Table Of ContentRalfGerkmann
MathematischesInstitutder
Ludwig-Maximilians-UniversitätMünchen
Lineare Algebra II
(Versionvom13.August2014)
Inhaltsverzeichnis
§1. EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§3. DerSatzvonCayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§4. DieJordanscheNormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§5. DaseuklidischeStandard-Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§6. AllgemeineSkalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§7. Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§8. OrthogonaleundunitäreAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§9. DualräumeundselbstadjungierteOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§10. DieHauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§11. FaktorräumeundTensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 1. Eigenwerte und Eigenvektoren
WichtigeBegriffeundSätzeindiesemAbschnitt
– Eigenwerte,EigenvektorenundEigenräumevonEndomorphismenundMatrizen
– DarstellungsmatrizenvonEndomorphismen,Ähnlichkeit
– GrundlagenüberPolynome(wichtig:dieVielfachheiteinerNullstelle)
– diecharakteristischenPolynomeχ undχ
A φ
– DieEigenwerteeinesEndomorphismussindgenaudieNullstellenseinescharakteristischenPolynoms.
ImgesamtenTextbezeichnetK stetseinenbeliebigenKörper,solangenichtsgenaueresfestgelegtwird.
Definition1.1 SeiV einK-Vektorraumundφ:V →V einEndomorphismusvonV.
(i) EinElementλ∈K heißtEigenwertvonφ,wenneseinv ∈V mitv (cid:54)=0 undφ(v)=λvgibt.
V
(ii) EinVektorv ∈V heißtEigenvektorvonφ,wennv (cid:54)=0 istundeinλ∈K mitφ(v)=λvexistiert.
V
Seiennunv ∈V undλ∈Kvorgegeben.MannenntveinenEigenvektorzumEigenwertλ,wennv (cid:54)=0
V
unddieGleichungφ(v)=λverfülltist.
Definition 1.2 Sei V ein K-Vektorraum und φ ∈ End (V). Für jedes λ ∈ K bezeichnet man die
K
MengeEig(φ,λ) = {v ∈ V | φ(v) = λv}alsdenEigenraumvonφzumWertλ ∈ K.Erbestehtausdem
Nullvektor0 unddenEigenvektorenzumEigenwertλ.
V
AusderLinearenAlgebraIistbekannt,dassKernevonlinearenAbbildungenUntervektorräumesind.Diefolgende
Propositionzeigt also, dassEig(φ,λ) fürjedes λ ∈ K undjedes φ ∈ End (V) einUntervektorraumvon V ist. Na-
K
türlichkanndieseEigenschaftauchdirektnachgerechnetwerden.
Proposition 1.3 Sei V ein K-Vektorraum und φ ∈ End (V). Für jedes λ ∈ K ist der Eigenraum
K
gegeben durch Eig(φ,λ) = ker(φ−λid ). Das Element λ ist ein Eigenwert von φ genau dann, wenn
V
Eig(φ,λ)(cid:54)={0 }gilt.
V
Beweis: FürjedenVektorv ∈V giltdieÄquivalenz
v ∈Eig(φ,λ) ⇔ φ(v)=λv ⇔ φ(v)−λv =0 ⇔ φ(v)−λid (v)=0
V V V
⇔ (φ−λid )(v)=0 ⇔ v ∈ker(φ−λid ).
V V V
Daraus folgt Eig(φ,λ) = ker(φ−λid ). Ein Element λ ∈ K ist nach Definition Eigenwert genau dann,
V
wenneinv ∈V mitv (cid:54)=0 undφ(v)=λvexistiert,alsogenaudann,wenneseinElementungleich0 in
V V
Eig(φ,λ)gibt.Weil0 aufjedenFallinEig(φ,λ)liegt,istdieswiederumäquivalentzuEig(φ,λ)(cid:54)={0 }.
V V
—– 3 —–
Alsnächstessehenwirunsan,wiedasMatrixkalkülzurUntersuchungvonEigenwertenundEigenvektoreneinge-
setztwerdenkann.SeinunA∈M einequadratischeMatrix.Wirbezeichnenv ∈KnalsEigenvektorvonA,wenn
n,K
veinEigenvektorderAbbildungφ : Kn → Kn,v (cid:55)→ Avist.EbensosinddieEigenwertevonAnachDefinitiondie
A
EigenwertedesEndomorphismusφ .Fürjedesλ∈K definierenwir
A
Eig(A,λ) = Eig(φ ,λ) = {v ∈Kn |Av =λv}.
A
WiederumbestehtEig(A,λ)ausdenEigenvektorenvonAzumEigenwertλunddemNullvektor0Kn,unddarüber
hinausgiltEig(A,λ)=ker(A−λI ).
n
InderLinearenAlgebraIwurdegezeigt,dassjedelineareAbbildungφ : V → W zwischenendlich-dimensionalen
K-VektorräumenV,W aufeindeutigeWeisedurcheineMatrixbeschriebenwerdenkann,sobaldmanfürV undW
Basenfestgelegthat.IstAeineBasisvonV undBeineBasisvonW,dannverwendenwirdieBezeichung
MA(φ)
B
für die Darstellungsmatrix von φ bezüglich der Basen A und B. Mit κA : V → Kn bezeichnen wir die Koordina-
tenabbildung, die jedem Vektor v ∈ V seine A-Koordinaten zuordnet, wobei n = dimV ist. Wir erinnern an den
wichtigenZusammenhang
MA(φ)κA(v) = κB(φ(v)).
B
DieDarstellungsmatrixMA(φ)istalsodadurchgekennzeichnet,dasssiedenVektorv inA-Koordinatenentgegen-
B
nimmtunddenVektorφ(v)inB-KoordinatenalsErgebnisliefert.
Ist nun V = W, die Abbildung φ also ein Endomorphismus des Vektorraums von V, dann braucht man nur noch
eine Basis von V, um φ zu beschreiben. Wir setzen M (φ) = MA(φ) und nennen diese quadratische Matrix die
A A
DarstellungsmatrixvonφbezüglichderBasisA.
Definition1.4 ZweiMatrizenA,B ∈M werdenähnlichgenannt,wenneineinvertierbareMatrix
n,K
T ∈GL (K)mitB =TAT−1existiert.
n
Proposition1.5 SeiV einn-dimensionalerK-Vektorraum,undseiφ ∈ End (V).SindA,B ∈ M
K n,K
DarstellungsmatrizenvonφbezüglichunterschiedlicherBasenvonV,dannsindAundBähnlich.
Beweis: Seien A und B Basen von V, so dass A = M (φ) und B = M (φ) erfüllt ist. Sei außerdem
A B
T = TA die Matrix des Basiswechsels von A nach B, also die eindeutig bestimmte Matrix T ∈ GL (K)
B n
mitTκA(v)=κB(v)fürallev ∈V.AufGrundderTransformationsformelausderLinearenAlgebraIgilt
B = M (φ) = MB(φ) = TAMA(φ)TB = TAM (φ)(cid:0)TA(cid:1)−1 = TAT−1. (cid:3)
B B B A A B A B
Proposition 1.6 Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, φ ∈ End (V) und A ∈ M
K n,K
die Darstellungsmatrix von φ bezüglich einer beliebigen Basis A von V. Genau dann ist v ∈ V ein
EigenvektorvonφzueinemEigenwertλ∈K,wennderKoordinatenvektorκA(v)einEigenvektorvon
AzumEigenwertλist.
—– 4 —–
Beweis: NachDefinitionderDarstellungsmatrixgiltAκA(v) = κA(φ(v))fürjedesv ∈ V.Seinunλ ∈ K
vorgegeben.EinVektorvistgenaudannEigenvektorvonφzumEigenwertλ,wennv (cid:54)=0 undφ(v)=λv
V
erfülltist.AufGrundderBijektivitiätundderLinearitätderKoordinatenabbildungκAgeltendieÄquiva-
lenzenv (cid:54)=0V ⇔κA(v)(cid:54)=0Kn und
φ(v)=λv ⇔ κA(φ(v))=κA(λv) ⇔ κA(φ(v))=λκA(v) ⇔ AκA(v)=λκA(v).
DieletzteGleichungzusammenmitκA(v) (cid:54)= 0Kn istäquivalentzurAussage,dassκA(v)einEigenvektor
vonAzumEigenwertλist.
DiePropositionzeigtinsbesondere,dassdieEigenwertevonφgenaudieEigenwertederDarstellungsmatrixAsind.
Im folgenden beschäftigen wir uns mit der Frage, wie man die Eigenwerte eines Endomorphismus findet. Dafür
benötigen wir einige Grundbegriffe und elementare Aussagen über Polynome. Wir nennen ein Polynom f ∈ K[x]
genaudannkonstant,wennf =0 odergrad(f)=0gilt,wennf alsoinK liegt.
K
Satz1.7 (DivisionmitRest)
Seienf,g ∈ K[x],wobeig nicht-konstantist.Danngibtesq,r ∈ K[x]mitf = qg+r,wobeir = 0 ist
K
oderzumindestgrad(r)<grad(g)gilt.
WirverzichtenandieserStelleaufeinenBeweis,weildiesereherindieAlgebra-Vorlesunggehört.AusdemSchul-
unterrichtistzumindestfürK = Rbekannt,dassdiePolynomeq undr durchPolynomdivisionbestimmtwerden
können.
JedemPolynomf ∈K[x]kanndurcha(cid:55)→f(a)eineAbbildungK →K zugeordnetwerden,diedadurchzuStande
kommt, dass die Elemente a ∈ K in die Unbestimmte x eingesetzt werden. Man bezeichnet diese Abbildung auch
alsdiedemPolynomf zugeordnetePolynomfunktion.
FürunendlicheKörpergiltallgemein,dassverschiedenePolynomeauchverschiedenePolynomfunktionendefinie-
ren.FürendlicheKörperistdasabernichtmehrrichtig:BeispielsweisedefinierendiePolynomef,g ∈F [x]gegeben
2
durchf =xundg =x2dieselbePolynomfunktion,dennesgilt
f(¯0)=g(¯0)=¯0 und f(¯1)=g(¯1)=¯1.
EinElementa ∈ K wirdNullstellevonf ∈ K[x]genannt,wennf(a) = 0 gilt.MannennteinPolynomg ∈ K[x]
K
einenTeilervonf,wenneinh∈K[x]mitf =ghexistiert.Istgrad(g)=1,dannnenntmangaucheinenLinearfaktor
desPolynomsf.AuchdiefolgendeAussageistimGrundeschonausderSchulmathematikbekannt.
Satz1.8 Seif ∈K[x]unda∈K.Genaudanngiltf(a)=0 ,wennx−aeinLinearfaktorvonf ist.
K
Beweis: NachSatz1.7gibtesPolynomeg,r ∈ K[x]mitf = (x−a)g+r,wobeidasPolynomr wegen
r = 0 odergrad(r) < grad(x−a) = 1konstantist.IstnunaeineNullstellevonf,danngiltr = r(a) =
K
f(a)−(a−a)g(a) = 0 −0 = 0 undsomitf = (x−a)g.Istumgekehrtx−aeinLinearfaktorvonf,
K K K
danngibteseing ∈K[x]mitf =(x−a)g,undesfolgtf(a)=(a−a)g(a)=0 .
K
—– 5 —–
Definition1.9 Seif ∈K[x]mitf (cid:54)=0 unda∈K eineNullstellevonf.Dasmaximaler ∈Nmitder
K
Eigenschaft,dass(x−a)r einTeilervonf ist,wirddieVielfachheitµ(f,a)derNullstelleagenannt.
NachSatz1.7giltalsoµ(f,a)≥1fürjedeNullstelleavonf.Istf(a)(cid:54)=0 ,dannsetzenwirµ(f,a)=0.Dasfolgende
K
KriteriumistfürdieBestimmungderVielfachheiteinerNullstellehilfreich.
Proposition 1.10 Sei f ∈ K[x] ein Polynom mit einer Zerlegung f = (x−a)rg, wobei r ∈ N und
0
g(a)(cid:54)=0 ist.Danngiltr =µ(f,a).
K
Beweis: DieGleichungf =(x−a)rgzeigtjedenfalls,dassµ(f,a)≥rgilt.Nehmenwirnunan,dasssogarµ(f,a)>r
gilt.Danngibteseinh∈K[x]mitf =(x−a)r+1h.TeiltmandieGleichung(x−a)rg =(x−a)r+1hdurch(x−a)r,
(cid:3)
dannfolgtg =(x−a)hundg(a)=(a−a)h(a)=0 ,imWiderspruchzurVoraussetzungg(a)(cid:54)=0 .
K K
Seif ∈K[x]einPolynomvomGrad≥1.Mansagt,f zerfälltinLinearfaktoren,wennesalsProduktvonLinearfak-
torengeschriebenwerdenkann.InausgeschriebenerFormbedeutetdies,dassElementec,λ ,...,λ ∈ K existieren,
1 r
sodass
r
(cid:89)
f = c (x−λ ) gilt.
k
k=1
EinKörperKwirdalgebraischabgeschlossengenannt,wennjedesPolynomvomGrad≥1inK[x]inLinearfaktoren
zerfällt.InderFunktionentheoriezeigtman,dasszumBeispielderKörperCderkomplexenZahlendieseEigenschaft
besitzt.DagegenistRnichtalgebraischabgeschlossen,denndasPolynomx2+1hatkeineNullstelleninRundkann
deshalb nach Satz 1.8 nicht in Linearfaktoren zerlegt werden. In der Algebra-Vorlesung wird aber gezeigt, dass zu
einem Körper K ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper existiert. Im Fall K = R ist dies gerade der
KörperC.
Nunwerdenwirsehen,inwiefernPolynomebeiderBestimmungderEigenwerteeinerMatrixweiterhelfen.
Definition1.11 FürjedeMatrixA∈M nenntman
n,K
χ = (−1)ndet(A−xI ) = det(xI −A) ∈K[x]
A n n
dascharakteristischePolynomvonA.
Satz1.12 DieEigenwerteeinerMatrixA ∈ M sindgenaudieNullstellendescharakteristischen
n,K
Polynomsχ .
A
Beweis: Für jedes λ ∈ K gilt Eig(A,λ) = ker(A−λI ). Genau dann ist λ ein Eigenwert von A, wenn
n
ker(A−λI )(cid:54)={0 }gilt(vgl.Prop.1.3).NachdemDimensionssatzfürlineareAbbildungengiltweiter
n V
(cid:3)
dimker(A−λI )>0 ⇔ rg(A−λI )<n ⇔ det(A−λI )=0 ⇔ χ (λ)=0
n n n K A K
—– 6 —–
Definition 1.13 Ist V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, φ ∈ End (V) und A ∈ M die
K n,K
Darstellungsmatrix von V bezüglich einer beliebig gewählen Basis, dann bezeichnen wir χ = χ als
φ A
charakteristischesPolynomvonφ.
Proposition 1.14 Das charakteristische Polynom χ ist unabhängig von der gewählten Basis des
φ
VektorraumsV.
Beweis: SindA,B ∈M dieDarstellungsmatrizenvonφbezüglichverschiedenerBasen,dannsindA
n,K
undB nachProp.1.5ähnlich.EsgibtalsoeinT ∈ GL (K)mitB = TAT−1.AufGrundderMultiplikati-
n
vitätderDeterminantenfunktionfolgt
χ = det(xI −B) = det(T(xI )T−1−TAT−1) = det(T(xI −A)T−1)
B n n n
(cid:3)
= det(T)det(xI −A)det(T)−1 = det(xI −A) = χ .
n n A
Korollar 1.15 Auch für jeden Endomorphismus φ ∈ End (V) eines endlich-dimensionalen K-
K
VektorraumsV gilt:DieEigenwertevonφsindgenaudieNullstellendesPolynomsχ .
φ
Beweis: SeiAdieDarstellungsmatrixvonφbezüglicheinerbeliebigenBasisvonV.Danngiltχ = χ
φ A
nachDefinition.AufGrundvonProp.1.6sinddarüberhinausdieEigenwertevonφgenaudieEigenwerte
vonA.AlsosinddieEigenwertevonφnachSatz1.12genaudieNullstellenvonχ unddamitauchgenau
A
dieNullstellenvonχ .
φ
—– 7 —–
§ 2. Diagonalisierbarkeit
WichtigeBegriffeundSätzeindiesemAbschnitt
– Diagonalmatrizen
– DiagonalisierbarkeitvonMatrizenundEndomorphismen
– algebraischeundgeometrischeVielfachheiteinesEigenwerts
– KriterienfürdieDiagonalisierbarkeiteinesEndomorphismus
Definition2.1 Sindλ ,...,λ ∈ K,dannbezeichnenwirmitdiag(λ ,...,λ )dieMatrixD = (d )mit
1 n 1 n ij
denEinträgen
(cid:40)
λ fallsi=j =k
k
d =
ij
0 fallsi(cid:54)=j.
Eine Matrix dieser Form wird Diagonalmatrix genannt. Man bezeichnet eine Matrix A ∈ M als
n,K
diagonalisierbar,wennsieähnlichzueinerDiagonalmatrixist.
Definition 2.2 Einen Endomorphismus φ eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V bezeich-
net man als diagonalisierbar, wenn eine Basis von V existiert, so dass die Darstellungsmatrix von φ
bezüglichdieserBasiseineDiagonalmatrixist.
Proposition 2.3 Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, φ ∈ End (V) und A ∈ M die
K n,K
Darstellungsmatrix von φ bezüglich einer beliebigen Basis von V. Genau dann ist A diagonalisierbar,
wennφdiagonalisierbarist.
Beweis: SeiAeineBasisvonV,sodassA=M (φ)erfülltist.
A
„⇐“ WeilφnachVoraussetzungdiagonalisierbarist,gibteseineBasisBvonV,sodassD =M (φ)eine
B
Diagonalmatrixist.DieMatrizenAundD sindalsodieDarstellungsmatrizenvonφbezüglichderBasen
A,B.NachProp.1.5sindAundDähnlich,unddamitistAnachDefinitiondiagonalisierbar.
„⇒“ Ist A diagonalisierbar, dann gibt es ein T ∈ GL (K) mit der Eigenschaft, dass D = TAT−1 eine
n
Diagonalmatrixist.Fürjedesv ∈V giltnachDefinitionderDarstellungsmatrixjeweils
AκA(v )=κA(φ(v)) ⇔ T−1DTκA(v )=κA(φ(v)) ⇔ DTκA(v )=TκA(φ(v)).
k k k
AusderLinearenAlgebraIistbekannt,dassT =TAfüreinegeigneteBasisBvonV gilt.Wirerhalten
B
DTAκA(v)=TAκA(φ(v)) ⇔ DκB(v)=κB(φ(v))
B B
WeilM (φ)dieeindeutigbestimmteMatrixmitM (φ)κB(v)=κB(φ(v))fürallev ∈V ist,folgtM (φ)=
B B B
D.Dieszeigt,dassφdiagonalsierbarist.
—– 8 —–
Proposition2.4 SeiV (cid:54)={0 }einendlich-dimensionalerK-Vektorraumundφ∈End (V).
V K
DannsinddiefolgendenAussagenäquivalent:
(i) DerEndomorphismusφistdiagonalisierbar.
(ii) DerVektorraumV besitzteineBasisbestehendausEigenvektorenvonφ.
Beweis: „(i)⇒(ii)“ NachVoraussetzunggibteseineBasisA = (v ,...,v )vonV mitderEigenschaft,
1 n
dass D = M (φ) eine Diagonalmatrix ist, D = diag(λ ,...,λ ) mit λ ∈ K für 1 ≤ k ≤ n. Der k-te
A 1 n k
SpaltenvektorvonDistjeweilsdasλ -fachedesk-tenEinheitsvektorse .Esfolgt
k k
De =λ e ⇔ M (φ)κA(v )=λ κA(v ) ⇔ κA(φ(v ))=κA(λ v ) ⇔ φ(v )=λ v
k k k A k k k k k k k k k
für1≤k ≤n,wobeiimletztenSchrittdieBijektivitätvonκAverwendetwurde.AlsElementeinerBasisist
v (cid:54)=0 ;zusammenmitderGleichungφ(v )=λ v zeigtdies,dassAausEigenvektorenvonφbesteht.
k V k k k
„(ii)⇒(i)“ SeiA = (v ,...,v )eineBasisvonV,wobeiv jeweilseinEigenvektorvonφzumEigenwert
1 n k
λ ist,für1 ≤ k ≤ n.AußerdemseiD = M (φ).Danngiltjeweilsφ(v ) = λ v ,unddieRechnungaus
k A k k k
demvorherigenAbsatzhatgezeigt,dassdiesäquivalentzuDe = λ e ist.Diek-teSpaltevonDistalso
k k k
gleichλ e ,für1 ≤ k ≤ n.DarausfolgtD = diag(λ ,...,λ ),alsoistD eineDiagonalmatrixundφdamit
k k 1 n
diagonalisierbar.
Alsnächsteszeigenwir,dassderVektorraumV bezüglicheinesdiagonalisierbarenEndomorphismusinEigenräume
zerlegtwerdenkann.DiebeidenfolgendenAussagendienenzurVorbereitung.
Proposition2.5 SeiV einK-Vektorraum,φ ∈ End (V),undseien λ ,...,λ verschiedeneElemente
K 1 r
vonK.Fürjedesk ∈{1,...,r}seiv ∈V jeweilseinEigenvektorzumEigenwertλ .DannistdasTupel
k k
(v ,...,v )linearunabhängig.
1 r
Beweis: Wirführen denBeweis durchvollständigeInduktion über r. Fürr = 1 istdie Aussagewegen
v (cid:54)=0 klar.Seinunr ∈N,undsetzenwirnundieBehauptungfürdiesesrvoraus.Esseienλ ,...,λ ∈
1 V 1 r+1
Kverschieden,undseiv ∈V für1≤k ≤r+1jeweilseinEigenvektorzumEigenwertλ .ZumNachweis
k k
derlinearenUnabhängigkeitseienα ,...,α ∈K mitderEigenschaft
1 r+1
r+1
(cid:88)
α v = 0 . (2.1)
k k V
k=1
DannliefertdieMultiplikationvon(2.1)mitdemWertλ einerseits
r+1
r+1
(cid:88)
α λ v = 0 , (2.2)
k r+1 k V
k=1
andererseitserhältmandurchAnwendungvonφauf(2.1)aberauch
r+1 r+1 (cid:32)r+1 (cid:33)
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
α λ v = α φ(v ) = φ α v = φ(0 ) = 0 . (2.3)
k k k k k k k V V
k=1 k=1 k=1
—– 9 —–
SubtrahierenwirdieGleichungen(2.2)und(2.3)voneinander,soerhaltenwir
r+1 r+1 r+1
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
α λ v − α λ v = α (λ −λ )v = 0 .
k r+1 k k k k k r+1 k k V
k=1 k=1 k=1
DadasTupel(v ,...,v )nachInduktionsvoraussetzunglinearunabhängigsind,folgtα (λ −λ )=0
1 r k r+1 k K
für1≤k ≤r.Wegenλ −λ (cid:54)=0 folgtα =0 für1≤k ≤r.Setzenwirdieswiederumin(2.1)ein,so
r+1 k K k K
erhaltenwirα v =0 ,undwegenv (cid:54)=0 folgtα =0 .DamitistdielinearenUnabhängigkeit
r+1 r+1 V r+1 V r+1 K
von(v ,...,v )nachgewiesen.
1 r+1
Proposition2.6 SeiφeinEndomorphismuseinesK-VektorraumsV,undseienλ ,...,λ verschiedene
1 r
ElementedesKörpersK.Danngilt
(cid:88)
Eig(φ,λk)∩ Eig(φ,λ(cid:96)) = {0V} für 1≤k ≤r.
(cid:96)(cid:54)=k
Beweis: Nehmenwiran,dasseink ∈{1,...,r}undeinVektorv (cid:54)=0 inderangegebenenSchnittmenge.
V
DanngibtesVektorenv ∈Eig(φ,λ )für1≤(cid:96)≤rmit
(cid:96) (cid:96)
(cid:88) (cid:88)
v =v = v ⇔ v +(−1 )v = 0 .
k (cid:96) (cid:96) K k V
(cid:96)(cid:54)=k (cid:96)(cid:54)=k
Aberwegenv (cid:54)=0 stehtdiesstehtimWiderspruchzurProp.2.5,dasTupelbestehendausdenVektoren
k V
v mitv (cid:54)=0 linearunabhängigist.
(cid:96) (cid:96) V
MitdiesenErgebnissenerhaltenwireinneuesKriteriumfürdieDiagonalisierbarkeiteinesEndomorphismus.
Proposition 2.7 Sei V (cid:54)= {0 } endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End (V). Dann sind
V K
diefolgendenAussagenäquivalent:
(i) DerEndomorphismusφistdiagonalisierbar.
(ii) EsgibtverschiedeneElementeλ ,...,λ ∈K,sodass
1 r
r
(cid:77)
V = Eig(φ,λ ) erfülltist.
(cid:96)
(cid:96)=1
Beweis: „(i)⇒(ii)“ NachVoraussetzungexistierteineBasisA={v ,...,v }vonV bestehendausEigen-
1 n
vektoren.Seienλ ,...,λ dieverschiedenenEigenwertevonφ.WeilalleElementederBasisEigenvektoren
1 r
sind, gibt es für jedes k ∈ {1,...,n} ein (cid:96) ∈ {1,...,r} mit φ(v ) = λ v . Es gilt dann also v ∈ Eig(φ,λ ).
k (cid:96) k k (cid:96)
SetzenwirU =(cid:80)r Eig(φ,λ ),danngiltinsgesamtA⊆U.WeilAeineBasisundU einUntervektorraum
(cid:96)=1 (cid:96)
vonV ist,stimmtV mitderSummeU ein,undnachProp.2.6istdieseSummedirekt.
„(ii)⇒(i)“ Fürjedes(cid:96) ∈ {1,...,r}seiA eineBasisvonEig(φ,λ ).AufGrundderdirektenSummenzer-
(cid:96) (cid:96)
legungistdannA = (cid:83)r A eineBasisvonV.JedesA bestehtausEigenvektorenvonφ,somitauchdie
(cid:96)=1 (cid:96) (cid:96)
BasisA.DarausfolgtdieDiagonalisierbarkeitvonφ.
—– 10 —–
