Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2 Ein Skriptum zur Vorlesung im Sommersemester ...

131 Pages·2012·0.48 MB·German

Lineare Algebra und
Analytische Geometrie 2
Ein Skriptum zur Vorlesung
im Sommersemester 2012
Arne Du¨r und Franz Pauer
5. Auflage
⃝c 2012 INSTITUT FU¨R MATHEMATIK, UNIVERSITA¨T INNSBRUCK
ii
Vorwort
Das vorliegende Skriptum soll den Ho¨rerinnen und Ho¨rern der Vorle-
sung Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2“ im Sommersemester
”
2012 das Mitschreiben und Mitdenken in der Vorlesung erleichtern. Das
Skriptumentha¨ltalleDefinitionenundSa¨tzederVorlesung,abernurwenige
Beispiele dazu. In der Vorlesung werden die Definitionen und Sa¨tze moti-
viert, der Zusammenhang mit fru¨heren Ergebnissen erla¨utert und Beispiele
dazu besprochen. Der Inhalt des Skriptums Lineare Algebra 1“ und der
”
schriftlichenUnterlagenzurVorlesung VertiefungLineareAlgebra1“ von
”
FranzPauerwirdalsbekanntvorausgesetzt.
In den Kapiteln 1, 3 und 5 werden die Themen Lineare Funktion, Ska-
larprodukt und Determinante aus dem Wintersemester weitergefu¨hrt und
vertieft. Im Kapitel 2 werden Systeme linearer Ungleichungen (analog den
SystemenlinearerGleichungen)gelo¨st.ImKapitel4werdendieBewegun-
gen starrer Ko¨rper in der Ebene und im Raum beschrieben, dieses Thema
ist fu¨r die Mechanik von großer Bedeutung. Im Kapitel 6 werden quadra-
tische Funktionen und ihre Nullstellenmengen, die Quadriken, besprochen.
Im Kapitel 6 wird die Jordansche Normalform komplexer Matrizen herge-
leitet.
DiesesSkriptumistdie5.AuflagedesSkriptumsLineareAlgebra2.Es
umfasst(inleichtvera¨nderterForm)TeilederfolgendenSkripten:
ArneDu¨rundFranzPauer:LineareAlgebra(5.Auflage),2006.
ArneDu¨rundFranzPauer:AnalytischeGeometrie(3.Auflage),2005.
FranzPauer:LineareOptimierung(2.Auflage),2003.
Martin Huber danken wir fu¨r die Anregung, den Abschnitt 5 in Kapitel
5(Zeigerrechnung)in dasSkriptumaufzunehmen, sowiefu¨rdieErlaubnis,
dafu¨r seine Materialien in www.tech4math.com zu verwenden. Die Zeich-
nungen dazu hat Simone Graml angefertigt. Hubert Herdlinger verdanken
wir eine Verbesserung des Abschnittes u¨ber Systeme linearer Ungleichun-
gen.
Diese Auflage unterscheidet sich von der vierten (Februar 2011) durch
den vera¨nderten Titel, die Neuaufnahme von Kapitel 6, die Streichung von
Abschnitten, die in der Vorlesung Vertiefung Lineare Algebra 1“ bereits
”
vorgetragenwurden,UmstellungeninderReihenfolgederKapitelundAb-
schnitteundeinigeKorrekturensowiekleineErga¨nzungen.nurdurcheinige
Korrekturen.
Innsbruck,Februar2012
iii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort iii
Kapitel1. Mehru¨berlineareFunktionen 1
§1. DerGrapheinerlinearenFunktion 1
§2. Basiswechsel 3
§3. BildundKerneinerlinearenFunktion 6
§4. SystemelinearerGleichungeninkoordinatenfreierForm 9
§5. InjektiveundsurjektivelineareFunktionen 13
§6. EigenwerteundEigenvektoren 15
§7. AffineFunktionen 19
Kapitel2. SystemelinearerUngleichungen 22
§1. LineareUngleichungenundHalbra¨ume 22
§2. SystemelinearerUngleichungenundPolyeder 24
Kapitel3. Vektorra¨umemitSkalarprodukt 32
§1. Skalarprodukte 32
§2. Orthonormalbasen 35
§3. LineareGleichungenmitungenaubestimmtenDaten 39
§4. Parallelprojektion 41
Kapitel4. BewegungenineuklidischenRa¨umen 45
§1. Isometrien 45
§2. OrthogonaleFunktionen 48
§3. Spiegelungen 50
§4. IsometrienderEbene 54
§5. Zeigerrechnung 59
§6. IsometriendesRaumes 62
§7. Symmetriegruppen 65
§8. NormaleundselbstadjungierteFunktionen 66
Kapitel5. MultilineareFunktionen 70
§1. MultilineareFunktionen 70
§2. AlternierendeFunktionen 73
§3. EntwicklungvonDeterminanten 77
§4. DieadjungierteMatrix 80
§5. SymmetrischeBilinearformen 81
§6. PositivdefiniteMatrizen 85
Kapitel6. QuadratischeFunktionenundQuadriken 90
iv
v INHALTSVERZEICHNIS
§1. Linearformen 90
§2. QuadratischeFormen 93
§3. QuadratischeFunktionen 96
§4. Quadriken 99
§5. QuadrikeninderEbene 101
§6. QuadrikenimRaum 106
§7. Singula¨rwertzerlegung 109
Kapitel7. VerallgemeinerteEigenra¨ume 114
§1. DiagonalisierbareFunktionen 114
§2. VerallgemeinerteEigenra¨ume 116
§3. DieJordanscheNormalformkomplexerMatrizen 120
KAPITEL 1
Mehr u¨ber lineare Funktionen
IndiesemKapitelseiK einKo¨rper.
§1. DerGrapheinerlinearenFunktion
Satz 1: Seien V ,...,V Vektorra¨ume u¨ber K. Dann wird das kartesische
1 ℓ
Produkt
V ×···×V ={(x ,...,x )|x ∈V ,...,x ∈V }
1 ℓ 1 ℓ 1 1 ℓ ℓ
mitderkomponentenweisenAddition
(x ,...,x )+(y ,...,y ):=(x +y ,...,x +y )
1 ℓ 1 ℓ 1 1 ℓ ℓ
undderkomponentenweisenSkalarmultiplikation
c(x ,...,x ):=(cx ,...,cx )
1 ℓ 1 ℓ
mitc∈K einVektorraumundheißtder ProduktraumvonV ,...,V .
1 ℓ
Fu¨ralle j∈I istdieProjektionaufden j-tenFaktor
pr :V ×···×V →V ,(x ,...,x )7→x ,
j 1 ℓ j 1 ℓ j
K-linear. Wenn (v ,...,v ),...,(v ,...,v ) Basen von V ,...,V sind,
11 1n1 ℓ1 ℓnℓ 1 ℓ
dannist
((v ,0,...,0),...,(v ,0,...,0),...
11 1n
1
...,((0,...,0,v ),...,(0,...,0,v ))
ℓ1 ℓn
ℓ
eineBasisvonV ×···×V ,insbesonderegilt
1 ℓ
dim (V ×···×V )=dim (V )+···+dim (V ).
K 1 ℓ K 1 K ℓ
Beweis: Esistleichtzuzeigen,dassV ×···×V mitderkomponentenwei-
1 ℓ
sen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist und die Projek-
tionenlinearsind(U¨bung).Wirbeweisendahernur,dass
((v ,0,...,0),...,(0,...,0,v ))eineBasisvonV ×···×V ist.Wir
11 ℓn 1 ℓ
ℓ
schreibenx ∈V ,...,x ∈V alsLinearkombinationenderBasen
1 1 ℓ ℓ
(v ,...,v ),...,(v ,...,v ):
11 1n1 ℓ1 ℓnℓ
n n
∑1 ∑ℓ
x = d v ,...,x = d v .
1 1i 1i ℓ ℓi ℓi
i=1 i=1
1
2 1.MEHRU¨BERLINEAREFUNKTIONEN
Dannist
(x ,...,x )=(x ,0,...,0)+···+(0,...,0,x )
1 ℓ 1 ℓ
n n
= ∑1 d (v ,0,...,0)+···+∑ℓ d (0,...,0,v )
1i 1i ℓi ℓi
i=1 i=1
und((v ,0,...,0),...,(0,...,0,v ))einErzeugendensystemvon
11 ℓn
ℓ
V ×···×V .UmdielineareUnabha¨ngigkeitzuzeigen,seien
1 ℓ
c ,...,c ∈K mit
11 ℓn
ℓ
n n
∑1 c (v ,0,...,0)+···+∑ℓ c (0,...,0,v )=(0,...,0).
1i 1i ℓi ℓi
i=1 i=1
Dannist
n n
∑1 ∑ℓ
( c v ,..., c v )=(0,...,0),
1i 1i ℓi ℓi
i=1 i=1
also
n n
∑1 ∑ℓ
c v =0, ... , c v =0.
1i 1i ℓi ℓi
i=1 i=1
Da (v ,...,v ),...,(v ,...,v ) Basen von V ,...,V sind, folgt c =
11 1nℓ ℓ1 ℓnℓ 1 ℓ 11
···=c =0,waszuzeigenwar.
ℓn
ℓ
Satz2: EsseienV undW Vektorra¨umeu¨berK und(vi)i∈I eine(beliebige)
BasisvonV.
EineFunktion f :V →W ist genaudann linear,wenn derGraphvon f
einUntervektorraumdesProduktraumsV ×W ist.
In diesem Fall hat der Graph von f die Basis ((vi, f(vi)))i∈I. Insbeson-
deregilt
dim (Graph(f))=dim (V).
K K
Beweis: NachDefinitionistGraph(f)={(v, f(v))|v∈V}⊂V×W.Seien
u,w∈V undc∈K.Wenn f linearist,dannist
0V×W =(0V,0W)=(0V, f(0V))∈Graph(f),
(u, f(u))+(w, f(w))=(u+w, f(u)+f(w))=(u+w, f(u+w))∈Graph(f)
und
c(w, f(w))=(cw,cf(w))=(cw, f(cw))∈Graph(f),
alsoGraph(f)einUntervektorraumvonV×W.WennumgekehrtGraph(f)
einUntervektorraumvonV ×W ist,dannsind
(u, f(u))+(w, f(w))=(u+w, f(u)+ f(w))∈Graph(f)und
c(w, f(w))=(cw,cf(w))∈Graph(f),somit
f(u+w)= f(u)+ f(w)und f(cw)=cf(w),also f linear.
Wenn f linearist,dannistauchdieFunktion
F :V →Graph(f),x7→(x, f(x)),
3 1.MEHRU¨BERLINEAREFUNKTIONEN
linearundhatdieUmkehrfunktionGraph(f)→V,(x, f(x))7→x.Daherist
F einIsomorphismusund(F(vi))i∈I eineBasisvonGraph(f).
Beispiel3: Esseik einereelleZahlund f dielineareFunktion
f :R−→R,z7−→kz.Dannist
Graph(f)={(z,kz)|z∈R}={z(1,k)|z∈R}=R(1,k)⊆R×R
dieGeradedurch(0,0)und(1,k).
Beispiel4: Esseien a,breelleZahlenund gdielineareFunktion
g:R2 −→R,(x,y)7−→ax+by.Dannist
Graph(g)={(x,y,ax+by)|x,y∈R}={x·(1,0,a)+y·(0,1,b)|x,y∈R}=
=R(1,0,a)+R(0,1,b)⊆R2×R
dieEbenedurch(0,0,0),(1,0,a)und(0,1,b).
§2. Basiswechsel
IndiesemAbschnittseiV einVektorraumu¨berK mitDimensionn∈ N,
v:=(v ,...,v )eineBasisvonV,W einVektorraumu¨berK mitDimension
1 n
m ∈ N und w := (w ,...,w ) eine Basis von W. Wenn f :V −→W eine
1 m
Funktionist,schreibenwirkurz f(v)anstatt(f(v ),..., f(v )).
1 n
Satz5: Sei f :V −→W eineK-lineareFunktionmitMatrix
A:=M(f,v,w)∈Km×n, u∈V und c∈Kn×1 die Koordinatenspalte von u
bezu¨glichv,alsou=vc.Dannist
f(v)=wA und f(u)=wAc.
Beweis: Esist
f(v)=(f(v1),..., f(vn))=(wA−1,...,wA−n)=wA
und
f(u)= f(vc)= f(v)c=wAc.
Satz6: Sei f :V →W eineK-lineareFunktionmitMatrix
A:=M(f,v,w)∈Km×n.
Sei v′ eine weitere Basis vonV, w′ eine weitere Basis vonW, T ∈GL (K)
n
die Transformationsmatrix von v zu v′ und S ∈ GL (K) die Transformati-
m
′
onsmatrixvonwzuw.Dannist
M(f,v′,w′)=S−1AT.
4 1.MEHRU¨BERLINEAREFUNKTIONEN
′ ′
ImSpezialfallV =W,v=wundv =w istS=T und
M(f,v′)=T−1AT.
Beweis: NachSatz5ist
w′M(f,v′,w′)= f(v′)= f(vT)= f(v)T =wAT =(w′S−1)AT =w′S−1AT.
Daw′ eineBasisist,folgtdarausM(f,v′,w′)=S−1AT.
Definition7:
(1) Zwei Matrizen A,B ∈ Km×n heißen a¨quivalent, wenn es Matrizen
P∈GL (K)undQ∈GL (K)gibtmit
m n
B=PAQ.
(2) ZweiMatrizenA,B∈Kn×n heißena¨hnlich,wenneseineMatrixT ∈
GL (K)gibtmit
n
B=T−1AT.
Satz8:
(1) Sei f :V →W eineK-lineareFunktionmitMatrix
A:=M(f,v,w)∈Km×n.
Eine Matrix B∈Km×n ist genau dann zu A a¨quivalent, wenn es eine
′ ′
Basisv vonV undeineBasisw vonW gibtmit
′ ′
M(f,v,w)=B.
(2) Sei f :V →V eineK-lineareFunktionmitMatrix
A:=M(f,v)∈Kn×n.
Eine Matrix B ∈ Kn×n ist genau dann zu A a¨hnlich, wenn es eine
′
Basisv vonV gibtmit
′
M(f,v)=B.
Beweis:
′ ′
(1) NachSatz6sinddieMatrizenM(f,v,w)undM(f,v,w)a¨quivalent.
WennBzuAa¨quivalentist,gibtesP∈GL (K)undQ∈GL (K)mit
m n
B=PAQ. Dann ist v′ :=vQ eine Basis vonV und w′ :=wP−1 eine
′ ′
BasisvonW.NachSatz6ist M(f,v,w)=PAQ=B.
(2) analog.
5 1.MEHRU¨BERLINEAREFUNKTIONEN
A¨hnlicheMatrizenbeschreiben(bezu¨glichverschiedenerBasen)diesel-
be lineare Funktion. Wird ein physikalisches Pha¨nomen durch eine lineare
Funktion von einem endlichdimensionalen VektorraumV nachV beschrie-
benunddiese(nachWahleinerBasisvonV)durcheineMatrix,dannhaben
nur jene Eigenschaften dieser Matrix physikalische Bedeutung“, die sich
”
beimU¨bergangzueinera¨hnlichenMatrixnichta¨ndern.Beispielefu¨rsolche
EigenschaftenvonMatrizensinddieDeterminanteunddie Spur“.
”
Definition9: SeiA∈Kn×n.Dannheißt
n
∑
spur(A):= A
ii
i=1
dieSpur vonA.
Satz10:
(1) DieFunktionspur:Kn×n −→K istlinear.
(2) Fu¨rA,B∈Kn×n gilt:spur(AB)=spur(BA).
(3) Fu¨rA∈Kn×n undT ∈GL (K)gilt:spur(T−1AT)=spur(A).
n
(4) Sei f :V →V einelineareFunktionundAdieMatrixvon f bezu¨glich
v.Dannist
spur(f):=spur(A)
unabha¨ngigvonderWahlderBasisvundheißt Spurvon f.
Beweis: (1)und(2)nachrechnen,(3)folgtaus(2),(4)aus(3).
Satz11:
(1) Fu¨rA,B∈Kn×n gilt:det(AB)=det(BA).
(2) Fu¨rA∈Kn×n undT ∈GL (K)gilt:det(T−1AT)=det(A).
n
(3) Sei f :V →V einelineareFunktionundAdieMatrixvon f bezu¨glich
v.Dannist
det(f):=det(A)
unabha¨ngigvonderWahlderBasisvundheißt Determinantevon f.
Beweis:
(1) det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA),
(2) folgtaus(1),
(3) folgtaus(2).