Linearna algebra

155 Pages·2018·0.988 MB·Serb

by  Ognjen Milinkovic, Zoran Petric

Linearna algebra
skripta
Januar 2013.

Reˇc autora
Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen
za studente Odseka za informatiku, Matematiˇckog fakulteta Univerziteta u Beogradu.
Nova verzija je proˇsirena u nameri da obuhvati sadrˇzaj kurseva Linearna algebra A i
B za studente prve godine Matematiˇckog fakulteta. Kao inspiracija starog teksta je
posluˇzio udˇzbenik [3].
Neki delovi ovog teksta su nastali pod uticajem knjiga [2], [1], [12], [8] i [11].
Studentima savetujem da koriste udˇzbenike [7], [5], [6] kao i skripta [13].
Svi komentari su dobrodoˇsli!
U Beogradu, 16. mart 2015. Zoran Petri´c
Dopuna
Poˇcetkom 2018. Ognjen Milinkovi´c se ukljuˇcio u sred¯ivanje skripata i izmenio redosled
nekih delova, a takod¯e promenio i dopunio njihov sadrˇzaj. To se najviˇse odnosi na
odeljak 11.4. Obojica se nadamo da ´ce ovako izmenjen tekst biti pristupaˇcniji studen-
tima.
U Beogradu, 22. mart 2018. Ognjen Milinkovi´c i Zoran Petri´c
[email protected], [email protected]
Zahvalnica
Zahvaljujem se asistentu Filipu Samardˇzi´cu koji je pomogao u izradi prve verzije ovog
teksta. Zahvaljujem se i kolegi Marku Crnobrnji koji je paˇzljivo proˇcitao skripta i
ukazao mi na greˇsku u formulaciji Male leme o zameni u prethodnoj verziji. Zahvalju-
jem se i kolegi Ognjenu Milinkovi´cu koji je paˇzljivo pratio kurs, ukazao mi na neke
nedoslednosti i sugerisao lepˇse dokaze nekih tvrd¯enja.
Posebno bih hteo da se zahvalim prof. Mirjani Borisavljevi´c na dragocenim komen-
tarima i savetima koji su mi pomogli u pripremi zavrˇsne verzije ovog teksta.
v

ˇ
SADRZAJ
Reˇc autora v
Zahvalnica v
Osnovni pojmovi i notacija xi
Odeljak 1. 1
§1.1. Skup Rn i neke operacije 1
§1.2. Sistemi linearnih jednaˇcina 2
§1.3. Gausove operacije 2
§1.4. Predstavljanje opˇsteg reˇsenja 4
§1.5. Matrice i skra´ceni zapis Gausove metode 6
Odeljak 2. 9
§2.1. Redukovana stepenasta forma 9
§2.2. Vektorski prostori 11
Odeljak 3. 15
§3.1. Potprostori i linearni omotaˇci 15
§3.2. Linearna nezavisnost 17
Odeljak 4. 21
§4.1. Baza vektorskog prostora 21
§4.2. Dimenzija vektorskog prostora 23
Odeljak 5. 27
§5.1. Vektorski prostori i linearni sistemi 27
§5.2. Neke operacije s potprostorima 30
Odeljak 6. 35
§6.1. Linearna preslikavanja, izomorfizmi 35
§6.2. Linearna preslikavanja (homomorfizmi) 38
§6.3. Slika i jezgro linearnog preslikavanja 40
Odeljak 7. 43
§7.1. Reprezentacija linearnih preslikavanja 43
vii
viii Sadrˇzaj
§7.2. Svaka matrica reprezentuje linearno preslikavanje 46
§7.3. Mnoˇzenje matrica 48
Odeljak 8. 53
§8.1. Elementarne redukcijske matrice 53
§8.2. Inverzne matrice 54
§8.3. Promena baze 56
§8.4. Promena reprezentacije preslikavanja 57
Odeljak 9. 61
§9.1. Determinante, definicija i osnovna svojstva 61
§9.2. Minori i kofaktori 64
§9.3. Kramerova teorema 66
Odeljak 10. 69
§10.1. Linearni operatori i sliˇcnost matrica 69
§10.2. Dijagonalizabilnost 70
§10.3. Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori 71
Odeljak 11. 75
§11.1. Minimalni polinom 75
§11.2. Nilpotentnost 78
ˇ
§11.3. Zordanova normalna forma 81
§11.4. Homogene linearne diferencne jednaˇcine 86
Odeljak 12. 91
§12.1. Viˇsestruka uloga Rn 91
§12.2. Skalarni proizvod i norma vektora u Rn 92
§12.3. Ortogonalna projekcija vektora na pravu 97
Odeljak 13. 99
ˇ
§13.1. Gram-Smitov postupak ortogonalizacije 99
§13.2. Ortogonalna projekcija vektora na potprostor 101
Odeljak 14. 105
§14.1. Ortogonalne matrice 105
§14.2. Hermitski prostor Cn 106
§14.3. Simetriˇcne matrice 106
Sadrˇzaj ix
Odeljak 15. 111
§15.1. Linearne forme, dualni prostor 111
§15.2. Simetriˇcni operatori 112
§15.3. Dvostruki dualni prostor 113
§15.4. Bilinearna preslikavanja 114
Odeljak 16. 117
§16.1. Realne kvadratne forme 117
§16.2. Kanonske jednaˇcine konika 119
§16.3. Kanonske jednaˇcine kvadrika 122
§16.4. Definitne kvadratne forme 122
Odeljak 17. Dodatak 127
§17.1. Skupovi 127
§17.2. Relacije 128
§17.3. Funkcije 129
§17.4. Posebne relacije 132
§17.5. Kardinali 134
§17.6. Operacije 135
§17.7. Operacijske strukture 136
Literatura 139
Indeks 141

OSNOVNI POJMOVI I NOTACIJA
∅ prazan skup
{x ,...,x } konaˇcan skup; x (cid:54)= x za i (cid:54)= j
1 n i j
|X| broj elemenata konaˇcnog skupa X
(x,y) ured¯en par; (x ,y ) = (x ,y ) ⇔ (x = x ∧y = y )
1 1 2 2 1 2 1 2
X −Y razlika skupova X i Y: {x | x ∈ X ∧x (cid:54)∈ Y}
X ×Y Dekartov proizvod skupova X i Y: {(x,y) | x ∈ X ∧y ∈ Y}
N skup prirodnih brojeva: {0,1,2,...}
N+ skup prirodnih brojeva ve´cih od nule: {1,2,...}
Z skup celih brojeva: {...,−2,−1,0,1,2,...}
R skup realnih brojeva
C skup kompleksnih brojeva
z konjugovanje kompleksnih brojeva x+iy = x−iy
ρ ⊆ X ×X refleksivna (∀x ∈ X)(x,x) ∈ ρ
ρ ⊆ X ×X simetriˇcna (∀x,y ∈ X)((x,y) ∈ ρ ⇒ (y,x) ∈ ρ)
ρ ⊆ X ×X tranzitivna (∀x,y,z ∈ X)(((x,y) ∈ ρ∧(y,z) ∈ ρ) ⇒ (x,z) ∈ ρ)
ρ ⊆ X ×X rel. ekvivalencije refleksivna, simetriˇcna i tranzitivna
1 identitet na X: (∀x ∈ X)1 (x) = x
X X
f(cid:22) ograniˇcenje (restrikcija) funkcije na podskup domena
A
f: X → Y je 1-1 (∀x ,x ∈ X)(f(x ) = f(x ) ⇒ x = x )
1 2 1 2 1 2
f: X → Y je na (∀y ∈ Y)(∃x ∈ X)y = f(x)
f: X → Y je bijekcija 1-1 i na, tj. postoji g: Y → X tako da je
g◦f = 1 i f ◦g = 1
X Y
xi
xii Osnovni pojmovi i notacija
V, W, U vektorski prostori
U ≤ V U je potprostor od V
(cid:126)v, w(cid:126), (cid:126)u vektori
(cid:104)(cid:126)v ,...,(cid:126)v (cid:105) niz vektora
1 n
B, B baza vektorskog prostora, skup elemenata baze
P ili Rn+1[x] prostor polinoma po x stepena ne ve´ceg od n
n
[S] linearni omotaˇc skupa vektora S
U +W suma potprostora nekog prostora
U ⊕W direktna suma potprostora nekog prostora
A, B, C matrice
A (cid:59) B matrica A se vrsta-redukuje na matricu B
AT transponovana matrica
E jediniˇcna matrica tipa n×n
n
A−1 obostrani inverz za A
0 nula matrica tipa m×n
m×n
M skup matrica nad R tipa m×n
m×n
M skup kvadratnih matrica nad R tipa n×n
n
VX prostor funkcija iz skupa X u prostor V
L(V,W) prostor linearnih preslikavanja iz V u W
L(V) prostor linearnih operatora na V