Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis

230 Pages·2009·1.25 MB·German

Lineare Algebra
Studienjahr 2005/06
Studienjahr 2007/08
Christoph Schweigert
Universit¨at Hamburg
Department Mathematik
Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie
(Stand:20.02.2009)
Inhaltsverzeichnis
0 Vorbereitung 1
0.1 Aussagen und Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Geometrie von Geraden im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Algebraische Grundbegriffe 23
1.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Ringe und K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5 Summen von Untervektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Lineare Abbildungen 58
2.1 Definition, Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Affine Unterr¨aume und affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Quotientenvektorr¨aume und ¨außere direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 Lineare Gleichungssysteme, Gauß’scher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6 Kodierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.8 Kurzzusammenfassung der Kapitel 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 Determinanten 100
3.1 Das Vektorprodukt auf R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2 Die Determinantenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3 Permutationen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4 Orientierungen und Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5 Minoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Eigenwerte 126
4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4 Trigonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5 Das Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
i
5 Bilinearformen; Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume 155
5.1 Der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.4 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.5 Euklidische Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.6 Orthogonale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.7 Selbstadjungierte und unit¨are Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6 Allgemeine Klassifikation von Endomorphismen 198
6.1 Charakteristische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2 Der Invariantenteilersatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.4 Normalformen fu¨r Endomorphismen, zyklische Teilr¨aume . . . . . . . . . . . . . 212
6.5 Eine Sprache: Kategorien und Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.6 Kurzzusammenfassung der Kapitel 3-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.6.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.6.2 Endomorphismen Φ End (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
K
∈
6.6.3 Polynomalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6.4 Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6.5 Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.6.6 Bilinearformen β : V W K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
× →
6.6.7 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Literatur:
Literatur, die ich bei der Vorbereitung h¨aufig herangezogen habe:
Christian B¨ar: Skript zu den Vorlesungen “Lineare Algebra und analytische Geometrie I und
II” aus dem WS 2004/05 und dem SS 2005, erh¨altlich unter
http://users.math.uni-potsdam.de/~baer/
Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, 14. Auflage 2003
Falko Lorenz: Lineare Algebra I und II, BI Verlag, 3. Auflage, 1991
Bitte schicken Sie Korrekturen und Bemerkungen an [email protected]!
Bei Frau N. Potylitsina-Kube m¨ochte ich mich fu¨r Ihre große Hilfe bei der Erstellung dieses
Skriptes und bei den Hamburger Studenten, insbesondere bei Herrn Marc Lange, fu¨r zahlreiche
Hinweise bedanken.
ii
0 Vorbereitung
In diesem Kapitel werden wir zwei vorbereitende Betrachtungen durchfu¨hren: wir werden zum
ersten die Sprache von Mengen und Abbildungen einfu¨hren, die auf Aussagen und der Ver-
knu¨pfung von Aussagen beruht. (Fu¨r erg¨anzende Lektu¨re verweisen wir auf Paul R. Halmos:
Naive set theory,vanNostrand,1960.)Zumzweiten werden wir ein wenig elementare Geometrie
der Ebene in der Sprache von Vektoren rekapitulieren.
0.1 Aussagen und Mengen
Definition 0.1.1
(i) Unter einer Aussage A verstehen wir ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr (w) oder
falsch (f) ist.
Beispiel
Die Aussage “Es gibt einen Studierenden im H¨orsaal H1” hat Wahrheitswert w.
Die Ausssage 3 4 = 4 hat Wahrheitswert f.
·
(ii) Seien A und B zwei gegebene Aussagen. Danndefinieren wir die folgenden Verknu¨pfungen
von Aussagen als eine Aussage, deren Wahrheitswert als Funktion der Wahrheitswerte der
Aussagen A und B durch die folgenden Wahrheitstafeln gegeben ist:
(a)A und B,in Zeichen : A B : A B A B
∧ ∧
w w w
w f f
f w f
f f f
(b)A oder B,in Zeichen : A B : A B A B
∨ ∨
w w w
w f w
f w w
f f f
Es handelt sich also um ein nicht ausschließendes “oder”. Das Zeichen kommt vom
∨
lateinischen Wort fu¨r oder, vel.
(c)Aus A folgt B,in Zeichen : A B : A B A B
⇒ ⇒
w w w
w f f
f w w
f f w
Um die vierte Zeile dieser Tafel zu illustrieren, beachte man, dass die Aussage “Wenn
Ptolem¨aus Recht hat, ist die Erde eine Scheibe.” eine wahre Aussage ist, obwohl die Erde
1
keine Scheibe ist.
(d)A ¨aquivalent zu B,in Zeichen : A B : A B A B
⇔ ⇔
w w w
w f f
f w f
f f w
(e)nicht A,in Zeichen :qA A qA
w f
f w
WirvereinbarendieReihenfolge,¨ahnlichwie“PunktvorStrich”indernormalenArithmetik,
q vor vor vor vor .
∧ ∨ ⇒ ⇔
Beispiel 0.1.2.
Seien A und B zwei Aussagen. Die Aussage
(qA) B qA B
∨ ≡ ∨
hat die folgende Wahrheitstafel:
A B qA qA B
∨
w w f w
w f f f
f w w w
f f w w
Dies ist dieselbe Wahrheitstafel wie die der Verkn¨upfung A B. Die beiden verkn¨upften Aus-
⇒
sagen qA B und A B sind also logisch gleichwertig.
∨ ⇒
Definition 0.1.3
Gegeben seien mehrere Aussagen A,B,C,... und zwei Aussagen X und Y, die durch die Ver-
knu¨pfung dieser Aussagen entstanden sind. Wenn die Aussage
X Y
⇔
fu¨r alle m¨oglichen Wahrheitswerte der Aussagen A,B,C,... den Wahrheitswert w annimmt, so
sagt man, X und Y sind logisch gleichwertig. Die Aussage X Y heißt dann eine Tautologie.
⇔
Beispiele 0.1.4.
Wenn A,B,C Aussagen sind, dann gelten die folgenden Tautologien:
(a) q(qA) A
⇔
(b) A B B A und A B B A
∧ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∨
(c) (A B) C A (B C) und (A B) C A (B C)
∧ ∧ ⇔ ∧ ∧ ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨
(d) A (B C) (A B) (A C) und A (B C) (A B) (A C)
∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨
2
(e) q(A B) (qA) (qB) und q(A B) qA qB (de Morgansche Gesetze)
∧ ⇔ ∨ ∨ ⇔ ∧
(f) (A B) ((qB) (qA))
⇒ ⇔ ⇒
Die Tautologie (f) liegt der Beweistechnik des “indirekten Beweises” zugrunde. Man beachte
beachte, dass sich die Richtung der Implikation umkehrt.
DerBeweisdieserAussagengeschiehtdurch die Betrachtung derrelevantenWahrheitstafeln.
Wir f¨uhren dies am Beispiel der ersten Aussage in (e) vor:
A B A B q(A B) qA qB (qA) (qB) (e1)
∧ ∧ ∨
w w w f f f f w
w f f w f w w w
f w f w w f w w
f f f w w w w w
Definition 0.1.5 [Cantor]
(i) ”Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer
Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.”
Dies ist natu¨rlich keine mathematische Definition. Unsere Behandlung ist im selben Sinne
naiv wie die Einfu¨hrung einer Geometrie, bei der “Punkt” als nicht weiter definierter
Begriff vorausgesetzt wird. Zentral ist aber, dass Mengen Elemente enthalten k¨onnen. Ist
a ein Element der Menge A, so schreiben wir a A. Hierauf baut auch ein formalerer
∈
Zugang zur Mengenlehre auf.
Beispiele
(a) Die leere Menge = , also die Menge, die kein Element enth¨alt.
{} ∅
(b) Die Menge N = 0,1,... der natu¨rlichen Zahlen. Man kann die natu¨rlichen
{ }
Zahlen durch die Peano-Axiome charakterisieren. Diese enthalten das Prinzip der
vollst¨andigen Induktion: Sei M N eine Teilmenge mit den beiden Eigenschaften,
⊂
dass M die Null enth¨alt, 0 M, und dass mit n auch der Nachfolger in M liegt,
∈
n M n+1 M. Dann ist M = N.
∈ ⇒ ∈
Dies wird folgendermaßen angewandt: sei A(n) eine Eigenschaft, die von n N
∈
abh¨angt. Es reicht dann aus, eine Eigenschaft fu¨r 0 zu zeigen, also die Wahrheit
von A(0), sowie die Implikation A(n) A(n+1), fu¨r alle n N zu zeigen.
⇒ ∈
(c) Die Menge Z = ..., 3, 2, 1,0,1,... der ganzen Zahlen.
{ − − − }
(d) Die Menge Q = p p, q Z,q = 0 der rationalen Zahlen
{q| ∈ 6 }
(e) Die Menge R der reellen Zahlen, die in der Vorlesung Analysis eingefu¨hrt wird.
(ii) Wir verwenden nun die zentrale Eigenschaft von Mengen, dass sie Elemente haben, um
Relationen zwischen Mengen zu definieren. Seien A,B Mengen; dann heißt A Teilmenge
von B bzw. B Obermenge von A, falls jedes Element von A auch Element von B ist. Wir
schreiben A B oder B A genau dann, wenn fu¨r alle a A auch a B gilt, in Formeln
⊂ ⊃ ∈ ∈
a A a B. Es gilt zum Beispiel:
∈ ⇒ ∈
N Z Q R
∅ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂
Aus x A folgt x A. Man sollte aber die Menge x nicht mit dem Element x
∈ { } ⊂ { }
verwechseln: eine Schachtel mit einem Hut ist eben etwas anderes als ein Hut.
3
(iii) Zwei Mengen heißen gleich:
A = B A B B A
D⇔ef ⊂ ∧ ⊂
(iv) Sei A eine Menge. Dann ist die Potenzmenge (A) die Menge aller Teilmengen von A,
P
d.h.
(A) := B B A
P { | ⊂ }
Beispiel
Die Potenzmenge ( ) = der leeren Menge hat genau ein Element, n¨amlich die leere
P ∅ {∅}
Menge.
Eine Menge kann also ein Element einer anderen Menge sein. Das ist oft so: zum Beispiel
ist eine Gerade in R2 eine Menge von Punkten des R2, aber auch ein Element der Menge
der Geraden in R2.
(v) Elementare Operationen: seien A,B Mengen
(a) Schnittmenge, Durchschnitt
A B = a a A a B
∩ { | ∈ ∧ ∈ }
(b) Vereinigung
A B = a a A a B
∪ { | ∈ ∨ ∈ }
Man zeige: A B A B .
∩ ⊂ ∪
(c) Mengendifferenz
A B = a a A a B .
\ { | ∈ ∧ 6∈ }
Falls B A gilt, heißt
⊂
∁B = A B
\
auch Komplement von B (bezu¨glich A).
Satz 0.1.6.
Seien A,B,C Mengen. Dann gilt
(a) A B = B A und A B = B A
∩ ∩ ∪ ∪
(b) (A B) C = A (B C) und A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∪
(c) A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C).
∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪
Sind A,B Teilmengen einer Menge C, so gilt f¨ur das Komplement bez¨uglich C:
(d) ∁(∁A) = A
(e) ∁(A B) = ∁A ∁B ∁(A B) = ∁A ∁B .
∪ ∩ ∩ ∪
Beweis.
Alle Aussagen folgen aus den entsprechenden Aussagen in Satz 0.1.4. Wir f¨uhren dies am
Beispiel der ersten Aussage in (c) vor:
x A (B C) x A x (B C)
∈ ∩ ∪ ⇔ ∈ ∧ ∈ ∪
x A (x B x C)
⇔ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈
(x A x B) (x A x C)
0.1⇔.4(d1) ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈
(x A B) (x A C)
⇔ ∈ ∩ ∨ ∈ ∩
x (A B) (A C).
⇔ ∈ ∩ ∪ ∩
4
2
Machen Sie sich diesen Sachverhalt auch am Beispiel eines Bildes klar.
Vorsicht: man sollte die Operationen , , f¨ur Mengen und die Verkn¨upfungen , , f¨ur
⊂ ∩ ∪ ⇒ ∧ ∨
Aussagen nicht verwechseln.
Definition 0.1.7
Seien A ,...,A Mengen. Dann ist das kartesische Produkt oder direkte Produkt A ... A
1 n 1 n
× ×
die Menge der geordneten n-Tupel mit Elementen in A ,...,A , d.h.
1 n
a
1
.
A1 ... An =  ..  a1 A1...an An .
× × { | ∈ ∈ }
a
n
 
 
Man schreibt im Fall A = A = ...A = A auch
1 2 n
a
1
.
An =  ..  ai A, i = 1...n
∈
(cid:26) a (cid:12) (cid:27)
n (cid:12)
 
(cid:12)
fu¨r die geordneten n-Tupel von Elementeni(cid:12)n A. Beachte, dass alle Tupel geordnet sind, also
0 1
und zwei verschiedene Elemente in Z Z sind.
1 0 ×
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Eine wichtige Anwendung des direkten Produktes ist
Definition 0.1.8
(i) Sei X eine Menge; eine Relation auf X ist eine Teilmenge R X X. Wir schreiben
⊂ ×
x y (x,y) R
∼ ⇔ ∈
und sagen, dass x in Relation R mit y steht. Die Menge R heißt Graph der Relation.
Beispiele
a) Sei X irgendeine Menge und R = (x,x) x X X X die sogenannte Diagonale.
{ | ∈ } ⊂ ×
Sie definiert als Relation die Gleichheit von Elementen in X.
b) X = Menge aller Menschen x y : x kennt y
∼ ⇔
c) X = R x y : x y
∼ ⇔ ≤
x y
1 1
d) X = Rn ... ... : x2 +...+x2 = y2 +...+y2
  ∼   ⇔ 1 n 1 n
x y
n n
e) Sei X = Z; wir geben uns m N 0 vor und setzen: x y : y x ist durch m
∈ \ { } ∼ ⇔ −
teilbar.
(ii) Eine Relation heißt A¨quivalenzrelation, wenn fu¨r alle x,y,z X gilt:
∈
x x (reflexiv)
∼
x y y x (symmetrisch)
∼ ⇒ ∼
x y y z x z (transitiv)
∼ ∧ ∼ ⇒ ∼
Die Beispiele (a),(d),(e) aus (i) sind A¨quivalenzrelationen. Beispiel (b) ist keine A¨quiva-
lenzrelation: sie mu¨ssten ja sonst nie ihre Freunde einander vorstellen.
5
(iii) Gegeben eine Menge X mit A¨quivalenzrelation , so heißt eine Teilmenge A X
∼ ⊂
A¨quivalenzklasse, falls gilt
A =
6 ∅
x,y A x y
∈ ⇒ ∼
x A und y X und x y y A.
∈ ∈ ∼ ⇒ ∈
Im Beispiel (d) bestehen die A¨quivalenzklassen aus Punkten, die den gleichen Abstand zum
Ursprunghaben;inBeispiel(e)ausdenjenigenganzenZahlen,diedengleichenRestbeiDivision
durch m lassen.
Lemma 0.1.9.
Ist R eine A¨quivalenzrelation auf einer Menge X, so geh¨ort jedes a X zu genau einer A¨qui-
∈
valenzklasse. Insbesondere gilt f¨ur zwei beliebige A¨quivalenzklassen A,A entweder A = A oder
′ ′
A A = .
′
∩ ∅
Beweis.
Fu¨r a X definieren wir
∈
A := x X x a .
a
{ ∈ | ∼ }
Wir zeigen: A ist eine A¨quivalenzklasse, die a enth¨alt.
a
•
– a a a A A =
a a
∼ ⇒ ∈ ⇒ 6 ∅
– Sei x,y A , so gilt x a und y a, also wegen der Symmetrie auch a y. Somit
a
∈ ∼ ∼ ∼
x y wegen Transitivit¨at.
∼
– Sei x A , y X und x y. Dann gilt x a und x y, also auch y x wegen
a
∈ ∈ ∼ ∼ ∼ ∼
Symmetrie und somit wegen Transitivit¨at y a. Nach der Definition von A folgt
a
∼
y A .
a
∈
Es bleibt zu zeigen, dass zwei A¨quivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sind.
•
Angenommen A A = , dann gibt es a A A. Ist x A, folgt aus der zweiten
′ ′
∩ 6 ∅ ∈ ∩ ∈
definierenden Eigenschaft der A¨quivalenzklasse A, dass x a. Zusammen mit a A
′
∼ ∈
folgt aus der dritten definierenden Eigenschaft der A¨quivalenzklasse A, dass x A. Also
′
∈
A A. Die umgekehrte Inklusion A A folgt analog und somit A = A.
′ ′ ′
⊂ ⊂
2
Bemerkungen 0.1.10.
(i) Jede A¨quivalenzrelation R auf einer Menge X liefert eine Zerlegung von X in disjunkte,
also elementfremde, A¨quivalenzklassen. Diese Klassen fasst man als Elemente einer neuen
Menge X/R auf. Deren Elemente sind also Teilmengen von X. Die Menge X/R heißt
Quotientenmenge von X nach R.
Beispiel
Wir betrachten auf der Menge X aller Sch¨uler einer Schule die Relation R (a,b) genau
∋
dann, wenn a und b in die gleiche Klasse gehen. Die Quotientenmenge X/R ist dann
genau die Menge aller Klassen der Schule. Stundenplanmacher sind gewohnt, mit dieser
Quotientenmenge zu rechnen.
6
(ii) Es gibt eine kanonische (d.h. in dieser Situation ausgezeichnete) Abbildung
X X/R
−→
a A
a
7→
(iii) Jedes a A heißt ein Repr¨asentant der A¨quivalenzklasse A. Im allgemeinen gibt es aber
∈
keine ausgezeichneten Repr¨asentanten.
Definition 0.1.11
(i) Seien A,B Mengen. Eine Abbildung ist eine Vorschrift, die jedem Element a A genau
∈
ein Element f(a) B zuordnet.
∈
(ii) Sei f : A B eine Abbildung und A A eine Teilmenge. Dann heißt die Menge
′
−→ ⊂
f(A) := f(a) B a A
′ ′
{ ∈ | ∈ }
Bildmenge von A unter f oder ku¨rzer das Bild von A unter f.DasBild ist eine Teilmenge
′ ′
von B, also f(A) B.
′
⊂
Fu¨r eine Teilmenge B B heißt die Menge
′
⊂
f 1(B ) := a A f(a) B
− ′ ′
{ ∈ | ∈ }
Urbildmenge oder kurz Urbild von B unter f. Das Urbild ist eine Teilmenge von A, also
′
f 1(B ) A.
− ′
⊂
(iii) Seien f : A B und g : B C zwei Abbildungen. Die Verkettung oder Komposition
→ →
g f von g mit f ist die durch
◦
g f : A C
◦ −→
(g f)(a) := g(f(a))
◦
definierte Abbildung. Einer der wichtigsten S¨atze der Elementarmathematik besagt, dass
die Verkettung von Abbildungen assoziativ ist: sei h : C D eine weitere Abbildung,
→
dann gilt
(h g) f = h (g f) .
◦ ◦ ◦ ◦
Beweis: Sei a A. Wir rechnen:
∈
(h g) f(a) = (h g)f(a) = h(g(f(a)))
◦ ◦ ◦
h (g f)(a) = h(g f)(a) = h(g(f(a)))
◦ ◦ ◦
Bemerkungen 0.1.12.
(i) Eine besonders wichtige Abbildng ist f = id : A A mit a a, die identische Abbildung
A
→ 7→
oder die Identit¨at von A.
7
(ii) Eine Abbildung kann durch eine Rechenvorschrift gegeben sein, etwa f : Z N mit
→
x x2, aber auch durch eine Fallunterscheidung, etwa
7→
1 falls x Q
f : R N f(x) := ∈ oder auch durch eine Tafel. Zum Beispiel ist
→ (0 falls x Q
6∈
f¨ur die Abbildung, die jedem Tag des Jahres 2006 die Tagesh¨ochsttemperatur in Hamburg
zuordnet, eine Tafel, aber meines Wissens keine Rechenvorschrift bekannt. Man sollte
aber keinesfalls eine Abbildung mit einer Rechenvorschrift verwechseln; die Angabe von
Definitions- und Bildbereich ist sehr wichtig. Zum Beispiel gibt die Rechenvorschrift x
7→
2x eine Abbildung Q Q, die eine Umkehrabbildung besitzt, n¨amlich die Rechenvorschrift
→
x 1x. Die Verkettung der beiden Abbildungen ist jeweils die Identit¨at auf Q. Die
7→ 2
entsprechende Abbildung Z Z hat aber keine Umkehrabbildung.
→
Definition 0.1.13
(i) Eine Abbildung f : A B heißt surjektiv, falls es zu jedem b B ein a A gibt mit
→ ∈ ∈
f(a) = b, d.h. falls gilt f(A) = B.
(ii) Eine Abbildung f : A B heißt injektiv, falls aus f(a ) = f(a ) folgt a = a , d.h. aus
1 2 1 2
→
a = a folgt stets f(a ) = f(a ).
1 2 1 2
6 6
(iii) Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Satz 0.1.14.
Sei A = und f : A B eine Abbildung. Dann gilt:
6 ∅ →
(i) f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g : B A gibt, so dass f g = id
B
→ ◦
gilt. Man sagt dann auch, f habe ein Rechtsinverses.
(ii) f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung g : B A gibt, so dass g f = id
A
→ ◦
gilt. Man sagt dann auch, f habe ein Linksinverses.
(iii) f ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : B A gibt, so dass g f = id
A
→ ◦
und f g = id gilt.
B
◦
Beweis.
(i) “ ” Es gebe g : B A, so dass f g = id gilt. Sei b B beliebig, setze a := g(b) und
B
⇐ → ◦ ∈
finde
f(a) = f g(b) = id (b) = b.
B
◦
“ ” Sei f surjektiv, konstruiere g. Zu jedem b B w¨ahle ein a A mit f(a ) = b. Dies
b b
⇒ ∈ ∈
existiert, da f surjektiv sein soll. Setze g(b) := a und rechne
b
f g(b) = f(a ) = b.
b
◦
(ii) “ ” Seien a ,a A mit f(a ) = f(a ). Dann folgt g(f(a )) = g(f(a )) id (a ) =
1 2 1 2 1 2 a 1
⇐ ∈ ⇔
id (a ) a = a . Also ist f injektiv.
A 2 1 2
⇔
“ ” Definiere g wie folgt: w¨ahle ein beliebiges a A und setze
0
⇒ ∈
a falls b f(A)
0
g(b) := 6∈
( das eindeutige a A mit f(a) = b falls b f(A).
∈ ∈
Fu¨r jedes a A ist f(a) f(A), also ist g f(a) = g(f(a)) = a fu¨r alle a A.
∈ ∈ ◦ ∈
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