Table Of ContentLineare Algebra
Rainer Vogt
Wintersemester 2002/2003
Vorwort
Gemeinhin ha¨lt man Mathematik fu¨r eine Wissenschaft, mit deren Hilfe man et-
was ausrechnen kann. Mit dieser Meinung wird man der Mathematik nicht ge-
recht. U¨berspitzt formuliert, ko¨nnte man sagen, Mathematik sei eine gewisse
Denkstruktur. Das ist natu¨rlich nicht korrekt, kommt aber der Sache wesentlich
na¨her, wie Sie in den na¨chsten Wochen merken werden. Genauer gesagt, u¨bt die
Bescha¨ftigungmitMathematikeineanalytischeDenkstruktur,dieindenna¨chsten
JahrzehntenzunehmendanBedeutunggewinnenwirdunddieinvielenBereichen
derForschungunddes ta¨glichenLebensanwendbarist.
Das Erlernen einer ungewohntenDenkstruktur ist mit viel Mu¨he verbunden. Das
Zielerreichtmannurdann,wennmanbereitist,vielZeitindieBescha¨ftigungmit
unddas Nachdenkenu¨berMathematikzuinvestieren,siehtmanvondenwenigen
U¨berfliegern einmal ab. Sechs bis acht Stunden u¨ber die Vorlesung und U¨bung
hinausdu¨rfte dafu¨reinMinimumsein!
Siewerdensichfragen,wasdasmitIhremspa¨terenBerufszielzutunhat.Schließ-
lich mu¨ssten ein paar Rechenverfahren fu¨r das weitere Studium und die spa¨teren
beruflichen Anforderungen genu¨gen. Dazu ein paar Bemerkungen. Fu¨r Diplom-
mathematiker,StudentenimBachelorstudiengangundMathematiklehrersolltees
eineSelbstversta¨ndigkeitsein,diefu¨rdieMathematikno¨tigeDenkstrukturzube-
herrschen.VonFachmathematikernwirdanalytischesDenkenimBerufslebenge-
fordert und das Berufsfeld des Lehrers geht weit u¨ber das Abarbeiten von Rah-
menrichtlinien hinaus: Ideal wa¨re, wenn Schu¨lern in einem Alter mathematische
Denkweisen vermittelt werden ko¨nnen, in dem sie fu¨r neue Denkprozesse noch
besondersaufnahmefa¨higsind.
Kommen wir nun zu den Anwendern von Mathematik: Kognitionswissenschaft-
lern, Physikern und Systemwissenschaftlern. In diesen Bereichen gehen die An-
forderungenan Abstraktionsvermo¨genund analytischemDenkensogar nochein-
enSchrittweiter:ManhateinkonkretesProblemvorliegen,fu¨rdasmanineinem
1
Abstraktionsschrittzuna¨chst ein mathematisches Modell entwickelt, das man an-
schließend mit mathematischen Methoden analysiert, um Prognosen machen zu
ko¨nnen. Ein ausgezeichneter Tummelplatz, solche Abstraktionsschritte zu u¨ben,
ist die Mathematik selbst. Ich werde in der Vorlesung wiederholt auf solche Ab-
straktionsschritte eingehen. Sie sollten sich mit diesen Teilen besonders intensiv
bescha¨ftigen,umFertigkeitenindiesen Bereichenzu erlangen.
Fu¨r alle diejenigen, die noch immer nicht davon u¨berzeugt sind, dass die doch
hohen Anforderungenin der Mathematik berechtigt sind, sei ein Beispiel aus der
Statistik angefu¨hrt: Der Inhalt eines Lagerhauses besteht zu 2/3 aus Wu¨rsten und
1/3 aus Eiern. Ein Hund geht in das Lagerhaus. Als er herauskommt, besteht der
Inhalt zur Ha¨lfte aus Wu¨rsten und zur Ha¨lfte aus Eiern. Ein Biologe wendet ein
geradegelerntesstatistisches Rezeptan undfolgert:“Ein HundlegtEier!”
Fazit: Es genu¨gt nicht, eine mathematische Formel anzuwenden. Man muss sie
verstandenhaben!
2
Inhaltsverzeichnis
I Vektorra¨ume 5
1 Lineare Gleichungssysteme 5
2 Der Begriffdes Ko¨rpers 21
3 Grundlagen: MengenundAbbildungen 29
4 Vektorra¨ume 37
5 Basis undDimension 51
II Lineare Abbildungen 63
6 Grundbegriffe 63
7 Matrizen 74
8 Grundlagen: A¨quivalenzrelationen 82
9 Quotienten-und Dualra¨ume 84
10 Erga¨nzung zulinearenGleichungssystemen 95
11 Determinanten 101
III Lineare Endomorphismen 118
12 Eigenwerte undEigenvektoren 118
13 Polynomringe 131
14 Trigonalisierbare Endomorphismen 135
3
IV Vektorra¨ume mit Skalarprodukt 139
15 Skalarprodukte 139
16 Bilinearformenund Matrizen 151
17 Orthogonaleund unita¨reAbbildungen 162
4
Teil I
Vektorra¨ume
DielineareAlgebraentstandaus derBehandlung linearerGleichungssysteme.
1 Lineare Gleichungssysteme
Eine Grundtechnik der linearen Algebra ist das Lo¨sen linearer Gleichungssyste-
me. Die Lo¨sungsmengen solcher Systeme und ihre Beziehungen zum Ausgangs-
punktsindGrundbausteinederlinearenAlgebra.Wir beginnen mitBeispielen.
1.1 Teilebedarfsrechnung Aus Rohstoffen R R R werden Zwischenproduk-
1(cid:0) 2(cid:0) 3
te Z Z Z und Endprodukte G G gefertigt. Verkauft werden die Zwischen-
1(cid:0) 2(cid:0) 3 1(cid:0) 2
produkte Z und Z und beide Endprodukte. Der Betrieb erha¨lt den Auftrag, 200
1 3
Mengeneinheiten (ME) des Gutes G , 150 ME des Gutes G , 50 ME des Zwi-
1 2
schenproduktesZ und70ME des ZwischenproduktesZ zuliefern.
1 3
Problem:WievielME derRohstoffeR R R werdenfu¨rdenAuftragbeno¨tigt?
1(cid:0) 2(cid:0) 3
UmdiesesProblemzulo¨sen,stelltmanambesteneinBedarfsdiagrammauf,auch
GOZINTOGRAPHgenannt(s. na¨chsteSeite).UnserGozintograph istfolgender-
maßen zu lesen: die einfachen Pfeile geben an, wie viele ME von einem Roh-
stoff bzw. Zwischenprodukt beno¨tigt werden, um das Produkt an der Pfeilspitze
zu produzieren. Die Doppelpfeile geben den gewu¨nschten “Output” des Betriebs
an. Bezeichnen wir mit g g z z z r r r die jeweils beno¨tigten ME der
1(cid:0) 2(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 3(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 3
Gu¨ter G G , Zwischenprodukte Z Z Z und Rohstoffe R R R erhalten wir
1(cid:0) 2 1(cid:0) 2(cid:0) 3 1(cid:0) 2(cid:0) 3
aus demGozintographenfolgendesGleichungssystem
g 200 bestimmtdurchden Auftrag
1 (cid:1)
g 150 bestimmtdurchden Auftrag
2 (cid:1)
z1 (cid:1) 4g1(cid:2) 1g2(cid:2) 50 (die50 fu¨rden Auftrag)
z2 (cid:1) 2g1(cid:2) 1g2(cid:2) 1z1(cid:2) 2z3
z3 (cid:1) 3g1(cid:2) 1g2(cid:2) 70 (die70 fu¨rden Auftrag)
r1 (cid:1) 3g1(cid:2) 1z2(cid:2) 2z2(cid:2) 5z3
r2 (cid:1) 1z1(cid:2) 3z2(cid:2) 7z3
r3 (cid:1) 6g2(cid:2) 2z2(cid:2) 3z3
5
50
1
R Z
1 1 4
3
2 1
5 200
G
1 1
1
2
3
R Z
2 2
1
7
2 150
G
2
2
3
6
1
3 70
R Z
3 3
Fu¨rjeden “Knoten”unseresDiagrammserhaltenwiralso eine Gleichung.
Es ist u¨blich, die Unbekannten auf die linke Seite und die “absoluten” Terme
auf die rechte Seite des Gleichheitszeichen zu schreiben. Wir erhalten somit ein
Gleichungssystem.
1.2
g 200 I
1 (cid:1)
g 150 II
2 (cid:1)
z 4g g 50 III
1 1 2 (cid:1)
(cid:0) (cid:0)
z 2g g z 2z 0 IV
2 1 2 1 3 (cid:1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
z 3g g 70 V
3 1 2 (cid:1)
(cid:0) (cid:0)
r 3g z 2z 5z 0 VI
1 1 1 2 3 (cid:1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
r z 3z 7z 0 VII
2 1 2 3 (cid:1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
r 6g 2z 3z 0 VIII
3 2 2 3 (cid:1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Der besseren U¨bersicht halber schreiben wir diese Gleichungen in ein Schema.
DersenkrechteStrichnimmtdieStelledesGleichheitszeichenein,u¨berdemwaa-
gerechtenStrichstehendieUnbekannten.AußerdemordnenwirGleichungenund
Unbekanntemo¨glichstgeschickt.Wir erhaltenfolgendesSchema.
6
1.3
r r r z z z g g
1 2 3 2 1 3 1 2
1 0 0 2 1 5 3 0 0 VI
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0 1 0 3 1 7 0 0 0 VII
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
0 0 1 2 0 3 0 6 0 VIII
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
0 0 0 1 1 2 2 1 0 IV
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0 0 0 0 1 0 4 1 50 III
(cid:0) (cid:0)
0 0 0 0 0 1 3 1 70 V
(cid:0) (cid:0)
0 0 0 0 0 0 1 0 200 I
0 0 0 0 0 0 0 1 150 II
DiesesSchema ist in OBERERDREIECKSFORM, d.h. in derDiagonalen ste-
hen Werte 1 und unterhalb der Diagonalen nur Werte 0. Ein solches Gleichungs-
system kann man durch SUKZESSIVES EINSETZEN leicht lo¨sen. Wir lesen,
vonuntennachoben arbeitend,sofort ab:
g 150
2 (cid:1)
g 200
1 (cid:1)
z3 (cid:1) 3g1(cid:2) g2(cid:2) 70 (cid:1) 820
z1 (cid:1) 4g1(cid:2) g2(cid:2) 50 (cid:1) 1000
z2 (cid:1) z1(cid:2) 2z3(cid:2) 2g1(cid:2) g2 (cid:1) 3190
r3 (cid:1) 2z2(cid:2) 3z3(cid:2) 6g2 (cid:1) 9740
r2 (cid:1) 3z2(cid:2) z1(cid:2) 7z3 (cid:1) 16310
r1 (cid:1) 2z2(cid:2) z1(cid:2) 5z3(cid:2) 3g1 (cid:1) 12080
1.4 Leistungsverrechnung in einem System: In jedem Knoten eines Systems
(etwa Abteilungen eines Betriebs) werden Leistungen erbracht. Der Wert einer
Einheit aus dem Knoten A sei x Geldeinheiten (GE). Zur Aufrechterhaltungdes
i i
Betriebs im Knoten sind Prima¨rkosten no¨tig, wie in den Knoten angegeben. Da-
neben erha¨lt jeder Knoten von anderen Knoten Leistungen (etwa vernetzte Com-
7
puter).DieDoppelpfeilegeben denOutputan.
40
3
A A
1 2 20
323 2 306
3 5
1
5
3
A
4
665
7
30
11
8
4 2
A
3 50
596
Hat ein System n Knoten A und sind die Prima¨rkosten fu¨r A gerade b GE, so
i i i
werden
n
(cid:229)
bi :(cid:1) b1(cid:2) b2(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0) bn
i 1
(cid:0)
GE indasSystemgesteckt.IstderOutputdesKnotensA (Doppelpfeil)c ME im
i i
Wertvonjex GE, so hatderGesamtoutputden Wert
i
n
(cid:229)
c x
i(cid:3) i(cid:1)
i 1
(cid:0)
Esgiltalso:
n n
(cid:229) (cid:229)
b c x
i (cid:1) i(cid:3) i(cid:1)
i 1 i 1
(cid:0) (cid:0)
UnserProblem:DadieKnotenLeistungenaustauschen,kennenwirdenWertvon
x nicht!
i
Seia dieLeistung(inME),dieKnotenA anKnotenA abgibt.InjedemKnoten
ij j i
ist dieLeistungsaufnahmeeinschließlich Prima¨rkostengleichder Leistungsabga-
be.Fu¨rjeden Knotenerhaltenwirdamiteine Gleichung.InunseremBeispiel
8
Leistungsaufnahme Leistungsabgabe (cid:0) inGE
(cid:1)
I 323(cid:2) 2x2(cid:2) 11x3(cid:2) 3x4 (cid:1) (cid:0) 40(cid:2) 3(cid:2) 7(cid:2) 5 x1
(cid:1)
II 306(cid:2) 3x1(cid:2) 3x3(cid:2) 5x4 (cid:1) (cid:0) 20(cid:2) 2(cid:2) 8(cid:2) 1 x2
(cid:1)
III 596(cid:2) 7x1(cid:2) 8x2(cid:2) 2x4 (cid:1) (cid:0) 50(cid:2) 11(cid:2) 3(cid:2) 4 x3
(cid:1)
IV 665(cid:2) 5x1(cid:2) 1x2(cid:2) 4x3 (cid:1) (cid:0) 30(cid:2) 3(cid:2) 5(cid:2) 2 x4
(cid:1)
ResultierendesGleichungssystem
I 55x 2x 11x 3x 323
1 2 3 4 (cid:1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
II 3x1(cid:2) 31x2 3x3 5x4 (cid:1) 306
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
III 7x1 8x2(cid:2) 68x3 2x4 (cid:1) 596
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
IV 5x1 x2 4x3(cid:2) 40x4 (cid:1) 665
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Man sieht sofort,dass Probleme dieser Art sehr schnell zu großen Gleichungssy-
stemen mitrechtunfreundlichgroßenZahlen fu¨hren. Ummitdiesen umgehen zu
ko¨nnen,beno¨tigenwir einengutenRechenalgorithmus.
Ein solcher Algorithmus ist der Eliminationsalgorithmus, der in der modernen
MathematikGaußzugeschriebenwird,deraberschonhundertevonJahrenfru¨her
inChinabenutztwurde.
1.5Definition: Mit bezeichnenwirdieMengederreellenZahlen.EinLINEA-
(cid:2)
RESGLEICHUNGSSYSTEMu¨ber ist einSystemvon Gleichungen
(cid:2)
a11x1 (cid:2) a12x2 (cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) a1nxn (cid:1) b1
a21x1 (cid:2) a22x2 (cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) a2nxn (cid:1) b2
. . . .
. . . .
. . . .
am1x1 (cid:2) am2x2 (cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) amnxn (cid:1) bm
mita undb aus fu¨ri 1 mund j 1 n.MansprichtvoneinemGlei-
ij i (cid:2) (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0)
chungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Die n-Tupel (cid:0) x x ,
1(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0) n(cid:1)
diedieseGleichungenerfu¨llen,heißenLo¨sungendes Gleichungssystems,dieGe-
samtheitderLo¨sungen LO¨SUNGSMENGE.
ImSpezialfallb b b 0nenntmandasGleichungssystemHOMO-
1 (cid:1) 2 (cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:1) m (cid:1)
GENundsonstINHOMOGEN.
Ersetzen wir im System (1.5) alle b durch 0, erhalten wir das ZUGEHO¨RIGE
i
HOMOGENEGLEICHUNGSSYSTEM.
Ein Gleichungssystem zu LO¨SEN bedeutet, die Lo¨sungsmenge so darzustellen,
dassmansofortablesenkann,obeingegebenesn-Tupel (cid:0) x x reellerZahlen
1(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0) n(cid:1)
9
zu ihr geho¨rt oder nicht. Dazu manipulieren wir das Gleichungssystem: Wir for-
men es in ein u¨bersichtlicheres Gleichungssystem mit derselben Lo¨sungsmenge
um,etwainein SystemmitoberenDreiecksschema.
FolgendeManipulationensindoffensichtlicherlaubt:
1.6 ErlaubteManipulationen:
(1) UmordnenderGleichungenundUmordnen derSummation.
(2) MultipliziereneinerGleichungmiteinerZahl c 0
(cid:1)
(cid:0)
(3) Additiondes c-facheneiner Gleichungzu eineranderen, cbeliebig.
Erla¨uterungenzu (3):FolgendeAussagensind a¨quivalent
(1) (cid:0) x x lo¨stdieGleichungen
1(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0) n(cid:1)
I a11x1(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) a1nxn (cid:1) b1
II a21x1(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) a2nxn (cid:1) b2
(2) (cid:0) x x lo¨stdieGleichungen
1(cid:0)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:0) n(cid:1)
III (cid:0) a11(cid:2) ca21(cid:1) x1(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) (cid:0) a1n(cid:2) ca2n(cid:1) xn (cid:1) b1(cid:2) cb2
II a21x1(cid:2) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2) a2nxn (cid:1) b2
Beweis:
(1) (2) I (cid:2) c IIgibtIII
(cid:3)
(cid:1)
(2) (1) III c IIgibtI.
(cid:3)
(cid:1)
(cid:0)
(cid:2)
1.7 Lo¨sungsverfahren Der besseren U¨bersicht wegen schreiben wir die Glei-
chungenwiederineinemSystemauf:
Ausgangsschema:
x x x x b
1 2 3 n
a a a a b 1.Gleichung
11 12 13 1n 1
a a a a b 2.Gleichung
21 22 23 2n 2
a a a a b
31 32 33 2n 3
am1 am2 am3 amn bm m-teGleichung
10
