Lineare Algebra (Sommersemester 2005)

106 Pages·2006·0.609 MB·German

by  Marc A. Nieper-Wißkirchen

Lineare Algebra
Marc A. Nieper-Wißkirchen
Sommersemester 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Konstruktionsprinzipien fu¨r Vektorr¨aume 2
1.1 Produkte und Summen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Abbildungsr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Dualr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Quotientenr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Die Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Die ¨außere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Feinstruktur von Endomorphismen 37
2.1 Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Torsionsmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Der Satz von Cayley–Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Die Jordan–Chevalley-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Bilinearformen 71
3.1 Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Affine Normalformen von Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Euklidische Normalformen von Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Orthogonale Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1 Konstruktionsprinzipien fu¨r Vektorr¨aume
Vektorr¨aume sind die zentralen Objekte der linearen Algebra. Jeder dieser Vektorr¨aume
ist u¨ber einem K¨orper definiert. Beispiele fu¨r K¨orper sind Q, R oder C, aber auch die
endlichen K¨orper F = Z/(p), wobei p fu¨r eine Primzahl steht. Vieles von dem, was
p
im folgenden u¨ber Vektorr¨aume gesagt werden wird, wird unabh¨angig von dem K¨orper
Sinn, u¨ber den die Vektorr¨aume jeweils definiert sind. Daher ist es eine gute Idee, sich
nicht auf irgendeinen K¨orper wie z.B. R festzulegen. Im folgenden bezeichne daher k
einen beliebigen K¨orper. Wenn wir dann von Vektorr¨aumen und linearen Abbildungen
sprechen, meinen wir immer k-Vektorr¨aume und k-lineare Abbildungen.
1.1 Produkte und Summen
Seien V und V zwei Vektorr¨aume. Ihre Produktmenge V ×V ist die Menge der Paare
1 2 1 2
(v ,v ) mit v ∈ V und v ∈ V . Wir k¨onnen V ×V zu einem Vektorraum machen,
1 2 1 1 2 2 1 2
indem wir
0 := (0,0),(v ,v )+(v0,v0) := (v +v0,v +v0) und λ·(v ,v ) := (λv ,λv )
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
fu¨rv ,v0 ∈ V ,v ,v0 ∈ V undλ ∈ k setzen.Umeinzusehen,daßmitdiesenOperationen
1 1 1 2 2 2
dieMengeV ×V zueinemVektorraumwird,sinddieVektorraumaxiomenachzurechnen,
1 2
2
d.h. daß (V × V ,+,0) eine abelsche Gruppe wird, daß die beiden Distributivgesetze
1 2
gelten, daß die Skalarmultiplikation assoziativ ist und daß die Multiplikation mit Eins
auf dem Vektorraum als Identit¨at wirkt.
Diese Konstruktion l¨aßt sich auf mehr als zwei Vektorr¨aume verallgemeinern. Sind
also V ,V ,...,V Vektorr¨aume, so wird die Produktmenge V ×V ×···×V der n-
1 2 n 1 2 n
Tupel (v ,v ,...,v ) mit v ∈ V auf entsprechende Weise zu einem Vektorraum. Ein
1 2 n i i
solches Tupel wollen wir auch als Familie (v ) mit v ∈ V schreiben. Eine
i i∈{1,2,...,n} i i
solche Familie k¨onnen wir auch als Zurordnung oder Vorschrift verstehen, die jedem
Element i ∈ {1,2,...,n} ein Element v ∈ V zuordnet. Genauso k¨onnen wir die Angabe
i i
der Vektorr¨aume V ,V ,...,V als Familie (V ) von Vektorr¨aumen auffassen.
1 2 n i i∈{1,2,...,n}
Beispiel 1. Sind V = V = ··· = V = k jeweils der K¨orper aufgefaßt als Vektorraum
1 2 n
u¨ber sich selbst, so ist V ×V ×···×V = k×k×···×k = kn.
1 2 n
| {z }
n
Wir wollen eine weitere Verallgemeinerung vornehmen, indem wir die Menge
{1,2,...,n} durch eine beliebige Menge I, etwa eine unendliche, ersetzen, die wir im
folgenden als Indexmenge bezeichnen. Es sei also eine Familie (V ) von Vektorr¨aume
i i∈I
Q
gegeben, d.h. jedem i ∈ I sei ein Vektorraum V zugeordnet. Mit V bezeichen
i i∈I i
die Produktmenge u¨ber die Familie (V ) , das ist die Menge der Familien (v ) mit
i i∈I i i∈I
v ∈ V , d.h. die Menge der Vorschriften, die jedem i ∈ I ein v ∈ V zuordnen. Die obige
i i i i
Q
Konstruktion verallgemeinernd wird V zu einem Vektorraum, indem wir
i∈I i
0 := (0) ,(v ) +(v0) := (v +v0) und λ·(v ) := (λv )
i∈I i i∈I i i∈I i i i∈I i i∈I i i∈I
fu¨r (v ) ,(v0) und λ ∈ k setzen. Wir u¨berlassen dem Leser das Nachrechnen der
i i∈I i i∈I
Vektorraumaxiome.
Q
Definition 1. Der so definierte Vektorraum V heißt das Produkt u¨ber die Familie
i∈I i
(V ) .
i i∈I
Ist I = {1,2,...,n} endlich, so schreiben wir in der Regel V ×V × ··· ×V oder
1 2 n
Qn V anstelle von Q V .
i=1 i i∈{1,2,...,n} i
Q
Fu¨r jedes j ∈ I definieren wir eine Abbildung π : V → V durch
j i∈I i j
π ((v ) ) := v
j i i∈I j
, die wir als Projektion auf die j-te Komponente ansehen k¨onnen. Diese Abbildungen
haben eine wichtige Eigenschaft:
Aussage 1. Fu¨r jedes j ∈ I ist die Abbildung π linear.
j
Beweis. Um die Linearit¨at nachzurechnen, sind π ((v ) + (v0) ) = π ((v ) ) +
j i i∈I i i∈I j i i∈I
π ((v0) ) und π (λ(v ) ) = λπ ((v ) ) fu¨r (v ) ,(v0) ∈ Q V und λ ∈ k zu
j i i∈I j i i∈I j i i∈I i i∈I i i∈I i∈I i
u¨berpru¨fen. Das folgt recht schnell aus den Definitionen.
DasProduktvonVektorr¨aumenhateinesehrwichtigeEigenschaft,mitderwirlineare
Abbildungen in das Produkt beschreiben k¨onnen. Sie wird in der folgenden Aussage
formuliert, die bei genauerem Hinsehen fast eine Trivialit¨at ist.
3
Satz 1 (Universelle Eigenschaft des Produkts). Sei W ein weiterer Vektorraum und
sei eine Familie von linearen Abbildungen (φ : W → V ) gegeben, d.h. jedem i ∈ I
i i i∈I
sei eine lineare Abbildung φ : W → V zugeordnet. Dann existiert genau eine lineare
i i
Q
Abbildung φ : W → V , so daß φ = π ◦φ fu¨r alle i ∈ I. Dieser Sachverhalt l¨aßt
i∈I i i i
sich auch durch das Diagramm
_ _!φ_//Q
W FFFφFjFFFFFF##i∈(cid:15)(cid:15)IπVj i
V
j
ausdru¨cken, wobei das Ausrufezeichen die Eindeutigkeit von φ symbolisieren soll.
Beweis. Zuerst zeigen wir die Existenz von φ. Sei dazu w ∈ W ein Vektor. Wir setzen
Q
φ(w) := (φ (w)) . Dies definiert eine lineare Abbildung φ : W → V . Dann gilt
i i∈I i∈I i
nach Definition der π , daß π (φ(w)) = φ (w) fu¨r alle w ∈ W. Damit haben wir durch
i i i
Konstruktion die Existenz eines φ nachgewiesen.
Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, daß die Forderung π (φ(w)) = φ (w) fu¨r alle
i i
i ∈ I und w ∈ W die Abbildung φ schon festlegt.
Wirk¨onnendieAussageauchsointerpretieren:einelineareAbbildungvoneinemVek-
torraum in das Produkt ist also dasselbe wie eine Familie von lineare Abbildungen von
diesemVektorraumindieeinzelnenFaktoren.Mannenntdiesdieuniverselle Eigenschaft
des Produkts.
Q
Fu¨r eine unendliche Menge I ist der Vektorraum V sehr groß. In ihm wollen
i∈I i
wir einen kleineren Untervektorraum auszeichnen, der allerdings immer noch sehr groß
Q
ist. Fu¨r jedes Element (v ) von V k¨onnen wir uns fragen, fu¨r wie viele i ∈ I
i i∈I i∈I i
der Vektor v ∈ V ungleich dem Nullvektor ist. Ist dies nur fu¨r endlich viele i ∈ I der
i i
Fall, so nennen wird (v ) einen Vektor endlichen Typs. Man u¨berzeugt sich schnell,
i i∈I
daß wegen 0 + 0 = 0 die Summe zweier Vektoren endlichen Typs wieder ein Vektor
endlichen Typs ist. Analog ist wegen λ·0 = 0 das Produkt eines Skalars λ ∈ k mit einem
Vektor endlichen Typs wieder ein Vektor endlichen Typs. Außerdem ist der Nullvektor
Q
ein Vektor endlichen Typs. Damit bilden die Vektoren endlichen Typs in V einen
i∈I i
L
Untervektorraum, den wir mit V bezeichnen wollen.
i∈I i
L
Definition2. DerVektorraum V heißtdiedirekteSummeu¨berdieFamilie(V ) .
i∈I i i i∈I
Q
Beispiel 2. IstI endlich,soistjederVektorin V trivialerweiseeinVektorendlichen
i∈I i
Typs.DaherfallenindiesemFalldirekteSummeundProduktzusammen,d.h.wirhaben
L Q
V = V .
i∈I i i∈I i
Fu¨ri ∈ {1,2,...,n}schreibenwirdaherL V = Ln V = V ⊕V ···⊕V =
i∈{1,2,...,n} i i=1 i 1 2 n
V ×V ×···×V .
1 2 n
Beispiel 3. Ein Spezialfall des letzten Beispiels ist der Fall I = ∅, d.h. wir betrachten die
L
direkte Summe u¨ber der leeren Familie. Das einzige Element dieser direkten Summe
∅
L
ist die leere Familie (), d.h. muß notwendigerweise der“ Nullvektorraum sein.
∅ ”
4
Beispiel 4. IstI ∈ {1,2,...,n}undV = kfu¨rallei ∈ {1,2,...,n}soschreibenwirmeist
i
kn anstelle von k⊕k⊕···⊕k. Elemente von kn wollen wir als Spalten“ schreiben,
”
| {z }
n
d.h. als Matrizen mit einer Spalte und n Zeilen, deren Eintr¨age Elemente von k sind.
Die Standardbasis in kn bezeichnen wir durch (e ,e ,...,e ).
1 2 n
DieAussage,daßjederendlicherzeugte(d.h.endlichdimensionale)VektorraumV eine
Basisbesitzt,l¨aßtsichauchsoformulieren:esexistierteinn ∈ N undeinIsomorphismus
0
kn → V (z.B. der, der ein e auf den i-ten Basisvektor einer gew¨ahlten Basis von V mit
i
n Elementen abbildet).
Warnung. In vielen Texten der linearen Algebra wird der Begriff der direkten Summe
zweier Untervektorr¨aume eines Vektorraumes verwendet. Wir wollen uns diesen Begriff
nicht zu eigen machen. Die direkte Summe im Sinne dieses Textes ist fu¨r jede Familie
(V ) vonVektorr¨aumendefiniert,unabh¨angigdavon,obdieV Untervektorr¨aumeeines
i i∈I i
weiteren Vektorraumes sind oder nicht.
Wir definieren eine weitere Familie von Abbildungen. Fu¨r jedes j ∈ I sei ι : V →
j i
L
V durch
i∈I i
π (ι (v)) := v
j j
und π (ι (v)) = 0 fu¨r alle v ∈ V und k ∈ I mit j 6= k definiert. Mit anderen Worten ist
k j i
L
ι (v) derjenige Vektor endlichen Typs in V , der aufgefaßt als Familie einem k 6= j
j i∈I i
den Nullvektor in V und j den Vektor v in V zuordnet.
k j
Beispiel 5. Sei I = {1,2,...,n}. Dann ist ι (v) = (0,0,...,v,...,0) fu¨r j ∈ {1,2,...,}
j
und v ∈ V , wobei das v an der j-ten Stelle im n-Tupel steht.
j
Speziell fu¨r V = k fu¨r alle i ∈ {1,2,...,n} gilt e = ι (1).
i i i
Es gilt allgemein:
Aussage 2. Fu¨r jedes j ∈ I ist die Abbildung ι linear.
j
Beweis. Wir u¨berlassen den einfachen Beweis dem Leser.
Genauso wir das Produkt erfu¨llt auch die direkte Summe eine universelle Eigenschaft,
die wir wie folgt formulieren k¨onnen: eine lineare Abbildung von der direkten Summe
in einen Vektorraum ist dasselbe wie eine Familie von linearen Abbildungen von den
Summanden in diesen Vektorraum. In der folgenden Aussage ist das in mathematischer
Formelsprache ausgedru¨ckt:
Satz 2 (Universelle Eigenschaft der direkten Summe). Sei W ein weiterer Vektorraum
und sei eine Familie linearer Abbildungen φ : V → W) gegeben. Dann existiert genau
i i i∈I
L
einelineareAbbildungφ : → W,sodaßφ = φ◦ι fu¨rallei ∈ I.DieserSachverhalt
i∈I i i
l¨aßt sich auch durch ein Diagramm ausdru¨cken, n¨amlich durch
ιjV(cid:15)(cid:15)j GGGGGGφGjGGG##
L _!φ_ _//
i∈IVi W.
5
L
Beweis. Zun¨achst zeigen wir die Existenz von φ. Sei dazu ein Element v ∈ V
i∈I i
gegeben.ZudiesemvexistierteindeutigeineendlicheTeilmengeJ ⊂ I undVektorenv ∈
i
P
V fu¨rjedesi ∈ J mitv 6= 0,sodaßv = ι (v ).Hiernutzenwiraus,daßveinVektor
i i i∈J i i
P
endlichenTypssind.Dannsetzenwirφ(v) := φ (v ).DerLeseru¨berzeugesich,daß
i∈J i i
die so definierte Abbildung φ linear ist. Außerdem gilt nach Definition φ(ι (v )) = φ (v )
i i i i
fu¨r alle i ∈ I und v ∈ V . (Um das nachzurechnen, mag es sinnvoll erscheinen, die F¨alle
i i
v = 0 und v 6= 0 getrennt zu behandeln.) Damit ist durch Konstruktion wieder die
i i
Existenz von φ nachgewiesen.
Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Diese folgt aus der Beobachtung, daß wegen
P
der Forderung φ(ι (v )) = φ (v ) gar keine andere M¨oglichkeit als φ(v) = φ (v )
i i i i i∈J i i
bleibt.
Zum Schluß wollen wir noch eine Aussage u¨ber die Dimension einer endlichen direkte
Summe endlich erzeugter Vektorr¨aume notieren:
Aussage 3. Sei (V ) eine endliche Familie (d.h. I ist endlich) endlich erzeugter
i i∈I
L
Vektorr¨aume. Dann ist V endlich erzeugt und
i∈I i
M X
dim V = dimV .
i i
i∈I i∈I
Mit anderen Worten ist also die Dimension der direkten Summe die Summe der Dimen-
sionen der Summanden.
Beweis. Durch Wahlen von Basen der Vi erhalten wir Isomorphismen kdimVi ’ Vi fu¨r
alle i ∈ I. Die Aussage ergibt sich dann durch die Kette
MVi ’ MkdimVi ’ kPi∈IdimVi
i∈I i∈I
von Isomorphismen und die Tatsache, daß die Dimension des Vektorraums auf der rech-
P
ten Seite genau dimV ist.
i∈I i
1.2 Abbildungsr¨aume
Seien V und W zwei Vektorr¨aume. In diesem Abschnitt wollen wir die Menge der linea-
ren Abbildungen zwischen V und W als Ganzes betrachten. Diese Menge bezeichnen wir
mitHom (V,W),wobeiwirdenIndexk fu¨rdenK¨orper,u¨berdemdieVektorr¨aumedefi-
k
niert sind, h¨aufig auch weglassen, wenn keine Verwechslungsgefahr besteht. Wir k¨onnen
Hom (V,W) zu einem Vektorraum machen, indem wir
k
0 : V → W,v 7→ 0,φ+ψ : V → W,v 7→ φ(v)+ψ(v) und λ·φ : V → W,v 7→ λφ(v)
fu¨r φ,ψ ∈ Hom(V,W) und λ ∈ k setzen. Das Nachrechnen der Vektorraumaxiome ist
nur eine Fleißarbeit.
Definition 3. DersodefinierteVektorraumraumHom(V,W)heißtderAbbildungsraum
(der linearen Abbildungen) von V nach W.
6
Beispiel 6. Sei V = k. Dann ist die Abbildung I : W → Hom(k,W), die jedem w ∈ W
die lineare (!) Abbildung
I(w) : k → W,λ 7→ λ·w
zuordnet, eine Isomorphismus von Vektorr¨aumen. Dabei ist die Umkehrabbildung durch
J : Hom(k,W) → W,φ 7→ φ(1)
gegeben,wovonmansichschnellu¨berzeugt,indemmannachrechnet,daßJ◦I : W → W
die identische Abbildung auf W und I ◦ J : Hom(k,W) → Hom(k,W) die identische
Abbildung auf Hom(k,W) ist.
(Im n¨achsten Abschnitt betrachten wir den Fall, daß V beliebig und W = k ist. Dieser
Fall ist g¨anzlich von dem hier behandelten verschieden.)
Sei Z ein dritter Vektorraum. Ist φ eine lineare Abbildung von V nach W und ψ eine
lineare Abbildung von W nach Z, so k¨onnen wir die Verkettung ψ◦φ betrachten. Diese
ist als Verkettung linearer Abbildungen wieder eine lineare Abbildung und zwar von
V nach Z. Jetzt bringen wir die Mengen Hom(V,W) und Hom(W,Z) ins Spiel. Nach
unseren U¨berlegungen definiert die Verkettung eine Abbildung
B : Hom(V,W)×Hom(W,Z),(φ,ψ) 7→ ψ◦φ
.DieseAbbildungistimallgemeinenallerdingskeinelineareAbbildung,sondernanderer
Natur:
Aussage 4. Die Abbildung B ist bilinear, d.h. linear in jedem Argument.
Beweis. Wir rechnen die Linearit¨at im ersten Argument nach. Seien dazu φ,φ0 ∈
Hom(V,W), ψ ∈ Hom(W,Z) und λ ∈ k gegeben. Es genu¨gt dann B(φ + λ · φ0,ψ) =
B(φ,ψ)+λ·B(φ0,ψ) zu zeigen. Dies ist eine Gleichung zwischen Abbildungen von V
nach Z. Daher beweist bei beliebigem v ∈ V die Rechnung
B(φ+λ·φ0,ψ)(v) = ψ(φ+λ·φ0(v)) = ψ(φ(v))+λ·ψ(φ0(v)) = B(φ,ψ)(v)+λ·B(φ0,ψ)(v)
die Gleichheit.
Wir u¨berlassen dem Leser das Nachrechnen der Linearit¨at im zweiten Argument.
Beispiel 7. Sei V = km und W = kn mit natu¨rlichen Zahlen m und n. Es werden
lineare Abbildungen von km nach kn eindeutig durch Matrizen mit n Zeilen und m
Spalten und Eintr¨agen aus k beschrieben. Es gibt es also eine kanonische Identifikation
Hom(km,kn) = M (k), wobei auf der rechten Seite der Raum der n×m-Matrizen in k
n,m
steht. Der Addition von linearen Abbildung entspricht der Addition von Matrizen. Der
Skalarmultiplikation von linearen Abbildungen mit K¨orperelementen entspricht der Ska-
larmultiplikation. Der Komposition linearer Abbildung entspricht das Matrizenprodukt.
Daraus folgt sofort folgende Dimensionsaussage.
Aussage 5. Seien V und W endlich erzeugte Vektorr¨aume. Dann ist Hom(V,W) ein
endlich erzeugter Vektorraum mit
dimHom(V,W) = (dimV)·(dimW).
7
Beweis. DurchWahlenvonBasenvonV undW erhaltenwirIsomorphismenkdimV ’ V
und kdimW ’ W. Damit folgt die Aussage aus der Kette
Hom(V,W) ’ Hom(kdimV,kdimW) ’ M (k),
dimW,dimV
denn es ist dimM (k) = (dimV)·(dimW).
dimW,dimV
Beispiel 8. Ist V = W, so schreiben wir auch End(V) anstelle von Hom(V,V) und nen-
nen die Elemente von End(V) Endomorphismen von V. Ein ausgezeichnetes Element ist
dabeidieIdentit¨atid vonV.Seienφundψ zweiEndomorphismenvonV.Dannistφ◦ψ
V
immer definiert und es l¨aßt sich nachrechnen, daß so (End(V),+,◦,0,id ) ein (im allge-
V
meinennichtkommutativer)RingmitEinswird.DieAbbildungk → End(V),λ 7→ λ·id
V
ist ein Ringhomomorphismus. Aufgrund der Existenz dieses kanonischen Ringhomomor-
phismus’ spricht man auch von der k-Algebra der Endomorphismen von V.
Im letzten Abschnitt haben wir uns die universellen Eigenschaften von Produkt und
direkter Summe einer Familie (V ) angeschaut. Wir haben gesehen, daß eine Abbil-
i i∈I
dung in das Produkt genau einer Familie von Abbildungen in die Faktoren entspricht.
Diese Familie k¨onnen wir aber selber wieder als Element in einem Produkt von Abbil-
dungsr¨aumen interpretieren. Damit ergibt sich:
Aussage 6 (Universelle Eigenschaft des Produktes). Sei W ein weiterer Vektorraum.
Die Abbildung
Y Y
Hom(W, V ) → Hom(W,V ), φ 7→ (π ◦φ)
i i i i∈I
i∈I i∈I
ist ein Isomorphismus von Vektorr¨aumen.
Beweis. Die Bijektivit¨at der Abbildung ergibt sich aus der universellen Eigenschaft des
Produktes der Familie (V ) . Es bleibt, die Linearit¨at nachzurechnen. Das ist Fleißar-
i i∈I
beit.
Jetztstelltsichnatu¨rlichdieFrage,obwirdieuniverselleEigenschaftderSummeauch
durch solch einen Isomorphismus formulieren k¨onnen. Und genau das ist m¨oglich:
Aussage 7 (Universelle Eigenschaft der direkten Summe). Sei W ein weiterer Vektor-
raum. Die Abbildung
M Y
Hom( V ,W) → Hom(V ,W), φ 7→ (φ◦ι )
i i i i∈I
i∈I i∈I
ist ein Isomorphismus von Vektorr¨aumen.
Beweis. Hier ergibt sich die Bijektivit¨at aus der universellen Eigenschaft der direkten
Summe. Den Nachweis der Linearit¨at u¨bergehen wir wieder.
Warnung. Man beachte, daß auch im Falle der universellen Eigenschaft der direkten
Summe der Isomorphismus der Aussage in ein Produkt (und nicht etwa in eine direkte
Summe) abbildet.
8
1.3 Dualr¨aume
Fu¨r zwei Vektorr¨aume V und W haben wir im letzten Abschnitt den Vektorraum
Hom(V,W) der linearen Abbildungen von V nach W betrachten. Wir haben schon ge-
sehen, daß wir im Falle V = k nicht viel Neues erhalten, da der Vektorraum Hom(k,W)
kanonischisomorphzumVektorraumW ist.IndiesemAbschnittbetrachtenwirdenFall
W = k undstudierendenVektorraumHom(V,k)derlinearenAbbildungenvonV inden
K¨orper k u¨ber dem V definiert ist. Dieser Vektorraum wird sich also so wichtig heraus-
stellen, daß er ein eigenes Symbol bekommt, und zwar schreiben wir V∨ := Hom(V,k).
Definition 4. Der Vektorraum V∨ heißt der Dualraum zu V.
Elemente dieses Vektorraums heißen Linearformen auf V.
Jeder Linearform θ ∈ V∨ und jedem Vektor v ∈ V k¨onnen wir den Skalar θ(v) ∈ k
zuordnen. Man u¨berzeugt sich leicht, daß die Zuordnung V∨×V → k,(θ,v) 7→ θ(v) eine
bilineare Abbildung in den K¨orper k ist, d.h. eine Bilinearform. Um eine gewisse Sym-
metrie zwischen V∨ und V anzudeuten, die im Laufe dieses Abschnittes klarer werden
sollte, schreiben wir diese Bilinearform auch als
h·,·i : V∨×V → k, (θ,v) 7→ hθ,vi := θ(v).
V V
Diese Bilinearform heißt das Inzidenzprodukt auf V. Wenn keine Verwechslungsgefahr
droht, lassen wir den Index V auch h¨aufig weg.
Das Inzidenzprodukt ist in gewisser Weise eine nicht ausgeartete Bilinearform. Damit
meinen wir den Inhalt der folgenden Aussage:
Aussage 8. 1. Sei θ ∈ V∨ eine Linearform, so daß hθ,vi = 0 fu¨r alle v ∈ V. Dann
ist θ = 0.
2. Sei v ∈ V ein Vektor, so daß hθ,vi = 0 fu¨r alle θ ∈ V∨. Dann ist v = 0.
Beweis. 1. Dieser Teil der Aussage folgt sofort aus hθ,vi = θ(v) und der Tatsache,
daß eine lineare Abbildung genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie auf allen
Vektoren den Nullvektor als Wert hat.
2. Angenommen, es ist v 6= 0 nicht der Nullvektor. Wir zeigen dann, daß eine Line-
arform θ ∈ V∨ mit hθ,vi 6= 0 existiert. Dazu setzen wir U := Spann{v}. Es wird
durch θ0 : U → k,v 7→ 1 eindeutig eine Linearform auf U definiert. Nach dem fol-
genden Lemma existiert dann eine Linearform θ auf ganz V mit θ(v) = θ0(v) = 1.
Damit also hθ,vi =6 0.
Lemma 1. Sei U ⊂ V ein Untervektorraum und θ0 : U → k eine lineare Abbildung.
Dann existiert eine lineare Abbildung θ : V → k, fu¨r deren Einschr¨ankung auf U gilt,
daß θ| = θ0.
U
9
Beweis. Sei (e ) eine Basis von U. Diese Basis erweitern wir zu einer Basis (e ) von
i i∈J i i∈I
V, wobei J ⊂ I. Die lineare Abbildung θ : V → k definieren wir durch θ(e ) := θ0(e ) fu¨r
i i
i ∈ J und θ(e ) := 0 fu¨r i ∈ I \J. Da θ und θ0 auf einer Basis von U u¨bereinstimmen,
i
folgt θ| = θ0.
U
Um uns den Raum V∨ zu veranschaulichen, wollen wir direkt damit anfangen, Line-
arformen, d.h. Elemente dieses Raumes, zu konstruieren. Dazu nehmen wir an, daß V
eine Basis (e ,e ,...,e ) besitzt. Damit gilt insbesondere, daß V endlich erzeugt ist.
1 2 n
Jeden Vektor v ∈ V k¨onnen wir aufgrund der Basiseigenschaft eindeutig als Li-
nearkombination v = Pn λie mit λi ∈ k darstellen. Wir definieren fu¨r jedes j ∈
i=1 i
{1,2,...,n} eine Abbildung θj : V → k, in dem wir fu¨r ein solches v die Festsetzung
θj(v) := λj machen. Jeder Vektor wird also auf seine j-te Koordinate bezu¨glich der
gew¨ahlten Basis abgebildet. Man vergewissert sich schnell, daß die so definierte Abbil-
dung θj : V → k linear ist, d.h. wir erhalten Elemente θ1,θ2,...,θn ∈ V∨.
DieseElementebildeneineErzeugendensystemvonV∨.Istn¨amlichθ ∈ V∨ irgendeine
Linearform,soistθ = Pn hθ,e i·θi,wiemansichdurchEinsetzenderBasisvektorene
i=1 i 1
bise schnellu¨berzeugt.Weiterhinsinddieθj linearunabh¨angig,dennistPn λ θi = 0
n i=1 i
im Dualraum fu¨r K¨orperelemente λ ,λ ,...,λ , so folgt durch Einsetzen von einem e
1 2 n j
in der Summe, daß λ = 0, d.h. alle λ sind Null. Damit bilden die θj eine Basis von V∨.
j j
Insbesondere erhalten wir folgende Aussage:
Definition 5. Die Basis (θ1,θ2,...,θn) von V∨ heißt die Dualbasis bezu¨glich der Basis
(e ,e ,...,e ) von V.
1 2 n
Aussage 9. Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann ist V∨ endlich erzeugt, und
es gilt dimV∨ = dimV.
Beweis. Die Dualbasis hat genauso viele Elemente wie die Basis von V.
Wir empfehlen, daß der Leser sich u¨berlege, daß die Dualbasis durch die Beziehung
(cid:10)θi,e (cid:11) = δi fu¨r i,j ∈ {1,2,...,n} eindeutig charakterisiert ist, wobei wir δi := 1
j j j
fu¨r i = j und δi := 0 fu¨r i 6= j setzen. Dies nennt man daher die charakterisierende
j
Eigenschaft der Dualbasis.
Beispiel 9. Sei V = kn. Der Dualraum von kn, also der Raum der linearen Abbildungen
von kn nach k, l¨aßt sich mit dem Raum M (k) der 1 × n-Matrizen identifizieren.
1,n
Elemente von (kn)∨ sind also genau die Zeilenvektoren“ der L¨ange n mit Koeffizienten
”
in k.
Als Basis von kn w¨ahlen wir die Standardbasis (e ,e ,...,e ). Die zugeh¨orige Dual-
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basis ist dann (θ1,θ2,...,θn) mit θi := (0,0,...,1,...,0) ∈ (kn)∨, wobei die Eins an der
i-ten Stelle steht.
Warnung. An dieser Stelle soll noch einmal darauf hingewiesen werden, daß zur Kon-
struktionderDualbasisV alsendlich erzeugt angenommenwordenist,dennsonsth¨atten
wir keine Basis der Form (e ,e ,...,e ) annehmen k¨onnen. Die U¨berlegungen und der
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Begriff der Dualbasis ergeben keinen Sinn, wenn V nicht endlich erzeugt ist.
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