Table Of ContentJINDŘICH BEČVÁŘ
LINEÁRNÍ ALGEBRA
matfyzpress
PRAHA 2005
Všechna práva vyhrazena. Tato publikace ani žádná její část nesmí být rep rod uk o ván a nebo
šíř e na v žádné formě, elekt ron ic ké nebo mec ha nick é, včetně fot o ko pií, bez pís emn é ho sou-
hlas u vydavatele.
© Jindřich Bečvář, 2005
© MATFYZPRESS, vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty
Univerzity Karlovy v Praze, 2005
ISBN 80-86732-57-6
ISBN 80-85863-92-8 (druhé vydání)
ISBN 80-85863-61-8 (první vydání)
V lineární algebře se studují objekty tří typů: ma-
tice, prostory a algebraické formy. Teorie těchto ob-
jektů jsou navzájem těsně spjaty. Většina úloh line-
ární algebry připouští přirozenou formulaci v které-
koliztěchtotříteorií.Maticováformulacejeobyčejně
nejvhodnější pro výpočetní stránku věci. V geometrii
a mechanice vzniká většina úloh lineární algebry jako
úlohy zkoumající algebraické formy. Nejhlubšího po-
chopení vnitřních souvislostí mezi různými úlohami
lineárníalgebrysedosáhnepouzevyšetřovánímodpo-
vídajících lineárních prostorů, které jsou proto hlav-
ním předmětem studia lineární algebry.
A. I. Mal’cev (1909–1967)1
1Osnovy linejnoj algebry,třetívydánízroku1970,resp.čtvrtévydánízroku1975,str.9.
5
OBSAH
Předmluva................................................................7
I. ALGEBRAICKÝ ÚVOD
1. Množiny a zobrazení......................................................9
2. Tělesa...................................................................18
3. Okruhy, obory integrity..................................................27
4. Matice...................................................................32
5. Grupy...................................................................45
6. Permutace...............................................................51
II. VEKTOROVÉ PROSTORY
7. Prostory a podprostory...................................................61
8. Lineární závislost a nezávislost...........................................78
9. Direktní součet...........................................................94
10. Homomorfismy..........................................................101
III. MATICE
11. Maticová reprezentace homomorfismů...................................123
12. Hodnost matice, elementární úpravy.....................................133
13. Soustavy lineárních rovnic...............................................153
14. Determinanty...........................................................164
15. Metody výpočtu determinantů..........................................185
IV. PODOBNOST
16. Polynomiální matice....................................................197
17. Charakteristický a minimální polynom, vlastní čísla a vlastní vektory....219
18. Podobnost, Jordanův kanonický tvar....................................235
19. Weyrova teorie charakteristických čísel..................................265
20. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.....282
6
V. FORMY
21. Lineární formy..........................................................299
22. Semilineární formy na komplexních prostorech...........................322
23. Bilineární a kvadratické formy...........................................326
24. Seskvilineární a kvadratické formy na komplexních prostorech............344
25. Hermitovské a symetrické formy.........................................354
VI. SKALÁRNÍ SOUČIN
26. Unitární prostory.......................................................361
27. Unitární zobrazení......................................................382
28. Gramovy matice a determinanty ........................................388
29. Adjungované a samoadjungované homomorfismy.........................395
30. Formy na unitárních prostorech.........................................406
31. Pseudoinverzní homomorfismy a matice..................................414
Literatura..............................................................433
7
PŘEDMLUVA
Lineární algebra patří k základům vysokoškolské matematiky. Na jedné straně
přirozeným způsobem navazuje na některé partie matematiky středoškolské a za-
řazujejedouceleného systému, nadruhéstranějedůležitým východiskem dalších
matematických disciplín. Proto bývá na vysokých školách zařazována do prvního
ročníku.
Srovnánímvětšíhopočtuučebniclineárníalgebryjemožnosnadnonahlédnout,
že vymezení obsahu této disciplíny značně kolísá, že látku je možno pojmout nej-
různějším způsobem a že jednotlivé celky lze téměř libovolně permutovat. Rovněž
lze zaznamenat velké rozdíly v přístupu, ve výkladu a v míře obecnosti. Někdy je
lineární algebra prezentována jako soubor receptů pro řešení jednoduchých úloh
(soustavy lineárních rovnic o dvou, resp. třech neznámých, determinanty druhého
a třetího řádu, aplikace na analytickou geometrii v rovině a prostoru atd.), jindy
je vykládána jako teorie vektorových prostorů (obecně libovolné dimenze) nad
komutativním tělesem, někdy dokonce jako určitá partie teorie modulů.
Tento učební text je z velké části věnován klasickým partiím lineární algebry.
Snaží sepodat lineární algebru jako ucelenou algebraickou teorii vektorových pro-
storůajejichhomomorfismů.2 Bylsepsánnazákladěmnoholetýchzkušenostísvý-
ukou; částečně vyšel ze skript Vektorové prostory I, II, III, která byla vydávána
v SPN v letech 1978 až 1989. Výklad postupuje většinou standardním způsobem;
namnohamístechjsouvšakpoužitynepřílišobvyklépostupy,obratyadůkazy,kte-
rými byly během let přednášky vylepšovány“. Některé paragrafy (např. poslední
”
paragraf o pseudoinverzních homomorfismech a maticích) jsou pojaty netradičně.
První část, která je nazvána Algebraický úvod, je přípravná. Obsahuje zejména
definiceněkterýchzákladníchpojmůobecnéalgebry,kteréjsouvdalšímtextuuží-
vány, a řadu příkladů; větší pozornost jezdevěnována tělesům, maticím a permu-
tacím. Na několika málo místech se v dalším textu objeví v krátkých poznámkách
i pojmy, které v úvodu vysvětleny nebyly (např. normální podgrupa, index pod-
grupy, jádro grupového homomofismu apod.); tato skutečnost však není na újmu
srozumitelnosti výkladu.
Následující kapitoly Vektorové prostory, Matice, Podobnost, Formy a Skalární
součin jsou již zcela věnovány lineární algebře.
2 Do značné míry tak může být průpravou pro následné studium obecné algebry, které je
vsoučasnédobězařazenododruhéhoročníku.
8
Domnívám se, že není na škodu, obsahuje-li učební text i partie, které nejsou
přímo obsahem kursovní přednášky (např. Weyrova teorie charakteristických čí-
sel, racionální kanonické tvary matic), nebo partie, které ukazují využití lineární
algebry v jiných disciplínách. Např. 20.paragraf demonstruje roli, kterou hraje
Jordanův kanonický tvar, vlastní čísla a vlastní vektory při řešení soustav line-
árních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Snad budou tyto partie
inspirací pro další studium, snad přispějí k rozšíření obzorů.
Příklady, které jsou v textu na mnoha místech uvedeny, usnadňují na jedné
straně pochopení teoretických partií, na druhé straně demonstrují jednotlivé po-
četní postupy. Několik příkladů využívá i poznatků (zejména z analýzy), které
mohou být studentům v prvním semestru ještě cizí; většina z nich je však pro-
brána během prvního ročníku studia.
V seznamu literatury jsou uvedeny zejména klasické učebnice a učební texty,
kteréunásvminulýchletechpodstatnýmzpůsobemvýukulineárníalgebryovliv-
ňovaly.
Vtomtoučebnímtextupředpokládáme,žečtenářumířešitsoustavylineárních
rovnic některým ze způsobů, které se probírají na střední škole; ve 13. a 14. para-
grafu se pak naučí řešit soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussova eliminačního
algoritmu, Cramerova pravidla a dalšími způsoby.
Děkuji M. Hykšové, M. Němečkové a M. Ernestové, které s přípravou tohoto
textu pomohly.
Jindřich Bečvář
9
I. ALGEBRAICKÝ ÚVOD
1. MNOŽINY A ZOBRAZENÍ
V tomto paragrafu připomeneme některé základní matematické pojmy a jejich
vlastnosti, zavedeme několik symbolů a termínů; navíc stručně uvedeme některá
důležitá fakta o množinách.
V celém textu budeme užívat následující označení:
P — množina všech prvočísel,
N — množina všech přirozených čísel, tj. N= 1,2,3,... ,
{ }
Z — množina všech celých čísel,
Q — množina všech racionálních čísel,
R — množina všech reálných čísel,
C — množina všech komplexních čísel.
Budeme užívat i tzv. kvantifikátory; můžeme je chápat jako symboly pro násle-
dující slovní označení:
— pro každé, — existuje.
∀ ∃
V celém textu budeme předpokládat znalost základních poznatků o množinách
amnožinovýchoperacích(podmnožina,sjednocení,průnik,rozdíl,kartézskýsoučin
apod.).
Zdůrazněme, že nelze uvažovat množinu všech množin — to vede k logickým
sporům; proto se na několika místech objeví termín třída všech množin.
Poznamenejme,žeodmnožinyjetřebaodlišovatsoubor;zatímcomnožinaobsa-
hujeprvky navzájem různé, v souboru semohou prvky i vícekrát opakovat. Např.
1,1,2,1,3,2,2,3,2,3 jesoubor,kterýobsahujeprvek1třikrát,prvek2čtyřikrát
{ }
a prvek 3 třikrát.
Často se setkáme s tzv. indexovaným souborem. Jsou-li Λ a X množiny, pak
x ; α Λ , resp. x
α α α Λ
{ ∈ } { } ∈
je indexovaný soubor prvků množiny X, jestliže x X pro každé α Λ (indexy
α
∈ ∈
probíhají množinu Λ); znamená to, že každému α Λ je jednoznačně přiřazen
∈
prvek x X. Znovu zdůrazněme, že jednotlivé prvky x nemusí být navzájem
α α
∈
různé.
V následujícím odstavci budeme definovat zobrazení a některé jeho speciální
typy;tytopojmyjetřebadobřepochopit,závisínatomporozuměníceléhodalšího
textu.
10 I. ALGEBRAICKÝ ÚVOD
1.1. Definice. Zobrazením f množiny A do množiny B rozumíme předpis, který
každému prvku a A přiřazuje právě jeden prvek f(a) B.
∈ ∈
Zobrazeníf senazývá prosté,resp.injektivní (též injekce), jestližerůznéprvky
množiny A zobrazuje na různé prvky množiny B, tj.
a ,a A a =a = f(a )=f(a ) .
1 2 1 2 1 2
∀ ∈ (cid:5) ⇒ (cid:5)
Řekneme,žezobrazeníf jezobrazenímmnožinyAnamnožinuB,resp.surjek-
tivním zobrazením (též surjekce), jestliže na každý prvek množiny B se zobrazí
alespoň jeden prvek množiny A, tj.
b B a A f(a)=b .
∀ ∈ ∃ ∈
Zobrazení, které je současně injektivní a surjektivní (tj. prosté a na), se nazývá
vzájemně jednoznačné, resp. bijektivní (též bijekce). Bijektivní zobrazení f mno-
žinyAnamnožinuB jetedycharakterizováno touto podmínkou: prokaždéb B
∈
existuje právě jediný prvek a A, pro který je f(a)=b.
∈
1.2. Příklady.
(i) Zobrazení, které každému číslu n Z přiřazuje číslo n, je bijekce množiny Z
∈ −
na množinu Z.
(ii) Zobrazení, které každému číslu n Z přiřazuje číslo 2n, je injekce množiny Z
∈
do množiny Z. Toto zobrazení není surjekce, a tedy ani bijekce.
(iii)Zobrazení,kterékaždémučíslun Zpřiřazuječíslo n+1,jesurjekcemnožiny
∈ | |
Z na množinu N. Toto zobrazení není injekce, a tedy ani bijekce.
(iv) Zobrazení, které každému číslu x R přiřazuje číslo x3, je bijekce množiny R
∈
na množinu R.
(v)Zobrazení,kterékaždémučíslux Rpřiřazuječíslox2,jesurjekcemnožinyR
∈
na množinu všech nezáporných reálných čísel. Toto zobrazení není injekcí, a tedy
ani bijekcí.
(vi) Zobrazení, které každému číslu x R přiřazuje číslo ex, je injekce množiny R
∈
domnožinyR.TotozobrazeníjemožnochápatjakobijekcimnožinyRnamnožinu
všech kladných reálných čísel.
(vii) Indexovaný soubor x ; α Λ , kde pro každé α je x X, není nic jiného
α α
{ ∈ } ∈
než zobrazení množiny Λ do množiny X.
(viii) Zobrazení množiny A na množinu A, které každému prvku a A přiřadí
∈
stejný prvek a, je bijekce. Je to tzv. identita, značí se většinou symbolem 1 .
A
(ix) Zobrazení kartézského součinu A A do množiny A je tzv. binární operace
×
na množině A. Každým dvěma prvkům x,y množiny A je přiřazen jednoznačně
určený prvek této množiny; často se označuje x y, xy, x+y apod. Zdůrazněme,
·
že obecně závisí na pořadí prvků x,y, tj. nemusí vždy být x y =y x.
· ·
