Линеарна алгебра Linearna algebra

442 Pages·2010·1.736 MB·Serbian

by  Момир В. Ћелић, Биљана Сукара Ћелић Momir V. Ćelić, Biljana Sukara Ćelić

MOMIR V. (cid:130)ELI(cid:130) BILJANA SUKARA - (cid:130)ELI(cid:130)
LINEARNA ALGEBRA
Banja Luka, 2009.
ii
iii
Sinovima Branislavu i Aleksandru
iv
Sadr”aj
1 Uvod 1
1.1 Osnovni pojmovi matemati£ke logike . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Elementi teorije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Binarne relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Relacija ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Relacija parcijalnog ure(cid:158)enja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Invertibilnost preslikavanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Binarne operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9 Algebarske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10 Algebarske strukture sa dvije binarne operacije . . . . . . . . 55
1.10.1 Prsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.10.2 Tijelo i polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.11 Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.12 Princip matemati£ke indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.13 Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.14 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.14.1 Principi prebrojavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.14.2 Permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.14.3 Varijacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.14.4 Kombinacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.14.5 Binomna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.14.6 Varijacije sa ponavljanjem . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.14.7 Princip uklju£enja - isklju£enja . . . . . . . . . . . . . 104
1.15 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.15.1 Polinomne jedna£ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.15.2 Dijeljenje polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.15.3 Nule polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
v
vi SADR(cid:154)AJ
1.15.4 Hornerov postupak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.15.5 Nule realnih polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.15.6 Neka analiti£ka svojstva polinoma . . . . . . . . . . . 136
2 Vektorski prostori i linearni operatori 143
2.1 De(cid:28)nicija vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.2 Primjeri vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3 Potprostor vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.4 Linearan omota£ vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.5 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora . . . . . . . . . . . . 158
2.6 Baza i dimenzija vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . 164
2.7 Izomor(cid:28)zam vektorskih prostora. . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.8 Linearna preslikavanja vektorskih prostora . . . . . . . . . . . 175
2.9 Relacije i operacije u skupu linearnih operatora . . . . . . . . 189
2.10 Invertibilnost linearnih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3 Matrice 203
3.1 De(cid:28)nicija matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.2 Matri£na algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.1 Sabiranje matrica i mno”enje matrice skalarom . . . . 206
3.2.2 Mno”enje matrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2.3 Transponovane i konjugovane matrice . . . . . . . . . 212
3.2.4 Mno”enje matrica razbijenih na blokove . . . . . . . . 214
3.3 Determinanta matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.4 Svojstva determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.5 Minori i kofaktori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.6 Ra£unanje determinanata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.7 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4 Sistemi linearnih algebarskih jedna£ina 233
4.1 Osnovni pojmovi i oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.2 Matri£ni metod i Kramerove formule . . . . . . . . . . . . . . 236
4.3 Rje†avanje trougaonih sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4 Gausov metod eliminacije za kvadratne sisteme . . . . . . . . 241
4.5 Gaus-(cid:154)ordanov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.6 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.7 Odre(cid:158)ivanje ranga matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.7.1 Stepenasta forma u odnosu na vrste . . . . . . . . . . 261
4.7.2 Redukovana stepenasta forma . . . . . . . . . . . . . . 264
4.8 Analiza saglasnosti linearnih sistema . . . . . . . . . . . . . . 271
SADR(cid:154)AJ vii
4.9 Homogeni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.10 Nehomogeni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.11 Fundamentalni potprostori matrice . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.12 Promjene koordinata izazvane promjenom baze . . . . . . . . 305
5 Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice 317
5.1 Osnovni pojmovi i oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.2 Odre(cid:158)ivanje sopstvenih vrijednosti i sopstvenih vektora . . . . 320
5.3 Sli£nost matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.3.1 (cid:146)urova teorema o triangularizaciji . . . . . . . . . . . . 347
5.4 Pozitivno odre(cid:158)ene matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6 Euklidovi i unitarni prostori 363
6.1 De(cid:28)nicija Euklidovog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.2 Vektorska norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.3 Matri£na norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6.4 Ortogonalnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.4.1 Ortogonalni skupovi vektora . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.4.2 Ortogonalna dopuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
6.5 Fundamentalni potprostori matrice ponovo . . . . . . . . . . . 403
6.6 Unitarni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.7 Prostor geometrijskih vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.7.1 Skalarni proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.7.2 Vektorski proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.7.3 Mje†oviti proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
viii SADR(cid:154)AJ
Poglavlje 1
Uvod
1.1 Osnovni pojmovi matemati£ke logike
Svakasmislenare£enicakojajeilita£nailineta£nanazivasesud iliiskaz.
Re£enica ,,Ja sam student(cid:16) jeste sud (njena ta£nost zavisi od toga ko je
izgovara). Re£enica ,,Koliko je sati?(cid:16) jeste smislena, ali za nju nije mogu¢e
re¢i ni da je ta£na ni da je neta£na, pa to nije sud. Re£enica ,,Matematika i
brod su do†li sutra(cid:16) nije sud zato †to to nije smislena re£enica.
A,B,C,....
Sudove ¢emo ozna£avati velikim latinskim slovima Od datih
A B
sudova i mogu se formirati novi sudovi.
A B A B A∧B.
Sud ,, i (cid:16) naziva se konjukcija sudova i i ozna£ava sa Taj
A B
novi sud je ta£an samo ako su i i ta£ni sudovi.
A B A B A∨B.
Sud ,, ili (cid:16) naziva se disjunkcija sudova i i ozna£ava sa
A∨B A, B
Disjunkcija je ta£na ako je ta£an bar jedan od sudova .
A, B A ⇒ B.
Sud ,,ako onda (cid:16) naziva seimplikacija i ozna£ava sa Taj sud
A B
je neta£an jedino u slu£aju kada je sud ta£an i sud neta£an. Implikacija
A ⇒ B A B A
mo”e se interpretirati kao sud ,,iz slijedi (cid:16), odnosno ,, povla£i
B A B B
(cid:16), a ona tako(cid:158)e ima zna£enje ,, je dovoljan uslov za (cid:16), odnosno ,, je
A
potreban uslov za (cid:16).
A ⇒ B ∧ B ⇒ A A B
Slo”eni sud naziva se ekvivalencija sudova i i
A ⇔ B. A ⇔ B A B
ozna£ava sa Sud je ta£an ako su sudovi i ili oba ta£na
A ⇔ B, A
ili oba neta£na. Ako je tada je sud potreban i dovoljan da bi
B, B A.
va”io sud odnosno vrijedi ako i samo ako vrijedi
A A ¬A.
Sud ,,nije (cid:16) naziva se negacija suda i ozna£ava sa Taj sud je
A
ta£an samo ako je sud neta£an.
U vezi sa negacijom navodimo sljede¢u ekvivalenciju
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
1
2 Poglavlje 1. Uvod
koja se naziva zakon kontrapozicije i koja omogu¢ava da se dokazivanje suda
A ⇒ B ¬B ⇒ ¬A.
zamijeni dokazivanjem suda
Da bi se izbjegla stalna ponavljanja nekih izraza koji se javljaju pri
navo(cid:158)enju sudova, uvode se simboli koji slu”e kao njihova zamjena. Tako
∀,
se izrazi ,,za svaki(cid:16), odnosno ,,za proizvoljan(cid:16) zamjenjuju simbolom dok
∃
simbol slu”i kao zamjena za izraz ,,postoji(cid:16), odnosno ,,postoji bar jedan(cid:16).
∀ ∃
Ti simboli nazivaju se kvanti(cid:28)katori. Pri tome je univerzalni, a egzisten-
cijalni kvanti(cid:28)kator.
1.2 Elementi teorije skupova
Pojam skupa predstavlja osnovni matemati£ki pojam i on se ne de(cid:28)ni†e
jer ga nije mogu¢e opisati jednostavnijim matemati£kim pojmovima. Skup
se zadaje tako †to se navode svi njegovi elementi ili tako †to se zadaje neko
pravilo ili kriterijum na osnovu kojeg se mo”e zaklju£iti da li neki element
pripada ili ne pripada posmatranom skupu.
A,B,C,....
Skupove ¢emo ozna£avati velikim latinskim slovima Ako je
S x,y,z,...,
skup £iji su elementi tada pi†emo
S = {x,y,z,...}.
Zapis
S = {x : P(x)}
koristi se kada se ”eli ukazati na pravilo (svojstvo) na osnovu kojeg se
S. S
utvr(cid:158)uje pripadnost skupu U ovom slu£aju skup £ine svi oni elementi
x P.
koji imaju svojstvo
A S P,
Ako skup £ine svi oni elementi skupa koji imaju svojstvo tada
A = {a ∈ S : P(a)}.
pi†emo Na primjer,
A = {n ∈ N : n je prost broj oblika n = 4k+1}.
A
Elementi skupa su 5,13,17,29,37,41,53,57,61,73,.... Da smo stavili
A = {5,13,17,29,37,41,53,57,61,73,...},
ne bi bilo jasno †ta su ostali elementi tog skupa, pa je onaj prvi na£in zapi-
A
sivanja skupa pogodniji.
Sljede¢i skupovi su zapisani kori†¢enjem nekih od uvedenih oznaka
A = {1,2,3}, B = {2,4,6,8,10,...}, C = {x ∈ R : x2−4x+3 < 0}.