Lineare Algebra II: Sommersemester 2016

102 Pages·2016·0.67 MB·German

by  Mohamed Barakat

Lineare Algebra II
Sommersemester 2016
Mohamed Barakat
DEPARTMENT MATHEMATIK, UNIVERSITÄT SIEGEN
[email protected]
Stand:21.Juli2016
DerNachdruckdiesesTextes,auchvoneinzelnenTeilendaraus,istnichtgestattet.

Vorwort
Dies ist die geTEXte Version meiner Vorlesungsnotizen, die ich fortlaufend aktualisieren
werde. Habt bitte Verständnisdafür, wenn Stand der Vorlesung und der Notizennicht im-
mer übereinstimmen werden. Daher gilt: Kommt zur Vorlesung und macht Eure eigenen
Notizen. Die sind sowieso besser als jedes Skript. Die Form eines Skriptes erreichen diese No-
tizen vermutlich erst gegen Ende der Vorlesung, dies kann ich aber nicht garantieren. Die
aktuelleVersionistunterderfolgendenAdressezufinden:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~barakat/Lehre/SS15/LAII/Skript/LAII.pdf
AlsVorlagebenutz(t)eichdasonline-verfügbareSkriptvonProf.GabrieleNebe:
http://www2.math.rwth-aachen.de:8079/LAII.pdf
undihrLAISkript,dasmirFrauNebefreundlicherweisezurVerfügunggestellthat.
FürKorrektur-undVerbesserungsvorschlägebinichstetsdankbar
[email protected]
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iv
Inhaltsverzeichnis
0 Grundlagen 1
1 RestklassenräumeundHomomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 RingeundModuln 5
1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Endomorphismen 13
1 DerEndomorphismenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 DasMinimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 EigenvektorenundDiagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 DascharakteristischePolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1 DascharakteristischePolynomeinesEndomorphismus . . . . . . . . . 24
4.2 DieZerlegunginHaupträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Moduln 29
1 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 HomomorphiesätzeundderchinesischeRestsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 DerHomomorphiesatzfürModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 RingeundIdeale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 EuklidischeRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 DerchinesischeRestsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 DerchinesischeRestsatzunddieHauptraumzerlegung. . . . . . . . . 42
3 ElementareTeilbarkeitstheoriefürRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 ModulnüberHauptidealbereichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 DerStruktursatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 DerHauptsatzüberendlicherzeugteabelscheGruppen . . . . . . . . 52
4 NormalformenfürMatrizen. 55
1 ÄhnlichkeitvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 NormalformenfürMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1 DierationalekanonischeForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 TrennendeInvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Die JORDAN Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Transformationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 EineAnwendung:lineareDifferentialgleichungssysteme. . . . . . . . . 66
5 GruppenundOperationen 71
1 OperationenvonGruppenaufMengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1 WiederholungundersteBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.2 DieKonjugationsoperation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.3 ParametrisierungallertransitiverG-Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . 75
v
vi INHALTSVERZEICHNIS
1.4 AnzahlderBahnendesStabilisators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 HomomorphismenundNormalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Geometrie 83
1 AffineGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1 DeraffineRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.2 AffineAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.3 DasInvarianzprinzipderaffinenGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 88
Kapitel 0
Grundlagen
Hiersammelnwiralles,wassonstzurLAIgehört.
Schreibweise.
• K stehtimmerfüreinenKörper.
• V undU stehenimmerfürK-Vektorräume.
• U ≤ V bedeutetet,dassU einTeilraum=UntervektorraumvonV ist.
1 Restklassenräume und Homomorphiesatz
Definition0.1. SeiV einK-Vektorraum.EineÄquivalenzrelation∼aufV heißtverträg-
lich mit der Vektorraumstruktur oder einfach linear oder Kongruenz, falls aus X ∼ X(cid:48)
und Y ∼ Y(cid:48) für X,X(cid:48),Y,Y(cid:48) ∈ V und a,b ∈ K folgt aX + bY ∼ aX(cid:48) + bY(cid:48). Statt von einer
ÄquivalenzklasseredenwirindiesemZusammenhangvonRestklasse.
Beispiel0.2.
1. Istϕ : V → W linearund∼ =“Bildgleichheitbez.ϕ”,soist∼ eineKongruenz.
ϕ ϕ
2. IstU ≤ V einTeilraumvonV,soist∼ eineKongruenzdefiniertdurch:
U
X ∼ Y :⇐⇒ X −Y ∈ U.
U
Lemma0.3. Ist∼eineKongruenzaufdemK-VektorraumV,sogilt:
1. DieRestklasse[0]desNullelementesisteinTeilraumU vonV;[0] =: U ≤ V.
2. ∼=∼ ausdemletztenBeispiel.
U
3. FüralleX ∈ V giltfürdieRestklassevonX
[X] = X +U := {X +U | U ∈ U}.
Beweis.
1. [0] (cid:54)= ∅, da 0 ∈ [0]. Sind X,Y ∈ [0] und a,b ∈ K, dann folgt X ∼ 0 und Y ∼ 0, also
wegenderVerträglichkeitaX +bY ∼ a0+b0 = 0,d.h.aX +bY ∈ [0].
2. Sei U := [0]. Behauptung: Für X,Y ∈ V sind äquivalent: X ∼ Y und X −Y ∈ U. Dies
istklar,dawegenderVerträglichkeitX ∼ Y äquivalentzuX −Y ∼ 0ist.
1
2 KAPITEL0. GRUNDLAGEN
3. Z ∈ X + U ist äquivalent zu Z = X + U für ein 0 ∼ U. Dies bedeutet wegen der
Verträglichkeit, dass Z ∼ X ist, d. h. Z ∈ [X]. Die umgekehrte Inklusion ist eine
Übung.
Satz 0.4. Sei U ≤ V ein Unterraum des K-Vektorraumes V und ∼:=∼ die zugehörige Kon-
U
gruenz. Die Menge V/ ∼ der Restklassen wird mit V/U (lies V modulo U oder V nach U) bezeich-
net. Die Elemente von V/U heißen auch Restklassen nach U und V/U heißt auch Faktorraum,
Quotientenraum oderRestklassenraumvonV nachU.
1. V/U wirdmitderwohldefiniertenAddition
(X +U)+(Y +U) := (X +Y)+U füralleX,Y ∈ V
undMultiplikation
a(X +U) := aX +U füralleX ∈ V,a ∈ K
zueinemK-Vektorraum.
2. DieAbbildung
ν : V → V/U : X (cid:55)→ X +U
isteinelineareAbbildung,genanntdernatürlicheEpimorphismusvonV aufV/U.Esgilt
Kern(ν) = U.
Dieser Satz sagt also insbesondere, dass jeder Teilraum eines Vektorraumes Kern eines ge-
eignetenHomomorphismusist.
Beweis.
1. Wir müssen zeigen, dass die Definition vertreterunabhängig ist, d. h. ist X(cid:48) + U =
X+U undY(cid:48)+U = Y+U,soistzuzeigen(X(cid:48)+Y(cid:48))+U = (X+Y)+U.Aberoffenbarexi-
stierenU ,U ∈ U mitX(cid:48) = X+U ,Y(cid:48) = Y +U ,also(X(cid:48)+Y(cid:48))−(X+Y) = U +U ∈ U,
1 2 1 2 1 2
d.h.(X(cid:48) +Y(cid:48))+U = (X +Y)+U.
Wohldefiniertheit von a(X +U): Sei also X(cid:48) +U = X +U, dann ist X(cid:48) −X ∈ U, also
auchaX(cid:48) −aX = a(X(cid:48) −X) ∈ U,alsoaX +U = aX(cid:48) +U.
JetztmüssendieVektorraumaxiomeüberprüftwerden.Z.B.dasAssoziativgesetzfür
V impliziert die Assoziativität der Addition von V/U und U = 0+U ist das Nullele-
mentvonV/U.DenRestlassenwiralsÜbung.
2. ν(aX + bY) = (aX + bY) + U = a(X + U) + b(Y + U) = aν(X) + bν(Y) für alle
a,b ∈ K,X,Y ∈ V. Damit ist ν linear; dass ν surjektiv ist, ist klar und ebenso, dass
Kern(ν) = U.
Ende
Vorl.2 Jetzt ist alles für den Hauptsatz vorbereitet, der in einer ähnlichen Form für Mengen und
beliebigeAbbildungenauchgilt.
Hauptsatz 0.5. (Homomorphiesatz) Sei f : V → W eine lineare Abbildung von K-
Vektorräumen. Dann faktorisiert f in die Komposition des natürlichen Epimorphismus ν := ν :
f
V → V/Kern(f) und des Monomorphismus f : V/Kern(f) → W : X +Kern(f) (cid:55)→ f(X), also
f = f ◦ν.D.h.wirhabendaskommutativeDiagrammlinearerAbbildungen
f
V →− W
ν (cid:38) (cid:37) f
f
V/Kern(f)
Insbesondereinduziertf einenIsomorphismusvonV/Kern(f)aufBild(f).
1. RESTKLASSENRÄUMEUNDHOMOMORPHIESATZ 3
Beweis. ν := ν wurde bereits in 0.4 eingeführt, wobei wir als Teilraum U := Kern(f)
f
wählen.DiebeidenBildgleichheitsäquivalenzrelationen∼ und∼ sindgleich,dennseien
f ν
X,Y ∈ V, dann gilt f(X) = f(Y) genau dann, wenn X −Y ∈ Kern(f) = U = Kern(ν), was
also äquivalent zu ν(X) = ν(Y) ist. Letzteres impliziert aber sowohl die Wohldefiniertheit
alsauchdieInjektivitätvonf.DieLinearitätvonν hattenwirschonin0.4gesehen,dievon
f folgtunmittelbarausdervonLinearitätvonf.
Aufgrund der letzten beiden Sätze kennen wir bis auf Isomorphie alle epimorphen Bil-
dervonV,sobaldwiralleTeilräumevonV kennen.
Beispiel0.6. WassagtunsderHomomorphiesatzüberdirekteSummen?
SeiT ,T ≤ V mitT ∩T = {0}.DieProjektionsabbildungπ : T ⊕T → T : T +T (cid:55)→ T ist
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1
linearundsurjektiv(Epimorphismus)mitKern(π ) = T undderHomomorphiesatzsagt
1 2
∼
(T ⊕T )/T = T .
1 2 2 1
InsbesondereistT einVertretersystemfürdieRestklassenvonT ⊕T nachT .
1 1 2 2
Springe
Folg.1.14
4 KAPITEL0. GRUNDLAGEN