Lineare Operatoren in Hilberträumen: Teil II: Anwendungen

407 Pages·2003·15.45 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Joachim Weidmann (auth.)

Mathematische Leitfaden
Joachim Weidmann
Lineare Operatoren
in Hilbertraumen
Mathematische Leitfaden
Herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Gottfried Kothe
Prof. Dr. Klaus-Dieter Bierstedt, Universitat-Gesamthochschule Paderborn
Prof. Dr. Gunter Trautmann, Universitat Kaiserslautern
Joachim Weidmann
Lineare Operatoren
in Hilbertraumen
Teilll: Anwendungen
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
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detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. Joachim Weidmann
geboren 1939 in EBlingen INeckar. Von 1958 bis 1964 Studium der Mathematik an der Technischen
Hochschule Stuttgart und der Universitat Heidelberg. 1964 Diplom, 1966 Promotion in Heidelberg.
1969 Habilitation an der Universitat Munchen. Seit 1971 Professor an der Universitat Frankfurt.
1. Auflage Juli 2003
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
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Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13:978-3-519-02237-4 e-ISBN-13:978-3-322-80095-4
001: 10.1007/978-3-322-80095-4
Fiir Manuela
Vorwort
In diesem Band werden, auf der Basis der im ersten Teil dargestellten Grund
lagen, die Anwendungen der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren
im Hilbertraum auf Probleme der Quantenmechanik dargestellt. Dies war
in der ersten Auflage des Buches von 1976 nur in sehr unbefriedigendem
Umfang moglich gewesen.
Das erste Kapitel beschreibt die zu einem selbstadjungierten Operator
gehorige Zerlegung des Hilbertraumes in reduzierende Teilraume, die den
spektralen Eigenschaften des Operators entsprechen. Kern des Kapitels
ist das sogenannte RAGE-Theorem, das besagt, daB die Streuzustande
bezliglich eines Operators im wesentlichen die Zustande sind, die zum steti
gen bzw. absolut stetigen Spektrum korrespondieren.
In zwei weiteren Kapiteln wird die Theorie der Sturm-Liouville-Operatoren
sehr ausflihrlich dargestellt. Sie ist einerseits Grundlage flir die Untersu
chung von Schrodingeroperatoren mit spharisch symmetrischen Potentia
len, und hat andererseits, insbesondere im Zusammenhang mit zufalligen
Schrod ingeroperatoren , wieder groBes Interesse gefunden. Diese Theorie
wird im anschlieBenden Kapitel fast vollstandig auf Dirac-Systeme libertra
gen, wobei viele Beweise wortlich libernommen werden konnen (diese Ope
ratoren ergeben sich bei der Separation von Diracoperatoren mit sphii,risch
symmetrischen Potentialen, vgl. Abschnitt 20.3).
In drei weiteren Kapiteln werden Schrodingeroperatoren flir ein und mehrere
Teilchen behandelt. Da hierbei (und nicht nur bei spharisch symmetrischen
Operatoren) die Separation der Variablen eine wichtige Rolle spieit, werden
zwei Separationsansatze und deren Konsequenzen flir die Spektraltheorie
diskutiert. Flir N-Teilchen-Operatoren werden die Resultate von Hunziker,
van Winter und Zislin bewiesen.
Nachdem in einem weiteren Kapitel die Selbstadjungiertheit und die Spek
traltheorie von Dirac-Operatoren dargestellt werden, sind die letzten 5 Ka
pitel der Streutheorie gewidmet. Zunachst wircl cler anschauliche Hinter
grund dargestellt und die Begriffsbildung motiviert. Danach werden die
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wichtigsten der bekannten Resultate zur Existenz von Wellenoperatoren
und, insbesondere auf der Basis des Satzes von Pearson, die Spurklassen
resultate zur Existenz und Vollstandigkeit der Wellenoperatoren bewiesen.
An einem i. w. vollstandig losbaren eindimensionalen Problem werden die
Resultate und Begriffe veransehaulieht. SchlieBlieh wird das Existenz- und
Vollstandigkeitsresultat von V. EnB ausfiihrlich dargestellt. Das letzte Ka
pi tel ist der Mehr-Kanal-Streuung (N-Korper-Streuung) gewidmet. AI
lerdings beschrankt sich die Darstellung auf die erforderliche Begriffsbil
dung, die Existenz der (Kanal-)Wellenoperatoren und die Orthogonalitat
def Kanale. Resultate iiber die Vollstandigkeit sind m. E. (noch) nicht ge
eignet, in einem Lehrbuch dargestellt zu werden.
Urn das Zitieren von Resultaten aus dem ersten Teil zu erleichtern, schlieBt
dieser Band an die Kapitelnumerierung des erst en Bandes an. AIle Verweise
auf Kapitel 1 bis 11 und den Anhang beziehen sich auf den ersten Teil.
Allen, die zum Gelingen des Bandes beigetragen haben, mochte ieh an dieser
Stelle herzlieh danken. Den Harern meiner zwei Vorlesungszyklen zu diesen
Themen danke ieh fur ihre Kritik und viele Diskussionen. Gunter Stolz, der
aueh zu diesen Horern zahlte, hat mich nicht nur dazu iiberredet, die Theorie
der Sturm-Liouville-Operatoren ausfiihrlich darzustellen, er hat mir aueh
wichtige Bemerkungen zu einer ersten Version der entspreehenden Kapitel
zukommen lassen. Daniel Lenz hat die meisten Abschnitte durehgesehen und
neben Druekfehlern aueh auf zahlreiche groBere und kleinere Ungenauigkei
ten und Unklarheiten hingewiesen sowie wichtige Verbesserungsvorsehlage
gemacht. Jacqueline Habash muBte bei der Erstellung der Tex-Files fUr den
zweiten Band sieher noch mehr Geduld mit meinen nicht enden wollenden
Uberarbeitungen aufbringen. SchlieBlich danke ich Herrn Dr. Spuhler vom
Teubner-Verlag fUr die Anregung zu der Ausweitung des Buches und seinem
Nachfolger Herrn Sandten fUr die Geduld, die er bei den Verzogerungen der
Fertigstellung gezeigt hat.
Frankfurt am Main, im Mai 2003 Joachim Weidmann
Inhalt
Symbolverzeichnis 11
12 Spektrale Teilraume eines selbstadjungierten Operators 12
12.1 Abstrakte Definition der spektralen Teilraume . . . . . . 12
12.2 Dynamische Charakterisierung der spektralen Teilraume 20
12.3 Zur Voraussetzung des RAGE-Theorems. . . . . . . . . 29
13 Sturm-Liouville-Operatoren; Selbstadjungiertheit 32
13.1 Voraussetzungenj minimaler und maximaler Operator. 33
13.2 Selbstadjungierte Realisierungen im regularen Fall. . . 45
13.3 Die Weylsche Alternativej Selbstadjungierte Realisierungen
im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . 53
13.4 Grenzpunkt-Grenzkreisfall-Kriterien 64
13.5 Ubungen................ 71
14 Sturm-Liouville-Operatoren; Spektraltheorie 74
14.1 Spektraldarstellung von Sturm-Liouville-Operatoren 74
14.2 Variation der Randbedingung ...... 90
14.3 Approximation durch regulare Probleme 93
14.4 Die Technik der Priifertransformation . 98
14.5 Absolut stetiges Spektrum 108
14.6 Ubungen.......... 117
8 Inhalt
15 Dirac-Systeme 119
15.1 Minimaler und maximaler Operator 119
15.2 Selbstadjungierte Realisierungen im regularen Fall. 126
15.3 Die Weylsche Alternative; Selbstadjungierte Realisierungen
im allgemeinen Fall . . . . . . . . . 128
15.4 Grenzpunkt-Grenzkreisfall-Kriterien 129
15.5 Spektraldarstellung von Diracsystemen 134
15.6 Prufertransformation fur Diracsysteme 140
15.7 Absolut stetiges Spektrum . . . . . . . 145
16 Periodische Sturm-Liouville-Operatoren und Dirac-
Systeme 148
16.1 Diskriminante, Stabilitatsintervalle und Spektrum 148
16.2 Methode der direkten Integrale ..... . 161
17 Ein-Teilchen-Schrodingeroperatoren 166
17.1 Vorbemerkungen 166
17.2 Schrodingeroperatoren mit (-6.)-kleinen Wechselwirkungen 168
17.3 Eigenwerte von Schrodingeroperatoren 179
17.4 Einfachheit des Grundzustandes . . . . 186
17.5 Schrodingeroperatoren mit "groBen" Wechselwirkungen 189
17.6 Ubungen.......................... 197
18 Separation der Variablen und KugeHUichenfunktionen 200
18.1 Zwei Separationsansatze 200
18.2 Kugelflachenfunktionen . 212
18.3 Spharisch symmetrische Schrodingeroperatoren 224
18.4 Ubungen ..................... . 232
Inhalt 9
19 Spektraltheorie von N-Teilchen-Schrodingeroperato-
ren 235
19.1 N-Teilchen-Operatoren ...................... 235
19.2 N-Teilchen-Systeme im auBeren Feld; Separation der Schwer
punktsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
19.3 Die untere Grenze des wesentlichen Spektrums ......... 245
19.4 Das wesentliche Spektrum von N-Teilchen-Schrodingeropera-
toren ....... . 255
20 Diracoperatoren 262
20.1 Der freie Diracoperator . . . . . . . . . 262
20.2 Diracoperatoren mit elektrischem Feld 267
20.3 Reduktion spharisch symmetrischer Operatoren auf Dirac-
Systeme .............................. 271
21 Grundbegriffe der Streutheorie 278
21.1 Vorbemerkungen 278
21.2 Die Wellenoperatoren 287
21.3 Streuoperator und Streumatrix 298
21.4 Ubungen ............ . 308
22 Existenz der Wellenoperatoren 309
22.1 Das Cooksche Lemma. . . . . . . . 309
22.2 Existenz von W ± (T2' Tt) fUr Differentialoperatoren Tl . 311
22.3 Spurklassenmethode; der Satz von Pearson 322
22.4 Folgerungen aus dem Satz von Pearson 331
22.4.1 Anhang zu Abschnitt 22.4 ...... . 341
23 Ein eindimensionales Streuproblem 343
23.1 Spektraldarstellungen und Streumatrix . 343
23.2 Konstruktion der Spektraldarstellung von T2 349
23.3 Die Streumatrix fiir ein explizit los bares Problem 355
23.3.1 Potentialtopf und Potentialbarriere . 355
23.3.2 Streuung an einem Treppenpotential 357