Lineare Algebra und Geometrie

663 Pages·1997·50.47 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Heiner Zieschang (auth.)

Mathematische Leitfaden
Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h.c. mult. G. Kothe,
Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universitat-Gesamthochschule Paderborn,
und Prof. Dr. G. Trautmann, Universitat Kaiserslautern
Lineare Algebra
ond GeoInetrie
Von Prof. Dr. rer. nat. Heiner Zieschang
Universitat Bochum
B. G. Teubner Stuttgart 1997
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Den heimlichen Chefs Ute und Marlene
Vorwort
Lineare Algebra und Geometrie sind grundlegend fiir nahezu alle Gebiete der
Mathematik und ihrer Anwendungen in anderen Wissenschaften. Diese Diszi
plinen bilden den Einstieg in die mathematische Betrachtungsweise und verur
sachen zu Beginn (des Studiums) oftmals betriichtliche Schwierigkeiten. Der
abstrakte Aufbau der Linearen Algebra fUhrt aber bald dazu, daB die wesentli
chen Begriffe und Resultate vertraut werden, so daB man schlief3lich gar nicht
mehr weill, was denn am Anfang so schwierig war. Fur Lehramtskandidaten
wird ein betriichtlicher Teil des fur die Schule wichtigen Stoffes in der Vorle
sung uber Lineare Algebra und Geometrie - und hiiufig nur dort - angespro
chen. Von der Fulle des Stoffes ist die Anfiingervorlesung meistens uberfordert,
da sie eigentlich alles bring en soUte, was in spiiteren Vorlesungen vorausgesetzt
wird bzw. was ein Lehrer in der Schule wissen muB. Da die Lineare Algebra in
den letzten 40 Jahren an Bedeutung gewonnen und die Geometrie weitgehend
verdriingt hat, kommt letztere in der Universitiitsausbildung hiiufig zu kurz.
In diesem Buch soll sowohl der fur das normale Mathematik-Studium erforderli
che Stoff der Linearen Algebra und der (Analytischen) Geometrie bereitgestellt,
als auch fur einen Lehrer genugend viele geometrische Ansiitze behandelt wer
den.
Einfuhrend wird an die (aus der Schule bekannte) euklidische bzw. affine Geo
metrie erinnert und dadurch ein Beispiel fUr die folgende abstrakte Theorie
angeboten; femer werden die grundlegenden Begriffe der Mengenlehre und die
mathematischen Beweismethoden erliiutert. In den Kapiteln 3-9 wird dann -
abstrakt beginnend - recht tief in die Lineare Algebra eingefuhrt; dabei wer
den auch Teile der Geometrie betrachtet und benutzt, urn den algebraischen
Ansiitzen eine geometrische anschauliche Interpretation zur Seite zu stellen.
Wird am Anfang das exakte SchlieBen an einfachen algebraischen Axiomen und
Aussagen geubt, so werden spiiter schwierigere Ergebnisse der linearen Algebra
und die Grundbegriffe der Multilinearen Algebra behandelt. Das Verstiindnis
einzelner Abschnitte wird oftmals durch die Verwendung der Hauptbegriffe
und -resultate in der weiterfuhrenden Theorie erleichtert; deshalb werden auch
tiefere Ansiitze schon recht fruh dargestellt.
In den Kapiteln 11-14 werden zuniichst Fragen der affinen, euklidischen und
projektiven Geometrie besprochen. Dem Erlanger Programm von Felix Klein
folgend, werden die elliptische und in die nicht-euklidische Geometrie der Ebene
eingefuhrt. In Kapitel 14 werden einem Ansatz von Kurt Reidemeister folgend
Grundlagen der Geometrie behandelt.
Kapitel 10 ist ein Abschnitt zur Gruppentheorie, in dem u.a. Normalteiler und
Faktorgruppen sowie die endlich erzeugten kommutativen Gruppen besprochen
werden. Hier handelt es sich urn Begriffe und Ergebnisse, die oftmals in den
v
Anfangervorlesungen nicht besprochen, die aber ab dem vierten Semester oder
in Buchern als bekannt vorausgesetzt werden.
Viele Ergebnisse und Methoden der Linearen Algebra, aber auch der Geome
trie, konnen leicht in Computerprogramme ubersetzt werden; hierfiir werden in
Kapitel 15 beispielhaft einige Probleme der Linearen Algebra herausgegriffen
und fUr sie Struktogramme angegeben.
Natiirlich werden zu den meisten Abschnitten Aufgaben gegeben, da das Losen
derselben fiir das Verstandnis der Linearen Algebra und Geometrie unerlaBlich
ist. So manche dieser Aufgaben stellen auch selbst schone Satze dar.
Der vorliegende Text beruht auf einem Skriptum von Ralph Stocker und mir zu
der Standardvorlesung "Lineare Algebra und Geometrie", welche wir 1973/74
zusammen an der Ruhr-Universitat gehalten haben. Zu einem solchen Vorle
sungsskriptum wurden wir von meiner Frau Ute angeregt, urn Studenten den
Studienbeginn zu erleichtern. Die erste Fassung wurde in den folgenden Jahren
erweitert. Eine vollige Neufassung ergab sich 1994-97 durch den Ubergang von
dem urspriinglich mit der modernen/vorsintfiutlichen Kugelkopf-Schreibmaschi
nen geschriebenen Text zu einer modernen/altertumlichen TEX-Variante. Von
den vielen Studenten und Assistenten, die das Skriptum benutzt und durch An
regungen verbessert oder erweitert haben, mochte ich hier nur denen danken, die
an der letzte Fassung mitgearbeitet haben: Karsten Kroll fill das genaue Durch
arbeiten des mathematischen Textes sowie die Erstellung des Layouts, Andre
Jager fur Korrekturen und Aufgaben, Bernt Karasch fur die Abfassung des Ka
pitels 15 sowie fur die Ausarbeitung des zugehorigen Programmes mit Studenten
eines Proseminares, Astrid Butz und Claus Wiesmann fur das letzte Korrek
turlesen. Urn nach Fehlnavigationen nicht als einziger Regressanspruchen aus
gesetzt zu sein, mochte ich nicht vergessen, dankend Barbel Wicha-Krause zu
erwiihnen. Last but not least mochte ich Marlene Schwarz meinen Dank fur ih
ren unermiidlichen Einsatz aussprechen, aber auch dafur, daB sie nicht aufgab,
mich zu drangen, die Arbeit an diesem Buch abzuschlieBen.
Bochum, im Juli 1997.
Heiner Zieschang
VI
Hinweis zum Lesen
Definitionen, Hilfssatze und Satze sind durchlaufend numeriert.
Beispiel 1: Der Ausdruck 6.3.2 bedeutet Kapitel 6, Abschnitt 3, Aussage 2.
Beispiel 2: Der Ausdruck 13.4.A8 bedeutet Kapitel13, Abschnitt 4, Aufgabe 8.
Das Ende eines Beweises wird durch 0 signalisiert. 0 direkt nach einem Satz
bedeutet, daB kein Beweis des Satzes mehr folgt. 1m Index bzw. in der Symbol
liste werden oftmals mehrere Seiten fur dasselbe Wort bzw. Symbol angegeben;
ist davon eine Zahl kursiv gedruckt, so findet sich auf dieser Seite die Definition.
Das Schema im AnschluB an dieses Vorwort beschreibt den Zusammenhang
zwischen den einzelnen Abschnitten.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
1 Einfiihrende Betrachtungen 1
1.1 Koordinaten 1
1.2 Vektoren 10
1.3 Abbildungen der Ebene 17
2 Vorbereitungen 22
2.1 Mengen 22
2.2 Vollstandige Induktion und Widerspruchsbeweis
und einige Anwendungen 31
2.3 tIber transfinite Induktion und das Zornsche Lemma 42
3 Gruppen und Korper 45
3.1 Verkniipfungen: Definitionen und Beispiele 45
3.2 Gruppen 53
3.3 Karper und Ringe. Operationen 66
4 Vektorraume und affine Rliume 78
4.1 Definition, Beispiele und einfache Eigenschaften 78
4.2 Unterraum, Summe und Faktorraum 81
4.3 Lineare Abhiingigkeit, Basis und Dimension 90
4.4 Lineare Abbildungen, I 104
4.5 Lineare Abbildungen, II 113
4.6 Der duale Raum 121
4.7 Affine Riiume 129
5 Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 142
5.1 Lineare G leichungssysteme, I 142
5.2 Determinanten 153
5.3 Erneut Matrizen 158
5.4 Lineare Gleichungssysteme, II 177
5.5 Numerische Lasung linearer Gleichungssysteme 179
5.6 Fehleranalyse 189
VIII
6 Euklidische und unita re Vektorraume und Raume 196
6.1 Skalarprodukt und Orthogonalitat 196
6.2 Orthogonale und unitare Abbildungen 206
6.3 Normalform orthogonaler und unitarer Abbildungen 212
6.4 Euklidische Raume 220
6.5 Affine Abbildungen und Bewegungen 229
6.6 Banachraume und Banachalgebren 242
6.7 Gewohnliche Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten 251
7 Polynome und Matrizen 256
7.1 Polynome 256
7.2 Eigenwerte, -vektoren und charakteristisches Polynom
einer Matrix 264
7.3 Diagonalisierbare Matrizen 270
7.4 Allgemeine Normalformen 274
8 Lineare Optimierung 289
8.1 Beispiele und Problemstellung 289
8.2 Konvexe Mengen und Funktionen 295
8.3 Lineare Optimierung. Das Simplexverfahren 302
8.4 Dualitatstheorie 318
9 Multilineare Algebra 323
9.1 Tensorprodukt 323
9.2 Die Grassmannalgebra 339
9.3 Vektorprodukt, Spatprodukt und Volumen 352
10 Einfiihrung in die Gruppentheorie 359
10.1 N ormalteiler, Faktorgruppen und Homomorphismen 359
10.2 Abelsche Gruppen 371
10.3 Fortfiihrung der Gruppentheorie 384
10.4 Die Sylow-Satze 394
11 Affine Geometrie 402
11.1 Hyperflachen 2. Ordnung 402
11.2 Keplersche Gesetze und Kegelschnitte 412
11.3 Ellipsen 416
11.4 Hyperbeln 430
11.5 Parabeln 435
12 Projektive Geometrie 440
12.1 Die projektive Ebene 440
12.2 Der projektive Raum 456
12.3 Dualitat in projektiven Riiumen 468
12.4 Der affine Raum als Teilraum des projektiven Raumes 473
12.5 Das Doppelverhaltnis 481
12.6 Quadratische Formen und Kegelschnitte 491
12.7 Kegelschnitte und Polaritaten in der projektiven Ebene 504
13 Geometrien 514
13.1 Erlanger Programm 514
13.2 Gebrochen-lineare Transformationen 534
13.3 Das Poincaresche Modell der nicht-euklidischen Ebene 541
13.4 Spharische Trigonometrie und Navigation 557
13.5 Uber die elliptische Ebene 573
13.6 Projektive MaBbestimmungen 576
14 Uber Grundlagen der Geometrie 587
14.1 Axiome der euklidischen Ebene 587
14.2 Begrundung der analytischen Geometrie 594
14.3 Herleitung der benutzten Satze aus den Axiomen 604
14.4 Uber den Satz des Pythagoras und ahnliche Dreiecke 609
15 Umsetzung der Algorithmen in ein einfaches
Algebrasystem 614
Literatur 636
Index 640
Symbole 651
1 Einfiihrende Betrachtungen
Dieses einfiihrende Kapitel soll Beispiele und Anschauungsmaterial fur die
spater zu entwickelnde allgemeine Theorie bereitstellen. Vorausgesetzt wird, daB
der Leser eine Vorstellung davon hat, was "Punkte", "Geraden" und "Ebenen"
im Raum sindj diese Begriffe werden hier benutzt, ohne sie zu definieren.
Eine genauere Entwicklung der Begriffe und Methoden folgt in spateren
Kapiteln.
1.1 Koordinaten
Die Punkte auf einer Geraden, einer Ebene oder im Raum kann man durch
Koordinaten beschreiben. Auf einer Geraden geniigt eine Koordinate, eine reelle
Zahl, vgl. Abb. 1.1.1. In der Ebene braucht man zwei Koordinaten, vgl. Abb.
1.1.2j im Raum braucht man 3 Koordinaten, vgl. Abb. 1.1.3.
-2 -1 o 2 x
Abb. 1.1.1
Wenn ein Punkt P der Ebene die Koordinaten (x, y) hat, schreiben wir
einfach P = (x, y). Analog P = (x, y, z) im Raum. Der Punkt, dessen samtliche
Koordinaten Null sind, heifit Anfangspunkt, Nullpunkt oder Ursprungj wir be
zeichnen ihn mit O. Die Punkte (0,0), (1,0) und (0,1) bilden ein Koordinaten
system.
1.1.1 Geometrische Sachverhalte kann manjetzt durch Gleichungen beschreiben:
(a) Der Abstand zweier Punkte P und pI ist
in der Ebene: -ppl = V/ (x - x') 2 + (y - y') 2 ,
im Raum: -P p-I = V/ (x - x') 2 + (y - y') 2 + (z - Zl) 2 .
(b) Die Einheitssphiire im Raum ist die Menge aller Punkte (x, y, z) mit x2 +
+
y2 Z2 = 1.
=
(c) Die Punkte (x, y) der Ebene, fiir die xy 1 gilt, bilden eine Hyperbel mit
den Koordinatenachsen als Asymptoten.
(d) a, b, c seien feste Zahlen. Die Menge der Punkte (x, y) der Ebene, fiir die
ax + by = c gilt, ist:
H. Zieschang, Lineare Algebra und Geometrie
© B. G. Teubner Stuttgart 1997