Table Of ContentAndria/Meier· Lineare Algebra und Geometrie fOr Ingenieure
Lineare Algebra und
Geometrie fOr Ingenieure
Ein~. anwendungsbezogene Einfuhrung
mit Ubungen
Prof. Dr. Manfred Andrie
Dipl.-Ing. Paul Meier
3. Auflage
VDlVERLJG
Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme
Andrie, Manfred:
Lineare Algebra und Geometrie fur Ingenieure : eine
anwendungsbezogene Einfuhrung mit Obungen / yon Manfred
Andria und Paul Meier. - 3. Aufl. - Dusseldorf: VOl-VerI.,
1996
(VDI-Hochschultaschenbuch)
ISBN-13: 978-3-540-62294-9 e-ISBN-13: 978-3-642-95798-7
001: 10.1007/978-3-642-95798-7
NE: Meier, Paul:
C VOl-Verlag GmbH, Dusseldorf 1996
Aile Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder
Yolistandigen fotomechanischen Wiedergabe (Fotokopie, Mikrokopie), der
elektronischen Datenspeicherung (Wiedergabesysteme jeder Art) und das der
Obersetzung, Yorbehalten.
Die Wiedergabe yon Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen u.a.
in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der
Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz
Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher yon jedermann benutzt
werden durften.
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Vorwort zur 3. Auflage
In einer aktualisierten Auflage bietet dieses Buch eine anwendungs
bezogene EinfGhrung in die lineare Algebra und Geometrie.
Insbesondere werden Anwendungen und Ubungen aus der Ingenieur
geometrie, der Vermessungstechnik, der geom etrischen Datenverarbei
tung (CAD-Technik) und der Methode der finiten Elemente behandelt.
Der Inhalt gehort zur mathematischen G rundausbildung von
Ingenieuren.
Ais Zielgruppen werden Ingenieurstudenten an Fachhochschulen und
Technischen Universitaten, anwendungsorientierte Lehrer und Ingeni
eure in der Praxis angesprochen.
Besondere Aspekte der Neuauflage sind:
- Geometrisch anschauliche und anwendungsbezogene Darstellung
- Zahlreiche praxisnahe Anwendungen, erlauternde Bilder, durchge-
rechnete Beispiele und Ubungen mit Losungen
- Orientierung der Auswahl des mathematischen Stoffes an BedGrf
nissen moderner Ingenieur- und Komputertechnik
- Vorbereitung auf mathematische Modellbildung technischer Probleme
in der Praxis durch Losen von Sachaufgaben
Ubungen und Anwendungen tragen wesentl ich zum Verstandnis und
zur praktischen Umsetzung mathematischer Theorie bei. Aufgaben
sollen die Sicherheit im KalkGI und das oft vernachlassigte geome
trische Vorstellungsvermogen schul en. Schrittweise werden Schwierig
keitsgrad und Komplexitat der Aufgaben gesteigert.
Die vorliegende Darstellung basiert auf Vorlesungen, die einer der
Autoren (Prof. Dr. M. Andrie) im ingenieurwissenschaftlichen Zentrum
der Fachhochschule Koln halt. Obungen und Anwendungen wurden
mehrfach erprobt und tragen insbesondere den inhomogenen Eingangs
voraussetzungen Rechnung.
Wichtige Begriffe und Ergebnisse werden in Gbersichtlicher Form
herausgehoben. Die Losungen im Anhang ermoglichen dem Leser ;:;ine
UberprGfung der eigenen Leistungen.
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Die Grundlagen der Analysis werden in unserem Band "Analysis fur
Ingenieure" behandelt.
Herrn Prof. Or.-Ing. Gi:inenccan danken wir fUr seine Hinweise auf
Anwendungen aus der Vermessungstechnik und angewandten
Geodiisie.
Oem VOl-Verlag gilt unser besonderer Dank fUr die Aufgeschlossen
heit gegenUber der vorliegenden Konzeption und die Neuauflage dieses
Buches fUr den ingenieurwissenschaftlichen Bereich.
Ki:iln, im Januar 1996 M. Andrie
P. Meier
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Inhaltsverzeichnis
MENGEN
Grundbegriffe 13
1.1 Begriff der Menge 13
1.2 Teilmengen 15
2 Verknupfungen von Mengen 16
2.1 Durchschnitt von Mengen 16
2.2 Vereinigung von Meng'en 18
2.3 D iffe renzmenge 20
2.4 Komplement.. 20
2.5 Mengenalgebra. 22
2.6 Anwendungen: Geometrisches Modellieren. 22
2.7 Ubungen: Mengenverknupfungen •.••. 24
ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
3 Begriff der Abbi Idung 26
4 Kartesisches Produkt 27
5 Begriff der Relation 29
6 Anwendungen: Darstellende Geometrie, 30
ZAHLEN
7 Menge der reel len Zahlen .. 32
8 Eigenschaften reeller Zahlen 35
9 Ungleichungen und Betrage 36
10 Potenzen und Wurzeln. 38
11 Logarithmen. . • • • 40
12 Dualsystem und Digitalrechner 41
13 Anwendungen........ 45
13.1 Graphen von Funktionen und Relationen 45
13.2 Physikal ische G roBen 50
13.3 Schaltalgebra • . • 52
14 Ubungen: Dualzahlen, Schaltfunktionen 57
8 Inhaltsverzeichnis
TRIGONOMETRIE
15 Winkel als geometrische GroBe. 58
16 Trigonometrische Funktionen 60
17 Zyklometrische Funktionen • 63
18 Satze der Trigonometrie • 65
18.1 Sinussatz und Kosi nussatz 65
18.2 Tangenssatz 68
18.3 Additionstheoreme. 70
19 Ubungen: Trigonometrie und ihre Anwendung im
Vermessungswesen 72
VEKTOREN
20 Begriff des Vektors 79
21 Addition und Subtraktion von Vektoren 80
22 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . 83
23 Winkel zwischen zwei Vektoren .•.• 85
24 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 87
25 Begriff des Vektorraumes 94
26 Lineare Abhangigkeit und lineare Unabhangigkeit von
Vektoren .•••..• 95
27 Komponentendarstellung eines Vektors; Basis und
Dimension eines Vektorraumes • 98
28 Der n-dimensionale Vektorraum 101
29 Ubungen: Zusammensetzung und Zerlegung ebener und
raumlicher Vektoren 103
30 Skalares Produkt zweier Vektoren. 106
30.1 Begriff des skalaren Produktes • • 106
30.2 Skalares Produkt zweier Vektoren aus 1R3. 109
31 Vektorielles Produkt zweier Vektoren 111
31.1 Begriff des vektoriellen Produktes 111
31.2 Vektorielles Produkt zweier Vektoren aus IR3 115
32 Anwendungen: Geometrie und Mechanik 117
32.1 Satze zu Parallelogramm und D reieck • 117
Inhaltsverzeichnis 9
32.2 Satze der Trigonometrie •• 120
32.3 Flacheninhalt eines n-Ecks 122
32.4 Drehmoment ••. 124
32.5 Statisches Gleichgewicht 126
32.6 Zerlegung von K raften 130
33 Obungen: Skalarprodukt, Vektorprodukt und Zerlegung
von K raft en • • . • • . • • • . • • ••• 132
MATRIZEN
34 Begriff der Matrix 135
35 Addition und Subtraktion von Matrizen 137
36 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 138
37 Multiplikation von Matrizen 138
38 Spezielle Matrizen 141
39 Lineare Abbildungen 145
40 Anwendungen: Geometrische Abbildungen 149
41 Obungen: Rechnen mit Matrizen ••.• 152
DETERMINANTEN
42 Determinanten zweiter Ordnung 153
43 Determ inanten dritter Ordnung. 156
44 Determinanten n-ter Ordnung . 160
LlNEARE GLEICHUNGSSYSTEME
45 Begriff des linearen Gleichungssystems 162
46 Cramersche Regel 163
47 Gaul3-Algorithmus 167
48 AnwendunQ..; Berechnung der inversen Matrix nach
Gaul3-Jordan . . . . . . ..• 176
49 Obungen: Determinanten, lineare Gleichungssysteme,
Cramersche Regel, Gaul3-Algorithmus .•••••.••• 178
10 Inhaltsverzeichnis
GEOMETRIE IN DER EBENE
50 Geraden in der Ebene 180
50.1 Geradengleichungen 180
50.2 Schnittwinkel zwischen Geraden 183
50.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 184
51 Ebene Koordinatensysteme 186
51.1 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten 186
51.2 Geodiitische Koordinaten und Richtungswinkel 188
51.3 Absolute und relative (inkrementale) Koordinaten . 190
51.4 Logarithmische Skalen (Skalierung) 191
52 Abbildungen in der Ebene 194
52.1 Paralielverschiebung und Drehung kartesischer
Koordinatensysteme 194
52.2 D rehstreckung und zentrische Streckung 196
53 Obungen: Geraden, Schnittpunkte und Schnittwinkel
von Geraden ..••. 197
GEOMETRIE 1M RAUM
54 Geraden im Raum 200
55 Ebenen im Raum 203
56 Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen 207
56.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene 207
56.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden 209
56.3 Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden • 210
57 Riiumliche Koordinatensysteme 211
57.1 Zylinderkoordinaten 211
57.2 K ugelkoordinaten 212
58 Anwendungen: Finite Elemente und natUrliche
Koordinaten 214
58.1 F I iichenkoo rdi naten fU r D rei ecksel em ente 215
58.2 Volumenkoordinaten fUr Tetraeder 217
59 Obungen: Geraden und Ebenen 1m Raum 219
Inhaltsverzeichnis 11
D
KURVEN ZWEITER ORDNUNG
60 Kreis 221
60.1 Koordinaten- und Parameterdarstellung des K reises • 221
60.2 Kreis, Tangente und Polare. 222
61 Ellipse. 225
62 Hyperbel 228
63 Parabel • 231
64 Zusammenhang zwischen den Kegelschnitten 233
65 Anwendungen: Kreis in der CAD-Geometrie und im
Vermessungswesen. • • • • • • • • • • • • • • • 239
65.1 Ausrunden und Bogenhauptelemente im Vermessungswesen. 239
65.2 Vollkreis und Kreisbogen in der CAD-Geometrie • 241
66 Obungen: Kreis (Ausrunden), Ellipse, Hyperbel und
Parabel ••••••••• 242
67 H auptachsent ransfo rm ation 246
68 Obungen: Hauptachsentransformation 250
69 Anwendungen: Tragheitsmomente ebener Flachen 251
EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
70 Eigenwerte und Eigenvektoren einer (n,n)-Matrix • 256
71 Hauptachsentransformation fOr Kurven zweiter Ordnung 260
72 Hauptachsentransformation fOr Flachen zweiter Ordnung. 265
73 Anwendungen: Flachentragheitsmomente und
Massentragheitsmomente • • • 269
73.1 Hauptflachentragheitsmomente 269
73.2 Massentragheitsmomente. • • 270
AUSBLICK
74 Spline- und Bezier-Kurven in der CAD-Geometrie •••• 274
LQSUNGEN ••••• 277
SYMBOLVERZEICHNIS 292
REGISTER ••••• 294
