Lineare und nichtlineare FEM: Eine Einführung mit Anwendungen in der Umformsimulation mit LS-DYNA®

355 Pages·2019·8.8 MB·German

by  Marcus Wagner

Marcus Wagner
Lineare und
nichtlineare FEM
Eine Einführung mit Anwendungen
in der Umformsimulation mit LS-DYNA®
2. Auflage
Lineare und nichtlineare FEM
Marcus Wagner
Lineare und nichtlineare FEM
Eine Einführung mit Anwendungen in der
Umformsimulation mit LS-DYNA®
2. Auflage
Marcus Wagner
Fakultät Maschinenbau
OTH Regensburg
Regensburg, Deutschland
ISBN 978-3-658-25051-5 ISBN 978-3-658-25052-2 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-25052-2

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Vorwort
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ParaphrasenachH.L.Mencken,1917
VorwortzurerstenAuflage
DieInhaltediesesLehrbuchsbauenaufdenVorlesungenüberlineareundnichtlineare
Finite-Elemente-Methoden(FEM)imBachelor-undMasterstudiumanderOstbayerischen
TechnischenHochschuleRegensburgauf,dieichseiteinigenJahrenhalte,sowieaufmeiner
langjährigenTätigkeitalsBerechnungsingenieurinderBlechumformsimulation.
SowohlinderLehrealsauchinderPraxisbestehtdieSchwierigkeitzuvermitteln,dass
vorgeblicheinfachzubedienendeBerechnungsprogrammenurzusinnvollenundverläss-
lichenLösungenführen,wennderAnwenderversteht,washinterderBenutzerschnittstelle
abläuftundmansichdeswegenauchalsAnwendermitdentheoretischenHintergründen
beschäftigenmuss.Diestrifftumsomehrzu,dakommerzielleFE-Programmeeinenstetig
wachsendenFunktionsumfanghaben,mitimmerkomplexerenInhalten.
DasBuchzieltdaraufab,einenmöglichstabgeschlossenenÜberblicküberdielineare
undnichtlinearedynamischeBerechnungvonStrukturenmitFinite-Elemente-Methoden
zu bieten. Der Fokus liegt auf einer Erklärung der Zusammenhänge, die für Anwender
kommerziellerSoftwarenotwendigsind.Dabeiistesunumgänglichvielesverkürztdarzu-
stellenoderauchThemenfelderkomplettauszusparen.AufdieDarstellungtheoretischer
Inhaltekannnichtverzichtetwerden,dieFEMisteinnumerischesVerfahren.Siewerden
abernursoweitdargestellt,wiefürdenAnwendererforderlich.DerEinsatzdertheoreti-
schenInhalteinderBlechumformsimulationmitLS-DYNAzeigtfüreinenpraxisnahen
Fall,dassdiesesWissennotwendigist,auchfürdenreinenBenutzereinesFE-Programms.
Die Literatur in diesem Gebiet ist unüberschaubar umfangreich. Um den Lehrbuch-
charakter zu erhalten, wird nur ein kleiner Ausschnitt von möglichen Literaturstellen
angegeben.EswirdimmerdiekonkreteStelleineinerReferenzgenannt,sodassderLeser
vondortausauchdieweitereLiteraturerschließenkann.
DieKapitel1bis8umfasseneinegenerelleEinführungindielineareFEM.Daraufbau-
endieKapitel9bis13auf,diediewesentlichennichtlinearenAspektederFEMenthalten,
mit einem Fokus auf dynamische Effekte. Im letzten Kapitel 14 werden die theoreti-
schen Inhalte der nichtlinearen FEM am Beispiel einer Blechumformsimulation in ihrer
Anwendung erläutert. Weiterhin wird eine kurze Einführung in das FE-Programmpaket
LS-DYNAimAnhangangegeben.
DasBuchrichtetsichanStudierendeausBachelor-undMasterstudiengängenderInge-
nieurwissenschaftensowieanIngenieureinderIndustrie,dieinihrerberuflichenPraxis
v
vi Vorwort
mitFinite-Element-BerechnungenzutunhabenundaneinemtieferenEinblickinteressiert
sind,alserüblicherweiseinGrundlagenkursenoderSchulungenvermitteltwird.Anwen-
derdesProgrammsLS-DYNAsindangesprochen,dadiesesProgrammgenutztwird,um
anpraktischenBeispielendiezuvoreingeführtentheoretischenInhaltezuverdeutlichen.
DasselbegiltfürBerechnerimBereichderBlechumformsimulation,dadienichtlinearen
InhaltedesBuchesandiesemBeispieldemonstriertwerden.
AlsVoraussetzungsolltemanGrundkenntnissederTechnischenMechanikmitbringen,
wiesieinjedemIngenieurstudiumvermitteltwerden.VorkenntnisseüberFinite-Elemente-
Methodensindnichtnotwendig.
Zusatzunterlagen (Beispielprogramme, Kommandodateien etc.) können auf der Ver-
lagsseite www.springer.com direkt beim Buch (im Download-Bereich unterhalb des In-
haltsverzeichnisses)heruntergeladenwerden.
AmGelingeneinessolchenBuchprojektessindvielePersonenbeteiligt,ohnediedies
sonichtmöglichwäre.MeinherzlicherDankgiltHerrnDr.-Ing.IngoHeinle,HerrnDr.-
Ing.BerndHochholdinger,FrauMagdaMartins-Wagner,M.Sc.undHerrnProf.Dr.-Ing.
habil. Kai Willner für das Korrekturlesen und die vielen Hinweise. Der Ostbayerischen
TechnischenHochschuleRegensburgseigedanktfürdiegroßzügigeUnterstützungwäh-
rendderErstellungdesBuches.DemSpringerViewegVerlag,vorallemFrauImkeZander
undHerrnThomasZipsnerausdemLektoratMaschinenbau,dankeichfürdieangenehme
ZusammenarbeitunddiewertvollenAnregungen.
VorwortzurzweitenAuflage
In der vorliegenden zweiten Auflage wurden in allen Kapiteln Korrekturen durchge-
führt und die Bilder wo notwendig überarbeitet sowie Ergänzungen und Erklärungen
vorgenommen.DieLiteraturwurdeaufdenneuestenStandgebracht.Eswurdenweitere
Übungsaufgaben aufgenommen und die Musterlösungen aller Aufgaben stark erweitert.
DieimBuchdargestelltenLS-DYNA-ModellewurdenmitderVersionSMP10.1getestet.
EinenherzlichenDankanStudierendeundLeserinnenundLeser,diemichaufFehler
und Inkonsistenzen hingewiesen haben. Ich hoffe, sie mit dieser Auflage zumindest ein
Stückweitbehobenzuhaben.
Regensburg,November2018 MarcusWagner
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung.......................................................... 1
1.1 GrundlegendeProblemstellungundLösungsmethoden ................ 1
1.2 VorgehensweisebeiBerechnungsaufgaben .......................... 4
1.3 EinsatzgebietederFinite-Elemente-Methode......................... 4
Literaturverzeichnis .................................................. 6
2 EinführungindielineareFEM ....................................... 7
2.1 GrundgedankederFEMamBeispieldesStabs ....................... 8
2.1.1 MathematischeBeschreibungdesphysikalischenSystems ....... 8
2.1.2 DiskretisierunginfiniteElemente ........................... 11
2.1.3 BerechnungderElementmatrizen............................ 14
2.2 DiskretisierungeinesFachwerks ................................... 15
2.2.1 DiskretisierunginfiniteElemente ........................... 15
2.2.2 TransformationvonlokalenaufglobaleKoordinaten............ 16
2.2.3 ZusammenbaudesGleichungssystems ....................... 19
2.2.4 EinbringenvonRandbedingungen ........................... 22
2.2.5 LösendesGleichungssystems............................... 22
2.3 Beispiel:StabmitveränderlichemQuerschnitt ....................... 24
2.4 Aufgaben ...................................................... 27
3 MechanischeGrößenderStrukturmechanik ........................... 29
3.1 FormulierungdesRandwertproblems............................... 29
3.2 DerSpannungszustand ........................................... 31
3.2.1 DerSpannungsdeviator .................................... 34
3.3 ZugeordneterVerzerrungszustand.................................. 35
3.4 Gleichgewichtsbedingungen....................................... 37
3.5 Voigt-Notation.................................................. 38
3.6 Verallgemeinerteslinear-elastischesMaterialgesetznachHooke......... 39
3.7 EbenerSpannungs-undVerzerrungszustand ......................... 40
3.8 Aufgaben ...................................................... 41
Literaturverzeichnis .................................................. 41
vii
viii Inhaltsverzeichnis
4 MathematischeModellierungüberEnergieprinzipien ................... 43
4.1 DasPrinzipvomMinimumdesGesamtpotenzials .................... 43
4.1.1 Einführungsbeispiel ....................................... 44
4.1.2 GesamtpotenzialeinesStabs................................ 47
4.1.3 AllgemeinesPrinzipvomMinimumdesGesamtpotenzials....... 49
4.2 DasPrinzipdervirtuellenVerschiebung............................. 50
4.3 MethodedergewichtetenResiduenamBeispieldesStabs.............. 56
Literaturverzeichnis .................................................. 58
5 DiskretisierungmitfinitenElementen ................................. 59
5.1 DefinitiondesNäherungsansatzesfüreinElement .................... 60
5.1.1 DieFormfunktionsmatrix .................................. 60
5.1.2 NäherungsansatzfürVerzerrungenundSpannungen............ 62
5.2 DiskretisierungdesPrinzipsvomMinimumdesGesamtpotenzials ...... 63
5.3 DiskretisierungdesPrinzipsdervirtuellenVerschiebung............... 65
5.4 AufbaudesGesamtgleichungssystems .............................. 66
5.4.1 EigenschaftenderGesamtsteifigkeitsmatrix ................... 69
5.5 EinbringenvonRandbedingungen.................................. 70
5.6 LösunglinearerGleichungssysteme ................................ 72
5.6.1 DirekteGleichungslöser ................................... 72
5.6.2 IterativeGleichungslöser................................... 76
5.6.3 Modellreduktionstechniken................................. 77
5.7 Aufgaben ...................................................... 79
Literaturverzeichnis .................................................. 80
6 Finite-Elemente-Klassen ............................................. 81
6.1 KlassifizierungvonElementen .................................... 81
6.2 DasisoparametrischeKonzept..................................... 83
6.3 EindimensionaleElemente........................................ 87
6.3.1 Zweiknotiges,linearesStabelement .......................... 88
6.3.2 Dreiknotiges,quadratischesStabelement...................... 90
6.3.3 Balkenelemente .......................................... 91
6.4 ZweidimensionaleElemente ...................................... 98
6.4.1 Scheibenelement.......................................... 98
6.4.2 Schalenelemente..........................................104
6.5 DreidimensionaleElemente .......................................109
6.5.1 Hexaederelemente ........................................109
6.5.2 Pentaederelemente ........................................111
6.5.3 Tetraederelemente ........................................111
6.6 Aufgaben ......................................................112
Literaturverzeichnis ..................................................113
7 MathematischeundnumerischeAspektederFEM......................115
7.1 MathematischeAnforderungenanfiniteElemente ....................115
7.1.1 BedingungenfürdieKonvergenzderLösung ..................115
7.1.2 VerfahrenzurReduktiondesDiskretisierungsfehlers............118
Inhaltsverzeichnis ix
7.2 NumerischeIntegration ..........................................120
7.2.1 Newton-Cotes-Quadratur...................................122
7.2.2 Gauß-Quadratur ..........................................124
7.2.3 MehrdimensionaleIntegrale ................................126
7.2.4 AnwendungshinweisezumIntegrationsverfahren...............129
7.3 Elementversteifung(Locking) .....................................131
7.3.1 BeschreibungdesLocking-Effekts...........................131
7.3.2 MaßnahmenzurVermeidungvonElementversteifung...........132
7.3.3 Null-Energie-Moden ......................................135
7.4 Praxis-HinweisezurModellierung .................................137
7.4.1 Vernetzungsmethoden .....................................137
7.4.2 AnforderungenandieElementauswahlundVernetzung .........138
7.4.3 AusnutzungvonSymmetrienbeiderVernetzung...............140
7.5 Aufgaben ......................................................142
Literaturverzeichnis ..................................................142
8 LinearezeitabhängigeFEM ..........................................143
8.1 HerleitungderdynamischenFEMübervirtuelleVerschiebungen........144
8.2 NumerischeModalanalyse ........................................145
8.2.1 ModaleTransformation ....................................149
8.2.2 ModaleReduktion ........................................150
8.2.3 NäherungsweiseBerechnungdesEigenwertproblems ...........151
8.2.4 AnwendungsgebietederModalanalyse .......................153
8.3 BerücksichtigungvonDissipationseffekten ..........................154
8.3.1 ProportionaleundmodaleDämpfung ........................155
8.4 Frequenzganganalyse ............................................158
8.5 Aufgaben ......................................................161
Literaturverzeichnis ..................................................161
9 GeometrischeNichtlinearität ........................................163
9.1 EinführungzurgeometrischenNichtlinearität ........................164
9.2 KinematischeBeschreibung.......................................165
9.2.1 Konfigurationen ..........................................165
9.2.2 Deformations-undVerschiebungsgradient ....................167
9.3 BeispieleeindimensionalerVerzerrungsmaße ........................169
9.3.1 EigenschaftenderVerzerrungsmaße .........................172
9.4 AllgemeinenichtlineareVerzerrungsmaße...........................173
9.5 ZeitlicheAbleitungenderDeformation..............................176
9.6 TransformationvonVolumen-undFlächenelementen .................178
9.7 SpannungsmaßebeinichtlinearerBetrachtung .......................180
9.8 EnergieprinzipieninnichtlinearerForm.............................181
9.8.1 Upgedatete-Lagrange-Formulierung .........................182
9.8.2 Totale-Lagrange-Formulierung..............................184
9.8.3 Diskretisierung ...........................................185
Literaturverzeichnis ..................................................187
x Inhaltsverzeichnis
10 MaterielleNichtlinearität ...........................................189
10.1 ÜbersichtüberkonstitutiveBeziehungen ............................190
10.2 Eindimensionales,zeitunabhängiges,elastoplastischesVerhalten ........192
10.2.1 MathematischeFormulierung ...............................193
10.3 MehrachsigedehnratenunabhängigeElastoplastizität ..................200
10.3.1 DieFließbedingung .......................................201
10.3.2 DieFließregel ............................................205
10.3.3 DasVerfestigungsgesetz ...................................207
10.3.4 DieKonsistenzbedingungunddieMaterialtangente.............209
10.3.5 BerücksichtigungderDehnratenabhängigkeit..................210
10.4 NumerischeUmsetzungder J -Plastizität............................211
2
Literaturverzeichnis ..................................................214
11 Kontaktmodellierung................................................215
11.1 GrundlegendeBegriffe ...........................................216
11.1.1 BedingungfürNormalkontakt ..............................217
11.1.2 BehandlungvontangentialemGleiten ........................219
11.2 VerfahrenzurKontaktdetektion....................................221
11.3 Kontaktformulierungen...........................................223
11.3.1 KinematischeZwangsbedingungen(Multi-Point-Constraint) .....224
11.3.2 Penalty-Verfahren.........................................225
11.3.3 Lagrange-Multiplikator-Verfahren ...........................227
11.3.4 Augmented-Lagrange-Verfahren.............................228
Literaturverzeichnis ..................................................228
12 GleichungslösungbeinichtlinearenstatischenProblemen................229
12.1 Newton-Raphson-Verfahren.......................................230
12.2 AnwendungdesVerfahrensaufdieFEM ............................231
12.2.1 Linearisierung............................................233
12.2.2 Inkrementell-iterativesVerfahren ............................235
12.2.3 KonvergenzdesNewton-Raphson-Verfahrens..................236
12.2.4 HinweiszurZeitabhängigkeit ...............................238
12.3 WeitereVerfahrenfürnichtlineareGleichungssysteme.................238
12.4 Aufgaben ......................................................241
Literaturverzeichnis ..................................................242
13 ZeitintegrationvonnichtlinearendynamischenProblemen...............243
13.1 Einführung.....................................................244
13.2 ImpliziteZeitintegrationnachdemNewmark-(cid:12)-Verfahren..............247
13.3 ExpliziteZeitintegrationnachdemzentralenDifferenzenverfahren ......251
13.3.1 PraktischeUmsetzungdesVerfahrens ........................255
13.3.2 Punktmassenmatrix .......................................256
13.3.3 NutzungquadratischerAnsatzfunktioneninexplizitenVerfahren .257
13.3.4 Stabilitätskriterium........................................258
13.3.5 MaßnahmenzurReduktionderRechenzeit....................262
13.3.6 DynamischeRelaxation....................................263