Lineare Algebra II im SS 2017

242 Pages·2017·2.63 MB·German

by  Clara Löh

Lineare Algebra II
Sommersemester 2017
Universit¨at Regensburg
Clara L¨oh
Version vom 27. Juli 2017
[email protected]
Fakult¨at fu¨r Mathematik, Universit¨at Regensburg, 93040 Regensburg
©Clara L¨oh, 2017
Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise vii
0 Einfu¨hrung 1
1 Euklidische/Unit¨are Vektorr¨aume 3
1.1 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume 4
1.1.1 BilinearformenundSkalarprodukte 5
1.1.2 L¨angenundWinkel 8
1.1.3 LineareIsometrien 14
1.1.4 Matrizenkalku¨lfu¨rBilinearformen 17
1.1.5 Matrizenkalku¨lfu¨rSesquilinearformen 21
1.2 Orthogonalit¨at 22
1.2.1 OrthogonaleVektoren 22
1.2.2 Orthonormalbasen 23
1.2.3 DieorthogonaleGruppe 29
1.3 Spektrals¨atze 35
1.3.1 SelbstadjungierteEndomorphismen 35
1.3.2 DerSpektralsatz 37
1.3.3 Hauptachsentransformation 43
1.3.4 DerTr¨agheitssatzunddieSignatur 45
2 Normalformen II: Moduln u¨ber Hauptidealringen 49
2.1 Zerlegung von Endomorphismen und Moduln 50
2.2 Ringe 52
2.2.1 Ringe 52
2.2.2 Ringhomomorphismen 54
iv Inhaltsverzeichnis
2.3 Moduln 57
2.3.1 Moduln 57
2.3.2 Modulhomomorphismen 61
2.3.3 Ideale 63
2.3.4 Quotientenmoduln 64
2.3.5 DirekteSummen 68
2.4 Hauptidealringe 73
2.4.1 Hauptidealringe 73
2.4.2 EuklidischeRinge 74
2.4.3 TeilbarkeitundPrimfaktoren 77
2.4.4 Dergr¨oßtegemeinsameTeiler 83
2.5 Moduln u¨ber Hauptidealringen 87
2.5.1 Pr¨asentationenvonModuln 88
2.5.2 DerElementarteilersatz 90
2.5.3 DieKlassifikationendlicherzeugterModuln 98
3 Normalformen III: Die Jordansche Normalform 107
3.1 Moduln zu Endomorphismen 108
3.1.1 ZerlegungvonEndomorphismen:Modulversion 108
3.1.2 ZerlegungvonEndomorphismen:Matrizenversion 110
3.2 Das Minimalpolynom 112
3.3 Die Jordansche Normalform 118
3.3.1 Vorbereitung:AlgebraischabgeschlosseneK¨orper 120
3.3.2 ExistenzundEindeutigkeitderJordanschenNormalform 121
3.3.3 BerechnungderJordanschenNormalform 123
3.3.4 AnwendungenderJordanschenNormalform 134
4 Multilineare Algebra 137
4.1 Das Tensorprodukt 138
4.1.1 WozudasTensorprodukt? 138
4.1.2 RechnenmitTensorprodukten 141
4.1.3 AnwendungendesTensorprodukts 145
4.1.4 KonstruktiondesTensorprodukts 151
4.2 Das ¨außere Produkt 153
4.2.1 Wozudas¨außereProdukt? 153
4.2.2 Rechnenmit¨außerenProdukten 155
4.2.3 Anwendungendes¨außerenProdukts 160
4.2.4 Konstruktiondes¨außerenProdukts 165
A Anhang A 1
A.1 Elementare Analysis von Sinus und Kosinus A3
A.2 Kategorien A5
A.3 (Ko)Produkte A9
A.4 Funktoren A11
A.5 Differentialformen A15
A.6 Die LA-Matrix A19
Inhaltsverzeichnis v
¨
B Ubungsbl¨atter B 1
C Fingeru¨bungen C 1
D Allgemeine Hinweise D 1
Literaturverzeichnis C 1
vi Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise
Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren – Sie
sollten also individuell je nach Thema und eigenen Vorlieben die Literatur
ausw¨ahlen, die am besten zu Ihnen passt.
Lineare Algebra
• S. Bosch. Lineare Algebra, fu¨nfte Auflage, Springer Spektrum, 2014.
• G. Fischer. Lineare Algebra, Eine Einfu¨hrung fu¨r Studienanf¨anger,
18. Auflage, Springer Spektrum, 2013.
• K. J¨anich. Lineare Algebra, 11. Auflage, Springer, 2013.
• W.Klingenberg.LineareAlgebraundGeometrie,Hochschultext,Sprin-
ger, 1984.
• S. Lang. Linear Algebra, UndergraduateTexts inMathematics, 3. Auf-
lage, Springer, 1987.
Sonstige Grundlagen
• A. Beutelspacher. Das ist o.B.d.A. trivial!, neunte Auflage, Vieweg+-
Teubner, 2009.
http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-9599-8
• A.G.Konforowitsch.Logischen Katastrophen auf der Spur,zweiteAuf-
lage, Fachbuchverlag Leipzig, 1994.
• C.L¨oh,S.Krauss,N.Kilbertus.Quoderatknobelandum,SpringerSpek-
trum, 2016.
viii Literaturhinweise
• G. Polya, J.H. Conway (Hrsg.). How to Solve it: A New Aspect of Ma-
thematical Method, Princeton Science Library, 2014.
• T. Tao. Solving mathematical problems. A personal perspective, Oxford
University Press, 2006.
Weiterfu¨hrende Literatur
• K. J¨anich. Vektoranalysis, fu¨nfte Auflage, Springer, 2005.
• S. Lang. Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211, dritte u¨berar-
beitete Auflage, Springer, 2002.
• S.Lang.RealandFunctionalAnalysis,GraduateTextsinMathematics,
142, dritte Auflage, Springer, 1993.
• W. Rudin. Functional Analysis, zweite Auflage, International Series in
Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, 1991.
0
Einfu¨hrung
Die Algebra befasst sich mit der abstrakten Struktur allgemeiner Zahlenbe-
”
reiche“.Einebesonderseinfacheundzug¨anglicheArtsolcherStrukturensind
lineareStrukturen,d.h.Vektorr¨aumeundlineareAbbildungenzwischenVek-
torr¨aumen. Wie wir bereits in der Linearen Algebra I gesehen haben, treten
lineare Strukturen an vielen verschiedenen Stellen auf:
• L¨osung linearer Gleichungssysteme,
• elementare ebene und r¨aumliche Geometrie,
• Computergeometrie und dreidimensionale Modellierung,
• geschlossene Darstellung kombinatorischer Ph¨anomene,
• als zentraler Approximationsbaustein in der Analysis,
• als erste Abstraktionsstufe in der Algebra,
• ...
Warum noch mehr Lineare Algebra?
Wir werden in der Vorlesung Lineare Algebra II die folgenden Themen be-
handeln und an passender Stelle auch Ausblicke auf Anwendungen geben:
• Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume. Mithilfe der Methoden der Li-
nearen Algebra lassen sich viele Aspekte der zwei- bzw. dreidimensio-
nalen Geometrie gut beschreiben und berechnen. Zum Beispiel erh¨alt
man so einen rechnerischen Zugang zur Elementargeometrie.
2 0. Einfu¨hrung
• Normalformen von Endomorphismen. Wir werden die Existenz der
Jordanschen Normalform beweisen und untersuchen, wie man diese
vernu¨nftig berechnen kann. Zum Beispiel ist dies bei der L¨osung li-
nearer Differentialgleichungssysteme ein wichtiges Hilfsmittel.
• Multilineare Algebra. Wir werden die Grundlagen der multilinearen
Algebra kennenlernen, wie zum Beispiel Tensorprodukte und ¨außere
Produkte. Konstruktionen dieser Art treten zum Beispiel bei der Be-
trachtung der Geometrie gekru¨mmter R¨aume, sogenannter Mannigfal-
tigkeiten, auf.
Anmerkung fu¨r Lehramtsstudenten. Auf ganz natu¨rliche Weise werden wir
dabei Begriffen und Themen aus der Schulmathematik begegnen und diese
vertiefen sowie auch Aspekten der Mathematik, die in Zukunft Bestandteil
der Schulmathematik werden k¨onnten. Wichtiger als die Beherrschung des
aktuellen Lehrplans ist es, ein solides Fundament zu erlernen, das es erlaubt,
Mathematik inhaltlich korrekt, nachvollziehbar und souver¨an zu lehren und
auf das der Unterricht im Rahmen des aktuellen und der zuku¨nftigen Lehr-
pl¨ane aufbauen kann.
Anmerkung zum Lernen. Dieses Skript dokumentiert die in der Vorlesung
behandelten Inhalte. Es dient keineswegs dazu, den Besuch der Vorlesung
oder gar der U¨bungen zu ersetzen. Außerdem spiegelt sich in diesem Skript
natu¨rlich nur ein kleiner Ausschnitt der Linearen Algebra wider. Sie sollten
sich unbedingt auch mithilfe anderer Quellen (Bu¨cher!) selbst ein Bild des
gesamten Gebietes machen! Referenzen der Form Satz I.6.4.11“ verweisen
”
auf die entsprechende Stelle im Skript zur Linearen Algebra I:
http://www.mathematik.uni-r.de/loeh/teaching/linalg1 ws1617/lecture notes.pdf
Wie der Name der Vorlesung bereits andeutet, ist es unabdingbar, die
Inhalte der Linearen Algebra I zu beherrschen, um die Lineare Algebra II
verstehen zu k¨onnen. Lu¨cken in der Linearen Algebra I sollten Sie also zu¨gig
fu¨llen.