications
ConsidéronsmaintenanttroisensemblesE,F,G etdesapplications f :E →F etg :F →G.Pour
toutélémentx dansE,onpeutalorsdéfinirl’élémentz=g(cid:161)f(x)(cid:162)deG.Cecidéfinitunenouvelle
applicationdeE dansG,notéeg◦f.
Définition1. Onappelleapplicationcomposéede f etdeg etonnoteg◦f l’applicationdeE vers
G définiepar
g◦f(x)=g(cid:161)f(x)(cid:162), pourtoutx∈E.
De même, on peut définir l’application composée de deux fonctions f :E →F et g :F →G.
La fonction composée g ◦f est alors une fonction de E versG dont le domaine de définition est
composéedesélementsdeD dontl’imagepar f appartientaudomainededéfinitiondeg.
f
Exemple2. Prenonslesfonctionsd’unevariableréelle f etg définiespar
1 (cid:112)
g(x)= et f(x)= 1−x2.
x
4
Lafonctiong◦f estalorsdonnéepar
1
g◦f(x)= (cid:112) .
1−x2
Ledomainededéfinitiondeg◦f estdonc]−1,1[.Lespoints±+1appartiennentbienaudomaine
dedéfintionde f,maisleurimagepar f vaut0,quin’estpasdansledomainededéfinitiondeg.
1.1.3 Applicationréciproque
SoientE etF deuxensembleset f uneapplicationdeE versF quel’onsupposeradeplusbi-
jective,c’estàdirequepourtoutélémenty deF ilexisteununiqueélémentx deE telquey = f(x).
Définition2. Onappelleapplicationréciproquede f etonnote f−1 l’applicationdeF versE qui
àtoutélément y deF associel’uniqueélémentx deE telque y = f(x).
End’autrestermes
x= f−1(y) sietseulementsi y = f(x).
Ilrésultedeladéfinitionque
f−1◦f =Id et f ◦f−1=Id ,
E F
oùId désignel’applicationidentitédeE,c’estàdirel’applicationdeE danslui-mêmedéfiniepar
E
Id (x)=x,avecbienentenduunedéfinitionsimilairepourId .
E F
Onpeutvérifierlapropriétésuivante,dontlapreuveestlaisséeenexercice
Proposition 1. Soient E,F,G trois ensembles et des applications f :E →F et g :F →G supposée
bijectives. Alors l’application composée g ◦ f est bijective de E vers G et l’application réciproque
vérifiel’identité
(cid:161)g◦f(cid:162)−1= f−1◦g−1.
Exemple3.
– Lafonction f :(cid:82)+→(cid:82)+ définiepar f(x)=x2,estuneapplicationbijective(elleneleserait
pas si l’on prenait (cid:82) comme ensemble de départ). Son application réciproque est donnée
(cid:112)
par f−1:(cid:82)+→(cid:82)+, f−1(x)= x,quin’estautrequelafonctionracinecarrée!
– Lafonctionsin:[−π,π]→[−1,1]estuneapplicationbijective.Onnotearcsinl’application
2 2
réciproquearcsin:[−1,1]→[−π,π].Onadoncpour x ∈[−1,1], y =arcsinx sietseulement
2 2
si
π π
y ∈[− , ]et x=siny.
2 2
– Demême,lafonctioncos:[0,π]→[−1,1]estuneapplicationbijective.Onnotearccosl’ap-
plication réciproque arccos : [−1,1] → [0,π]. On a donc pour x ∈ [−1,1], y = arccosx si et
seulementsi
y ∈[0,π]et x=cosy.
– Lafonctiontan:[−π,π]→(cid:82)estuneapplicationbijective.Onnotearctanl’applicationréci-
2 2
proquearctan:(cid:82)→[−π,π].Onadoncpourx∈(cid:82), y =arctanx sietseulementsi
2 2
π π
y ∈[− , ]et x=tany.
2 2
Notons par ailleurs que si f est une fonction d’une variable réelle bijective, le graphe de f−1
sedéduitdeceluide f enfaisantagirunesymétrieparrapportàladroite y =x,quiintervertiten
particulierlesaxes.
5
1.2 La notion de limite
Nous ne considérons dorénavant, et jusqu’à la fin de ce chapitre que des fonctions d’une va-
riableréelle,c’estàdirelecasE =F =(cid:82).
Soitdonc f et x unpointdonnédeD .Onsupposeradeplusque f estdéfiniesuruninter-
0 f
valleouvertnonvide]a,b[contenantx ,saufpeut-être enx ,c’estàdireque]a,b[\{x }⊂D .
0 0 0 f
Définition3. Onditquelafonction f admetunelimiteLenx ,ouque f(x)tendversLlorsquex
0
tendversx ,sietseulementsi:
0
Pourtoutnombreréel(cid:178)>0,ilexisteunnombreα>0telquelarelation0<|x−x |<αentraîne
0
|f(x)−L|<(cid:178).
OnvérifiequesiunelimiteLexiste,alorselleestforcémentunique.Onnotealors
L= lim f(x)ouencore f(x) → L.
x→x0 x→x0
Cecisignifiequepourunnombre(cid:178)>0aussipetitquel’onledésire,onpeuttrouverunnombre
α>0quidépendbienentendude(cid:178)telquesil’écartentrex etx (x étantdistinctdex )estinfé-
0 0
rieuràα,alorsl’écartentre f(x)etLestinférieurà(cid:178).
Voyons maintenant comment la notion de limite se comporte vis à vis des opérations clas-
siques sur les fonctions (addition, multiplication et division). Rappelons que si f et g sont des
g
fonctionsréelles,ondéfinitlesfonctions f ±g, fg,et par
f
(f ±g)(x)= f(x)±g(x), et(fg)(x)= f(x)g(x),∀x∈D ∩D ,
f g
g g(x)
(x)= pourx∈D ∩D telque f(x)(cid:54)=0.
f g
f f(x)
Proposition2. Soient f et g deuxfonctionssur(cid:82)tellesque f et g admettentcommelimitesen x
0
lesnombresLetM respectivement.Lesfonctions f ±g et fg admettentalorsleslimitessuivantesen
x :
0
lim(f ±g)(x)=L±M et lim(fg)(x)=LM.
x→x0 x→x0
deplus,siL(cid:54)=0alorsona
f L
lim (x)= .
x→x0g M
Démonstration (première partie). On commence par se donner (cid:178) > 0. Comme f(x) tend vers L
quandx tendversx ,ilexisteunnombreα >0telque,si0<|x−x |<α alorsona|f(x)−L|< (cid:178).
0 1 0 1 2
Delamêmemanière,ilexisteunnombreα >0telquesi0<|x−x |<α ,alorsona|g(x)−M|< (cid:178).
2 0 2 2
Posonsα=min(α ,α ).Onaα>0etsi0<|x−x |<α,alorsladéfinitiondeαentraînequel’ona
1 2 0
0<|x−x |<α et0<|x−x |<α etdonc
0 1 0 2
|f(x)+g(x)−L−M|≤|f(x)−L|+|g(x)−M|(inégalitétriangulaire)
(cid:178)/2+(cid:178)/2=(cid:178).
6
Cecimontredoncque
lim(f +g)(x)=L+M.
x→x0
Lesautresrelationssedémontrentenutilisantdesméthodessimilaires.
Rappel.Onautilisédanslapreuvel’inégalitétriangulaire
|a+b|≤|a|+|b|.
Elleentraînel’inégalité
|a±b|≤|a|−|b|.
Exemple4. Desargumentsgéométriquesélémentairespermettentd’établirque
sinx
lim =1. (1.1)
x→0 x
Onmontreégalementque
ex−1
lim =1. (1.2)
x→0 x
1.3 La notion de continuité
Lanotiondecontinuitédécouledirectementdecelledelimite.
Définition4. Onsupposeque f estaussidéfinieen x .Onditque f est continueen x sietseule-
0 0
mentsi f admetunelimiteenx ,égaleàsavaleur f(x )encepoint.
0 0
Onditque f estcontinuesurunintervalle]a,b[sielleestcontinueentoutpointx de]a,b[.
0
De manière intuitive, une fonction f est continue sur un intervalle ]a,b[ si on peut tracer le
graphedelarestrictionàcetintervallesansleverlamain.
Il résulte immédiatement de la Proposition 2 que si f et g sont deux fonctions continues en
f
unpointx ,alors f +g, f −g et fg sontégalementcontinuesencepoint.Sig(x )(cid:54)=0,alors est
0 0
g
égalementcontinueenx .
0
Exemple5.
– Lesfonctionsconstantessontcontinues.
– LafonctionId(cid:82)estcontinue(prendre(cid:178)=αdanslaDéfinition6).
– Lespolynômessontdesfonctionscontinues(carobtenuesàl’aided’opérationsdemultipli-
cationetadditionsàpartirdefonctionsconstantesetdelafonctionId(cid:82))
– Les fractions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont continues sur leur ensemble
dedéfinition,quiestcomposéd’intervallesouverts.
– Lesfonctionstrigonométriquesin,cossontcontinuessur(cid:82),ainsiquelesfonctionex etlog
surleurensemblededéfinition.
Lanotiondecontinuitéaégalementdebonnepropriétésvisàvisdelaloidecomposition.
Proposition 3. Soit f une fonction continue en x et soit g une fonction continue en f(x ). Alors
0 0
g◦f estcontinueenx .
0
7
DémonstrationSoit(cid:178)donné.Commeg estcontinueen f(x ),ilexisteunnombreη>0telque
0
si|y−f(x )|<ηalorsona|g(y)−g(f(x ))|=|g(y)−g◦f(x )|<(cid:178).Comme f estcontinueenx ,il
0 0 0 0
existeunnombreα>0telquesi|x−x |<α,alors|f(x)−f(x )|<η.Ilenrésultequesi|x−x |<α,
0 0 0
alors|g(f(x))−g◦f(x )|<(cid:178).Laconclusionendécoule.
0
Soit f une fonction définie sur un intervalle I =]a,b[ de (cid:82). Rappelons que l’on dit que f est
strictementcroissante (resp.strictementdécroissante sur I)sietseulement, si pourtousnombres
a<x <x <b,ona
1 2
f(x )< f(x )(resp. f(x )> f(x ).
1 2 1 2
Onditque f eststrictementmonotonesur I sielleeststrictementcroissanteoustrictementdé-
croissante sur I. Lorsque f est strictement monotone sur I, il est facile de se convaincre qu’elle
constitueunebijectiondeI sursonimage
f(I)={y ∈(cid:82)telqu’ilexistex∈I y = f(x)}.
Lorsque f estdesurcroîtcontinue,alorsona
Proposition4. SoitI =]a,b[unintervalleouvert,etsoit f unefonctioncontinuesurI.Alors f(I)est
unintervallede(cid:82).Deplus,si f eststrictementmonotone,alors f(I)estunintervalleouvert,dela
forme]f(a),f(b)[si f eststrictementcroissante(resp.]f(b),f(a)[si f eststrictementdécroissante),
etdeplus f estbijectivedeI sur f(I).Sonapplicationréciproqueestcontinue.
Nousadmettronscerésultat.
1.4 La notion de dérivée
1.4.1 Définition
Définition5. Soit f unefonction.Onditque f possèdeunedérivéeaupointx silalimitesuivante
0
f(x)−f(x ) f(x +h)−f(x )
lim 0 =lim 0 0
x→x0 x−x0 h→0 h
(cid:48)
existeetestfinie.Onnotealors f (x )cettelimite.Onditaussique f estdérivableaupointx .
0 0
Remarque1. Onutiliseaussiparfoislanotation
df
f(cid:48)= .
dx
Lorsque la fonction est dérivable, le graphe possède au point (x ,f(x )) une droite tangente
0 0
(cid:48)
queestdepente f (x )exactement.Plusprécisement,ladroiteaffined’équation
0
y = f(cid:48)(x )(x−x )+f(x )
0 0 0
quipasseparlepoint(x ,f(x ))esttangenteàlacourbeencepoint.
0 0
Ondéduitdeladéfinitionmêmedeladérivée,quel’onalecomportementsuivantdelafonc-
tion f prèsdex
0
f(x +h)= f(x )+f(cid:48)(x )h+hε(h), (1.3)
0 0 0
8
oùεdésigneunefonctiondéfinieprèsde0ettelleque
limε(h)=0,
h→0
Nousavonsiciintroduitlavariableh=x−x quitendvers0lorsquex tendsversx .
0 0
Larelation(1.3)nousfournitunpremierexemplededéveloppementlimité.Danscecontexte,
ilestutilederappelerladéfinitionsuivante.
Définition6. Soient f etg deuxfonctionsdéfiniesprèsdex .Onditque f estnégligeabledevantg
0
sietseulementsiilexisteunefonctionεdéfinieprèsde0telleque
f(x)=g(x)ε(x−x ) et limε(h)=0.
0
h→0
Si f estnégligeabledevantg,onécritalors
f =o(g).
x0
Sig nes’annulepasprèsdex sauféventuellementenx ,alors f estnégligeabledevantg siet
0 0
seulementsi
f(x)
lim =0.
x→x0g(x)
Notons que la relation "être négligeable" est une relation d’ordre (qui n’est pas totale), en par-
ticulier elle est transitive, c’est a dire si, f = o(g) et h = o(f) alors h = o(f). C’est pourquoi on
x0 x0 x0
utiliseégalement,àlaplacedelanotation f =o(g)lanotation
x0
f (cid:191)g oudemanièreéquivalente g (cid:192) f.
x0 x0
Lanotiondefonctionnégligeablepermetenparticulierdecomparerdesinfinimentpetitsprèsde
x ,etéventuellementdeséchellesd’infinimentspetits.
0
Exemple6. sil’onprendg égaleàlafonctionconstante1alors f =o(1)signifietoutsimplement
0
que
limf(x)=0,
x→0
etdemanièreplusgénérale f tendversLlorquex tendversx peuts’écrire
0
f(x)=L+o(1) oudemanièreéquivalente f(x +h)=L+o(1). (1.4)
0
x0 0
Onremarqueraégalementquesim etn sontdesnombresentierstelsque0≤m<n alors
xn(cid:191)xm,
0
cequinousfournituneéchelled’infinimentpetitstrèsutiliséepourcomparerdesfonctions
1(cid:192)x(cid:192)x2(cid:192)x3(cid:192)x4...
0 0 0 0
Revenons maintenant au développement (1.3) : ce dernier peut donc s’écrire, en utilisant les
notationsprécédentecomme
f(x +h)= f(x )+f(cid:48)(x )h+o(h). (1.5)
0 0 0
0 0
Lanotiondedérivéepermetdoncd’effectuerundéveloppementlimitéàl’ordre1,alorsquelano-
tiondelimitefournitundéveloppementlimitéàl’ordre0.Notonsaupassagequelacomparaison
de(1.5)etde(1.4)permetimmédiatementdedémontrer:
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