Lineare Algebra II (FS 2001)

110 Pages·00.745 MB·German

by  Karin Baur

Lineare Algebra II
Vorlesungsskript
Karin Baur
FS 2001, ETH Zu¨rich.
7. August 2011
Zur VorbereitungdesvorliegendenSkriptes wurdendie folgendenQuellen
•
benutzt:
1. Gerd Fischer, Lineare Algebra, Vieweg + Teubner, 2009.
2. Robert Geroch, Mathematical Physics, Chicago lectures in Physics,
1985.
3. Klaus J¨anich, Lineare Algebra, Springer, 2008.
4. Max Koecher, Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer,
1985.
5. Urs Stammbach, Lineare Algebra, Teubner Studienskripten, 1980.
6. ErwinBolthausen,LineareAlgebra,VorlesungsskriptUniversit¨atZu¨rich.
Diese Liste ist nicht als Literaturempfehlung zur Pru¨fungvorbereitungzu
verstehen: Das vorliegende Skript, zusammen mit dem Skript [LA-I] von
D. Kressner,decken den Stoff der Pru¨fung vollst¨andig ab.
An dieser Stelle vielen Dank fu¨r die Korrekturangaben. Weitere Korrek-
•
turvorschl¨age k¨onnen immer noch an
[email protected]
gesendet werden.
iii
Lineare Algebra: wozu?
Viele Ph¨anomene in der realen Welt lassen sich gut durch lineare Modelle
ann¨ahern. So in der Physik, Chemie, Biologie. Diese linearen Modelle werden
durch lineare Gleichungssysteme beschrieben.
Abstrakte lineare Algebra
Im Idealfall k¨onnen die aufgestellten linearen Modelle exakt gel¨ost werden. Da
hilft die abstrakte lineare Algebra weiter. Man betrachtet hier vor allem Vek-
torr¨aume (auch lineare R¨aume genannt) und fasst sie als eine mathematische
Struktur auf. Die linearen Abbildungen sind strukturerhaltende Abbildungen
zwischen diesen R¨aumen (d.h. sie bilden in VRe ab).
Den dreidimensionalen Euklidschen Raum kennen wir gut als Beispiel. Eine
Spiegelung an einer Ebene durch den Ursprung ist ein Beispiel einer linearen
Abbildung. Ebenso eine Rotation um eine Koordinatenachse. Wenn wir Basen
(oder Koordinatensysteme) benutzen, k¨onnen wir lineare Abbildungen als Ma-
trizen darstellen. Damit k¨onnen wir dann gut rechnen.
Ausblick
Eine Bemerkung hier zu den Abbildungen in einem Vektorraum: Sie kennen
vielleichtaffine Abbildungen aus der Schule her.Dies sindkeine linearenAbbil-
dungen: Schauen wir den 3-dim VR R3 an. Eine affine Abbildung auf R3 l¨asst
sichdarstellenalsv Av+b,wobeibeinVektorinR3 sei(auchVerschiebungs-
7→
vektor genannt), A eine 3 3-Matrix mit reellen Eintr¨agen. Nur im Fall b = 0
×
(Nullvektor) ist dies eine lineare Abbildung.
Dies fu¨hrt zu einer Verallgemeinerung der Situation von vorher. Anstatt li-
neare Abbildungen auf Vektorr¨aumen kann man mit affinen Abbildungen auf
sogenannten affinen R¨aumen arbeiten. Also w¨ahlt man die affinen R¨aume als
die mathematische Struktur nimmt die affinen Abbildungen als die strukturer-
haltenden Abbildungen dazwischen.
Etwas abstrakter gesagt: in der Mathematik trifft man die Situation oft an,
wo man gewisse mathematischen Objekte oder Strukturen hat und Abbildun-
gen dazwischen betrachtet. In der Sprache der Kategorien spricht man dann
von einer Kategorie mit Objekten (hier in der Vorlesung: Vektorr¨aume) und
Morphismen (hier: lineare Abbildungen).
In diesem Sinne ist die lineare Algebra eine Grundlage fu¨r verschieden ma-
thematische Strukturen und Konzepte.
Numerische lineare Algebra
Oft k¨onnen die linearenModelle, die man nachPh¨anomenenin der realenWelt
aufstellt, nicht exakt gel¨ost werden. In solchen F¨allen werden die numerischen
Methoden der linearen Algebra benutzt.
Natu¨rlich ist es nicht immer der Fall, dass ein lineares Modell ausreicht, ein
komplexes System zu beschreiben. Wenn man jedoch die numerische Behand-
lung auf Rechenmaschinen anschaut, so werden auch die nichtlinearen Modelle
oft durch eine Folge von linearen Schritten beschrieben, man arbeitet dabei so-
zusagenimTangentialraumdesModelles.Dasfu¨hrtdazu,dassdieAlgorithmen
iv
der numerischen linearen Algebra im wissenschaftlichen Rechnen am h¨aufig-
sten gebraucht werden. Sie sind oft fu¨r den gr¨ossten Verbrauch an Rechenzeit
verantwortlich (daher ist es auch wichtig, numerisch optimale Algorithmen zu
finden).
Die Hauptaufgaben der numerischen linearen Algebra sind das L¨osen von
linearen Gleichungssysteme und die Eigenwertbestimmungen von Matrizen. In
der Praxis k¨onnen die Gleichungssysteme oder die Matrizen k¨onnen klein sein
(wenigerals 100Unbekannte), mittel odersehr gross(mit u¨ber 1 MillionUnbe-
kannten).
Ausserdem
Ein weiterer Aspekt der Vorlesung lineare Algebra im ersten Studienjahr ist
die Schulung des abstraktenund logischenDenkens und der ensprechendenBe-
weisfu¨hrung.
Inhaltsverzeichnis
1 Multilinearformen 1
1.1 Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Wo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Adjungierte Abbildung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Homomorphismen von Vektorr¨aumen . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Matrix einer Bilinearform (Grammatrix) . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Bilinearformen auf Unterr¨aumen, Normalformen . . . . . 11
Wo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Wo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.7 Matrix einer Sesquilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Raum der alternierenden k-Formen . . . . . . . . . . . . . 24
2 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume 27
Wo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Das kanonische Skalarprodukt im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 L¨angen und Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Orthogonale Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Orthonormierte Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Gram-Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren . . . . 35
Wo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Orthogonale und unit¨are Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Wo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Wo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 Selbstadjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Wo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8.1 Beispiel eines selbstadjungierten Endomorphismus . . . . 57
2.9 3-dimensionale Euklidsche Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Wo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
3 QR-Zerlegung 67
Wo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Nilpotente Endomorphismen 77
4.1 Repetition Jordan-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Wo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Quotientenr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Kanonische Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Zyklische Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Wo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Nilzyklische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Moduln und abelsche Gruppen 91
5.1 Moduln, freie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Wo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 Exakte Folgen von R-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . 97
0 INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Multilinearformen
In Kapitel 6.1 (Bemerkung 6.3) der Linearen Algebra I wurde daraufhingewie-
sen, dass die Determinante einer n n-Matrix eine multilineare Funktion ist,
×
also eine Funktion, die in jedem ihrer Argumente linear ist. Ausserdem wurde
dorteinweiteresBeispielgegeben,n¨amlichdiePermanenteeinerMatrix.Indie-
semKapitelwerdenwirMultilinearformenetwasallgemeinerbetrachten.Wobei
fu¨r uns momentan die beiden F¨alle einer bzw. zweier Variablen am wichtigsten
sind (Kapitel 1.1 und 1.2).
Notation: wir schreiben K fu¨r einen K¨orper. Sei jeweils K ein K¨orper und
V ein K-Vektorraum. Meistens kann man fu¨r K einfach die reellen Zahlen, R,
nehmen oder die komplexen, C.
1.1 Dualraum
Wir bezeichnen mit V den Raum linearen Abbildungen f : V K. Eine
∗
→
Abbildung f von V nach K ist linear, falls f(αv+βv )= αf(v)+βf(v ) gilt
′ ′
fu¨r alle α,β K, v,v V (siehe Abschnitt 5.1 in [LA-I]). Wir wollen V mit
′ ∗
∈ ∈
der Struktur eines K-Vektorraums versehen:
DieAdditionaufV istdefiniertdurch(f+g)(v):=f(v)+g(v)fu¨rbeliebige
∗
f, g V , v V. Also ist f +g V .
∗ ∗
∈ ∈ ∈
Die Multiplikation mit Skalaren ist fu¨r α K, f V : (α f)(x) :=αf(x),
∗
∈ ∈ ·
also αf V .
∗
∈
Satz 1.1. Zusammen mit diesen Verkn¨upfungen ist V∗ ein K-Vektorraum
Beweis: U¨bungsaufgabe Serie 2.
Jeder K-Vektorraum V liefert also einen neuen K-Vektorraum V .
∗
Definition 1.2. V heisst der Dualraum von V.
∗
Wir werden nun den Zusammenhang zwischen Basen von V und Basen von
V studieren. Dazu setzen wir voraus, dass V endlich-dimensional ist. Sei also
∗
dimV =n und =(v ,...,v ) eine Basis von V.
1 n
B
Dann definieren wir1 fu¨r jedes i, 1 i n das Element v V durch
≤ ≤ i∗ ∈ ∗
v (v )=δ .
i∗ j ij
1mitHilfevomKronecker-Deltaδij,wobeiδij =1istfu¨ri=j undδij =0fu¨ri6=j.
1
2 KAPITEL 1. MULTILINEARFORMEN
Wenn wir dies auf beliebige v = n α v in V erweitern durch:
j=1 j j
P
n n
v ( α v )= α v (v )
i∗ j j j i∗ j
j=1 j=1
X X
erhalten wir eine lineare Abbildung, wobei v (v) = n α δ =α ist, jedem
i∗ j=1 j ij i
Vektor v = n α v V wird unter v seine i-te Koordinate bezu¨glich der
i=1 j j ∈ i∗ P
Basis zugeordnet.
B P
Satz 1.3. =(v ,...,v )isteineBasis vonV .Insbesonderegilt dim(V )=
B∗ 1∗ n∗ ∗ ∗
dim(V).
(Zur Erinnerung: wir sind im endlich-dimensionalen Fall!)
Beweis: ist ein Erzeugendensystem:
∗
B
Sei v V ein beliebiger Vektor.Wir schreibenv in seinenKoordinatenbzgl. :
∈ B
n
v = v (v)v .
i∗ i
i=1
X
Dann gilt fu¨r ein beliebiges f V
∗
∈
K
∈ n
f(v)= f(v (v)v )= v (v)f(v ),
i∗ i i∗ i
X z}|{ Xi=1
also
n
f = f(vi)vi∗.
i=1
X
Damit l¨asstsichjedes Elementin V als Linearkombinationder v ausdru¨cken,
∗ i∗
(v ,...,v ) ist also ein Erzeugendensystem von V .
1∗ n∗ ∗
Lineare Unabh¨angigkeit:
Sei nun 0 = n α v , α K, wobei die 0 links der Nullvektor in V stehe,
i1 i i∗ i ∈ ∗
also die Nullabbildung V K. Insbesondere gilt fu¨r jedes j 1,...,n :
P → ∈{ }
n
0= α v (v )=α ,
i i∗ j j
i=1
X
die v sind also linear unabh¨angig und ist eine Basis von V .
i∗ B∗ ∗
Mittels Korollar 5.7 aus [LA-I] folgt dann insbesondere, dass V und V iso-
∗
morphsind. EinIsomorphismusl¨asst sicheinfachangeben: Sei =(v ,...,v )
1 n
B
eineBasisvonV und =(v ,...,v )diedazudualeBasis.Danndefiniertdie
B∗ 1∗ n∗
Abbildung f,die durchf(v )=v festgelegtist,einenIsomorphismusV V .
i i∗ → ∗
DieserIsomorphismusistjedochbasisabh¨angig konstruiertundnicht“natu¨rlich”
(wie man sagt). W¨ahlt man eine andere Basis = (u ...,u ) und dual dazu
1 n
A
=(u ,...,u ), so erhalten wir einen Isomorphismus g :V V , festgelegt
A∗ ∗1 ∗n → ∗
durch g(u )=u .
i ∗i
1.1. DUALRAUM 3
Frage: Wann gilt dann f =g?
DazubetrachtenmandieinvertierbareMatrixA=(a ) derBasistransforma-
ij ij
tion2 (von nach )
B A n
u = a v .
i ji j
j=1
X
Wie transformieren sich die Dualbasen? Der obige Basiswechsel ergibt
n
v (u )= a v (v )=a
k∗ i ji k∗ j ki
j=1
X
und also
n
v = a u .
k∗ ki ∗i
i=1
X
Nun k¨onnen wir u¨berpru¨fen, wann f =g gilt:
f =g f(u )=g(u ) i
i i
⇐⇒ ∀
n n
⇐⇒ ajif(vj)= ajivj∗ =g(ui)=u∗i ∀ i
j=1 j=1
X X
n n n n
⇐⇒ aji ajlu∗l =  ajiajlu∗l =u∗i ∀ i
j=1 l=1 l=1 j=1
X X X X
n  
a a =δ i,l
ji jl il
⇐⇒ ∀
j=1
X
ATA=I
n
⇐⇒
Es ist also f = g nur bei sehr speziellen Basistransformationen, denn im
Allgemeinen gilt fu¨r eine invertierbare Matrix ATA = I . Invertierbare (oder
n
6
auch regul¨are) n n-Matrizen mit ATA=I sind sehr selten.
n
×
1.1.1 Orthogonale Matrizen
DieMatrizen,diedieBedingungATA=I erfu¨llensindansichwichtigfu¨reine
n
gesonderte Betrachtung. Die Bedeutung dieser Matrizen wird erst sp¨ater klar
werden.
Definition 1.4. Eine invertierbare Matrix A heisst orthogonal, falls ATA =
I gilt. Die Menge aller orthogonalen n n-Matrizen (mit Koeffizienten aus K)
n
×
bezeichnen wir mit O(n,K).
Aufgabe 1.5. Die orthogonalen Matrizen O(n,K) bilden eine Gruppe (und
zwar eine Untergruppe von Gl(n,K)).
2genanntBasiswechselmatrixundgeschrieben[I]B,A inAbschnitt5.2.2von[LA-I].