Lineare und nichtlineare FEM: Eine Einführung mit Anwendungen in der Umformsimulation mit LS-DYNA®

325 Pages·2017·6.41 MB·German

by  Marcus Wagner (auth.)

Marcus Wagner
Lineare und
nichtlineare FEM
Eine Einführung mit Anwendungen
in der Umformsimulation mit LS-DYNA®
Lineare und nichtlineare FEM
Marcus Wagner
Lineare und nichtlineare FEM
Eine Einführung mit Anwendungen in der
Umformsimulation mit LS-DYNA®
MarcusWagner
FakultätMaschinenbau
OTHRegensburg
Regensburg,Deutschland
ISBN978-3-658-17865-9 ISBN978-3-658-17866-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-17866-6
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Lektorat:ThomasZipsner
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Vorwort
Foreverycomplexproblemthereisananswer
thatisclear,simple–andwrong
ParaphrasenachH.L.Mencken,1917
Die Inhalte des Buches bauen auf den Vorlesungen über lineare und nichtlineare Finite-
Elemente-Methoden(FEM)imBachelor-undMasterstudiumanderOstbayerischenTech-
nischen Hochschule Regensburg auf, die ich seit einigen Jahren halte, sowie auf meiner
langjährigenTätigkeitalsBerechnungsingenieurinderBlechumformsimulation.
SowohlinderLehrealsauchinderPraxisbestehtdieSchwierigkeitzuvermitteln,dass
vorgeblicheinfachzubedienendeBerechnungsprogrammenurzusinnvollenundverläss-
lichenLösungenführen,wennderAnwenderversteht,washinterderBenutzerschnittstelle
abläuftundmansichdeswegenauchalsAnwendermitdentheoretischenHintergründen
beschäftigenmuss.Diestrifftumsomehrzu,dakommerzielleFE-Programmeeinenstetig
wachsendenFunktionsumfanghaben,mitimmerkomplexerenInhalten.
DasBuchzieltdaraufab,einenmöglichstabgeschlossenenÜberblicküberdielineare
undnichtlinearedynamischeBerechnungvonStrukturenmitFinite-Elemente-Methoden
zu bieten. Der Fokus liegt auf einer Erklärung der Zusammenhänge, die für Anwender
kommerziellerSoftwarenotwendigsind.Dabeiistesunumgänglichvielesverkürztdarzu-
stellenoderauchThemenfelderkomplettauszusparen.AufdieDarstellungtheoretischer
Inhaltekannnichtverzichtetwerden,dieFEMisteinnumerischesVerfahren.Siewerden
abernursoweitdargestellt,wiefürdenAnwendererforderlich.DerEinsatzdertheoreti-
schenInhalteinderBlechumformsimulationmitLS-DYNAzeigtfüreinenpraxisnahen
Fall,dassdiesesWissennotwendigist,auchfürdenreinenBenutzereinesFE-Programms.
Die Literatur in diesem Gebiet ist unüberschaubar umfangreich. Um den Lehrbuch-
charakter zu erhalten, wird nur ein kleiner Ausschnitt von möglichen Literaturstellen
angegeben.EswirdimmerdiekonkreteStelleineinerReferenzgenannt,sodassderLeser
vondortausauchdieweitereLiteraturerschließenkann.
DieKapitel1bis8umfasseneinegenerelleEinführungindielineareFEM.Daraufbau-
endieKapitel9bis13auf,diediewesentlichennichtlinearenAspektederFEMenthalten,
mit einem Fokus auf dynamische Effekte. Im letzten Kapitel 14 werden die theoreti-
schen Inhalte der nichtlinearen FEM am Beispiel einer Blechumformsimulation in Ihrer
Anwendung erläutert. Weiterhin wird eine kurze Einführung in das FE-Programmpaket
LS-DYNAimAnhangangegeben.
DasBuchrichtetsichanStudierendeausBachelor-undMasterstudiengängenderInge-
nieurwissenschaftensowieanIngenieureinderIndustrie,dieinihrerberuflichenPraxis
mitFinite-Element-BerechnungenzutunhabenundaneinemtieferenEinblickinteressiert
v
vi Vorwort
sind,alserüblicherweiseinGrundlagenkursenoderSchulungenvermitteltwird.Anwen-
derdesProgrammsLS-DYNAsindangesprochen,dadiesesProgrammgenutztwird,um
anpraktischenBeispielendiezuvoreingeführtentheoretischenInhaltezuverdeutlichen.
DasselbegiltfürBerechnerimBereichderBlechumformsimulation,dadienichtlinearen
InhaltedesBuchesandiesemBeispieldemonstriertwerden.
AlsVoraussetzungsolltemanGrundkenntnissederTechnischenMechanikmitbringen,
wiesieinjedemIngenieurstudiumvermitteltwerden.VorkenntnisseüberFinite-Elemente-
Methodensindnichtnotwendig.
Zusatzunterlagen (Beispielprogramme, Kommandodateien etc.) können auf der Ver-
lagsseite www.springer.com direkt beim Buch (im Download-Bereich unterhalb des In-
haltsverzeichnisses)heruntergeladenwerden.
AmGelingeneinessolchenBuchprojektessindvielePersonenbeteiligt,ohnediedies
sonichtmöglichwäre.MeinherzlicherDankgiltHerrnDr.-Ing.IngoHeinle,HerrnDr.-
Ing.BerndHochholdinger,FrauMagdaMartins-Wagner,M.Sc.undHerrnProf.Dr.-Ing.
habil. Kai Willner für das Korrekturlesen und die vielen Hinweise. Der Ostbayerischen
TechnischenHochschuleRegensburgseigedanktfürdiegroßzügigeUnterstützungwäh-
rendderErstellungdesBuches.DemSpringerViewegVerlag,vorallemFrauImkeZander
undHerrnThomasZipsnerausdemLektoratMaschinenbau,dankeichfürdieangenehme
ZusammenarbeitunddiewertvollenAnregungen.
Regensburg,Juli2017 MarcusWagner
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung.......................................................... 1
1.1 GrundlegendeProblemstellungundLösungsmethoden ................ 1
1.2 VorgehensweisebeiBerechnungsaufgaben .......................... 4
1.3 EinsatzgebietederFinite-Elemente-Methode......................... 4
Literaturverzeichnis .................................................. 6
2 EinführungindielineareFEM ....................................... 7
2.1 GrundgedankederFEMamBeispieldesStabs ....................... 8
2.1.1 MathematischeBeschreibungdesphysikalischenSystems ....... 8
2.1.2 DiskretisierunginfiniteElemente ........................... 11
2.1.3 BerechnungderElementmatrizen............................ 14
2.2 DiskretisierungeinesFachwerks ................................... 15
2.2.1 DiskretisierunginfiniteElemente ........................... 15
2.2.2 TransformationvonnatürlichenaufglobaleKoordinaten ........ 16
2.2.3 ZusammenbaudesGleichungssystems ....................... 19
2.2.4 EinbringenvonRandbedingungen ........................... 22
2.2.5 LösendesGleichungssystems............................... 22
2.3 Beispiel:StabmitveränderlichemQuerschnitt ....................... 24
2.4 Aufgaben ...................................................... 27
3 MechanischeGrößenderStrukturmechanik ........................... 29
3.1 FormulierungdesRandwertproblems............................... 29
3.2 DerSpannungszustand ........................................... 31
3.2.1 DerSpannungsdeviator .................................... 34
3.3 ZugeordneterVerzerrungszustand.................................. 35
3.4 Gleichgewichtsbedingungen....................................... 37
3.5 Voigt-Notation.................................................. 37
3.6 Verallgemeinerteslinear-elastischesMaterialgesetznachHooke......... 38
3.7 EbenerSpannungs-undVerzerrungszustand ......................... 39
Literaturverzeichnis .................................................. 40
vii
viii Inhaltsverzeichnis
4 MathematischeModellierungüberEnergieprinzipien ................... 41
4.1 DasPrinzipvomMinimumdesGesamtpotenzials .................... 41
4.1.1 Einführungsbeispiel ....................................... 42
4.1.2 GesamtpotenzialeinesStabs................................ 45
4.1.3 AllgemeinesPrinzipvomMinimumdesGesamtpotenzials....... 46
4.2 DasPrinzipdervirtuellenVerschiebung............................. 47
4.3 MethodedergewichtetenResiduenamBeispieldesStabs.............. 52
Literaturverzeichnis .................................................. 54
5 DiskretisierungmitfinitenElementen ................................. 55
5.1 DefinitiondesNäherungsansatzesfüreinElement .................... 56
5.1.1 DieFormfunktionsmatrix .................................. 56
5.1.2 NäherungsansatzfürDehnungenundSpannungen.............. 58
5.2 DiskretisierungdesPrinzipsvomMinimumdesGesamtpotenzials ...... 58
5.3 DiskretisierungdesPrinzipsdervirtuellenVerschiebung............... 60
5.4 AufbaudesGesamtgleichungssystems .............................. 62
5.4.1 EigenschaftenderGesamtsteifigkeitsmatrix ................... 64
5.5 EinbringenvonRandbedingungen.................................. 65
5.6 LösunglinearerGleichungssysteme ................................ 67
5.6.1 DirekteGleichungslöser ................................... 67
5.6.2 IterativeGleichungslöser................................... 70
5.6.3 Modellreduktionstechniken................................. 72
5.7 Aufgaben ...................................................... 74
Literaturverzeichnis .................................................. 74
6 Finite-Elemente-Klassen ............................................. 75
6.1 KlassifizierungvonElementen .................................... 75
6.2 DasisoparametrischeKonzept..................................... 76
6.3 EindimensionaleElemente........................................ 81
6.3.1 Zweiknotiges,linearesStabelement .......................... 81
6.3.2 Dreiknotiges,quadratischesStabelement...................... 83
6.3.3 Balkenelemente .......................................... 84
6.4 ZweidimensionaleElemente ...................................... 89
6.4.1 Scheibenelement.......................................... 90
6.4.2 Schalenelemente.......................................... 95
6.5 DreidimensionaleElemente .......................................100
6.5.1 Hexaederelemente ........................................100
6.5.2 Pentaederelemente ........................................101
6.5.3 Tetraederelemente ........................................102
6.6 Aufgaben ......................................................103
Literaturverzeichnis ..................................................103
7 MathematischeundnumerischeAspektederFEM......................105
7.1 MathematischeAnforderungenanfiniteElemente ....................105
7.1.1 BedingungenfürdieKonvergenzderLösung ..................105
7.1.2 VerfahrenzurReduktiondesDiskretisierungsfehlers............107
Inhaltsverzeichnis ix
7.2 NumerischeIntegration ..........................................110
7.2.1 Newton-Cotes-Quadratur...................................111
7.2.2 Gauß-Quadratur ..........................................114
7.2.3 MehrdimensionaleIntegrale ................................115
7.2.4 AnwendungshinweisezumIntegrationsverfahren...............118
7.3 Elementversteifung(Locking) .....................................120
7.3.1 BeschreibungdesLocking-Effekts...........................120
7.3.2 MaßnahmenzurVermeidungvonElementversteifung...........121
7.3.3 Null-Energie-Moden ......................................124
7.4 Praxis-HinweisezurModellierung .................................125
7.4.1 Vernetzungsmethoden .....................................126
7.4.2 AnforderungenandieElementauswahlundVernetzung .........127
7.4.3 AusnutzungvonSymmetrienbeiderVernetzung...............129
7.5 Aufgaben ......................................................130
Literaturverzeichnis ..................................................130
8 LinearezeitabhängigeFEM ..........................................131
8.1 HerleitungderdynamischenFEMübervirtuelleVerschiebungen........132
8.2 NumerischeModalanalyse ........................................133
8.2.1 ModaleTransformation ....................................137
8.2.2 ModaleReduktion ........................................138
8.2.3 NäherungsweiseBerechnungdesEigenwertproblems ...........139
8.2.4 AnwendungsgebietederModalanalyse .......................141
8.3 BerücksichtigungvonDissipationseffekten ..........................141
8.3.1 ProportionaleundmodaleDämpfung ........................143
8.4 Frequenzganganalyse ............................................145
Literaturverzeichnis ..................................................148
9 GeometrischeNichtlinearität ........................................149
9.1 EinführungzurgeometrischenNichtlinearität ........................150
9.2 KinematischeBeschreibung.......................................151
9.2.1 Konfigurationen ..........................................151
9.2.2 Deformations-undVerschiebungsgradient ....................153
9.3 BeispieleeindimensionalerVerzerrungs-undSpannungsmaße..........155
9.4 AllgemeinenichtlineareVerzerrungsmaße...........................158
9.5 ZeitlicheAbleitungenderDeformation..............................161
9.6 TransformationvonVolumen-undFlächenelementen .................163
9.7 SpannungsmaßebeinichtlinearerBetrachtung .......................165
9.8 EnergieprinzipieninnichtlinearerForm.............................166
9.8.1 Upgedatete-Lagrange-Formulierung .........................167
9.8.2 Totale-Lagrange-Formulierung..............................169
9.8.3 Diskretisierung ...........................................170
Literaturverzeichnis ..................................................172
x Inhaltsverzeichnis
10 MaterielleNichtlinearität ...........................................173
10.1 ÜbersichtüberkonstitutiveBeziehungen ............................174
10.2 Eindimensionales,zeitunabhängiges,elastoplastischesVerhalten ........176
10.2.1 MathematischeFormulierung ...............................177
10.3 MehrachsigedehnratenunabhängigeElastoplastizität ..................183
10.3.1 DieFließbedingung .......................................184
10.3.2 DieFließregel ............................................188
10.3.3 DasVerfestigungsgesetz ...................................189
10.3.4 DieKonsistenzbedingungunddieMaterialtangente.............191
10.3.5 BerücksichtigungderDehnratenabhängigkeit..................192
10.4 NumerischeUmsetzungder J -Plastizität............................193
2
Literaturverzeichnis ..................................................196
11 Kontaktmodellierung................................................197
11.1 GrundlegendeBegriffe ...........................................198
11.1.1 BedingungfürNormalkontakt ..............................199
11.1.2 BehandlungvontangentialemGleiten ........................201
11.2 VerfahrenzurKontaktdetektion....................................202
11.3 Kontaktformulierungen...........................................205
11.3.1 KinematischeZwangsbedingungen(Multi-Point-Constraint) .....206
11.3.2 Penalty-Verfahren.........................................206
11.3.3 Lagrange-Multiplikator-Verfahren ...........................209
11.3.4 Augmented-Lagrange-Verfahren.............................210
Literaturverzeichnis ..................................................210
12 GleichungslösungbeinichtlinearenstatischenProblemen................211
12.1 Newton-Raphson-Verfahren.......................................212
12.2 AnwendungdesVerfahrensaufdieFEM ............................213
12.2.1 Linearisierung............................................214
12.2.2 Inkrementell-iterativesVerfahren ............................217
12.2.3 KonvergenzdesNewton-Raphson-Verfahrens..................218
12.2.4 HinweiszurZeitabhängigkeit ...............................219
12.3 WeitereVerfahrenfürnichtlineareGleichungssysteme.................220
Literaturverzeichnis ..................................................222
13 ZeitintegrationvonnichtlinearendynamischenProblemen...............223
13.1 Einführung.....................................................224
13.2 ImpliziteZeitintegrationnachdemNewmark-(cid:12)-Verfahren .............227
13.3 ExpliziteZeitintegrationnachdemzentralenDifferenzenverfahren ......231
13.3.1 PraktischeUmsetzungdesVerfahrens ........................235
13.3.2 Punktmassenmatrix .......................................236
13.3.3 NutzungquadratischerAnsatzfunktioneninexplizitenVerfahren .237
13.3.4 Stabilitätskriterium........................................238
13.3.5 MaßnahmenzurReduktionderRechenzeit....................242
13.3.6 DynamischeRelaxation....................................243
13.4 GegenüberstellungderbeidenZeitintegrationsverfahren ...............244