Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen

989 Pages·2013·4.83 MB·German

by  Peter Knabner

Springer-Lehrbuch
⋅
Peter Knabner Wolf Barth
Lineare Algebra
Grundlagen und Anwendungen
Peter Knabner Wolf Barth
UniversitätErlangen-Nürnberg UniversitätErlangen-Nürnberg
Department Mathematik Department Mathematik
Lehrstuhl Angewandte Mathematik 1 Emmy-Noether-Zentrum
Erlangen Erlangen
Deutschland Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-32185-6 ISBN978-3-642-32186-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-32186-3
MathematicsSubjectClassification(2010):15-01, 15Axx, 34-01, 90C05, 51-01, 65Fxx, 90C20, 65Txx, 91Bxx
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013
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v
Vorwort
JedesneueLehrbuchderLinearenAlgebramusssichangesichtseinerVielzahlhervorra-
gender,auchaktuellerLehrbücherüberdiesesGebiet,insbesondereimdeutschenSprach-
raum,nachseinerExistenzberechtigungfragenlassen.WarumwirderMeinungsind,dass
dies für das hier vorgelegte Werk durchaus der Fall ist, trotz seines Umfangs und trotz
seines an einigenStellen nichtgeringenAnspruchs,ergibtsich ausunseremVerständnis
desGebietsundderheutigenLehrsituationandendeutschenUniversitäten,insbesondere
im Rahmen einer durch Bachelor und Master strukturiertenAusbildung:Für uns ist das
Ziel der Linearen Algebra die Einübung in die Theorie linearer Strukturen. Dabei liegt
der Schwerpunktauf endlichdimensionalenR-Vektorräumen,aber auch K-Vektorräume
überallgemeinenKörperK sollendabeiweitgehendbehandeltwerden.Auchunendlich-
dimensionale Vektorräume in Theorie und Anwendung sollen soweit wie möglich eine
Rolle spielen. Angesichtsder heutigenBedeutungder LinearenAlgebraals grundlegen-
desWerkzeugundSprachefürimWesentlichenalleTeilederMathematik,insbesondere
auch die der AngewandtenMathematik und die darauf fußendenAusstrahlungenin Na-
turwissenschaften,IngenieurwissenschaftenundWirtschaftswissenschaften,sehenwir in
derLinearenAlgebranichtprimäreineAusbildunginAlgebraundauchnichtausschließ-
lich in Geometrie, wobei Letztere ein sehr wesentliches Anwendungs- und Beispielfeld
darstellt.
Die Klientel in einer Linearen-Algebra-Vorlesung an einer deutschen Universität ist
heutetypischerweisesehrdifferenziert,mitzumTeilauchsehrunterschiedlichenAnsprü-
chen an Inhalt und Rigorosität ihrer Mathematikausbildung. Trotz dieser immer größer
werdendenSpannbreitesind wir nichtden Weg des kleinstengemeinsamenNennersge-
gangen und haben ein möglichst elementares und möglichst kompaktes Lehrbuch vor-
gelegt, sondern haben darauf bestanden ein, wie wir finden, vernünftiges Abstraktions-
niveau zu bewahren. Das Abstraktionsniveau des Buches besteht durchgängig aus end-
lichdimensionalen K-Vektorräumen K ∈ {R,C} bis hin zu unendlichdimensionalenK-
Vektorräumen und auch soweit wie möglich K-Vektorräumen. Die Beispielebenen des
Buches sind der Tupelraum Rn, der Matrizenraum und lineare Gleichungssysteme. Um
dennochdieZugänglichkeitzuerleichtern,sindwirvoneinemstriktendeduktivenAufbau
derTheorieabgewichenundhabeninduktiveElementeindieDarstellungeingebaut.Die
maßvolleMischungausinduktivemunddeduktivemVorgehenwirdindemAnfangskapi-
telauchdurchdie RandmarkierungenRLGS (Rückführungauflineare Gleichungssyste-
me),beiEntwicklungderTheoriedurchRückgriffeaufParametrisierungundFragenvon
LösungsmengenlinearerGleichungssysteme,bzw.beimdeduktivenSchrittdurchALGS
(AnwendungauflineareGleichungssysteme)beiderSpezialisierungallgemeinerTheorie
aufdiesenFallangedeutet.Insgesamtwirdeine(sehrgemäßigte)RedundanzinKaufge-
nommen, insofern zum Teil Sachverhalte alternativ mit verschiedenen Beweismethoden
beleuchtetwerden.
AusgangspunktdeserstenKapitelsistderRn,worausaberschnellderallgemeineBe-
griff des R-Vektorraums entwickelt wird und auch noch weitere, insbesondere endlich-
dimensionale, Beispiele behandeltwerden. Um dieses minimale Maß an Konkretheitzu
bewahren,werdeninKapitel1und2nurR-Vektorräumebzw.ihreKonkretisierungenbe-
handelt.Die Erweiterungder Theorieauf allgemeine K-Vektorräume,d.h. insbesondere
vi
auchdieBereitstellungderTheoriefürC-Vektorräume,erfolgtdannerstineinemzweiten
SchrittinKapitel3.AbKapitel4werdendannentwederallgemeineK-Vektorräumeoder
(beiunitärerStruktur)K-Vektorräumeeinheitlichzugrundegelegt.
UmdarüberhinausfürdieStudierendenausverschiedenenFachrichtungenansprechen-
deAnwendungsbezügeaufweisenzukönnen,sindInhalteaufgenommenworden,diezum
Teil über den StandardkanonLineare Algebra hinausgehen(und durchausals Vorschlag
zudessenReformgesehenwerdensollen):
FürLehramtsstudierendeMathematik(abernichtnurfürdiese)werdenausführlichver-
schiedeneAspektederAnalytischenGeometriebetrachtet,entwederin Formvonimmer
wieder eingestreuten„Beispielen (Geometrie)“,oder aberin durchgängigenAbschnitten
oder ganzen Kapiteln. Dazu gehört eine Behandlung der Affinen Geometrie (Abschnit-
te1.7,2.8),eineausführlicheBehandlungderQuadriken(Abschnitt5.3)undinsbesondere
derPolyedertheoriemitZielrichtungLineareOptimierung(Kapitel6).
FürMathematikstudierendemiteinermöglichenVertiefungAnalysisoderauchPhysik-
studierendewird Wert gelegt auf unendlichdimensionaleVektorräumeund auf Spektral-
analyse, wobei die Schur- und ebenso die Jordan-Normalformauch in ihren reellen
Varianten einen breiten Teil einnehmen.Auch wird den Querverbindungenzur Analysis
großeBedeutungbeigemessen,umdenÜbergangineine(auchnicht-lineare)Funktional-
analysismöglichsteinfachzugestalten(Abschnitte4.4,4.5,4.7.3,Kapitel7).Dazugehört
auch eine durchgängigeBehandlung von Systemen linearer Differentialgleichungen mit
konstantenKoeffizientenmitvollständigenLösungsdarstellungen.
FürMathematikstudierendemiteinermöglichenVertiefungAlgebrawerdennebender
allgemeinen K-Vektorraum-Theorieauch algebraischeStrukturenallgemein undals An-
wendungdie Kodierungstheorieangesprochen.Dieser Anwendungsaspektwird insofern
nichtvertieft,als hierein hervorragendesaktuellesLehrbuch(Huppert undWillems
2006)vorliegt,dasspezielldieseAnwendungenpflegt.
FürStudierendederWirtschaftsmathematikwurdenInhalteaufgenommen,wiedieAn-
fangsgründederlinearenundquadratischenOptimierung(Abschnitte4.7.2,6.4–6.7)oder
aucheinedurchgehendeBehandlunglinearerDifferenzengleichungen.
Für Studierende der Mathematik mit möglicher Vertiefung Numerische Mathematik
oder Optimierung und insbesondere Studierende der Technomathematik wurden Inhalte
wie LR-Zerlegung,Pseudoinverse,Singulärwertzerlegungund auch quadratische und li-
neareOptimierungeinbezogen(Abschnitt2.4.2–2.4.3,2.5.2,4.6,4.7.2,6.6,6.7,aberauch
Kapitel7).
Der Text baut (auch) auf algorithmische Zugänge auf und behandelt algorithmische
Fragen ohne ein Lehrbuch der Numerischen Linearen Algebra zu sein. Immerhin wer-
denaber einigeVerfahrenbishin zumMATLABCode entwickelt,darunter4 der 10als
wichtigsteAlgorithmendes20tenJahrhundertsausgewähltenVerfahren(Dongarraund
Sullivan2000).
Durchgängigwurde großer Wert darauf gelegt, die erarbeitete Theorie und Algorith-
mik nicht nur mit möglichen innermathematischenWeiterentwicklungenzu verknüpfen,
sondern insbesondere auch den in keiner Weise einfachen oder gar selbstverständlichen
Schritt der Anwendung auf Fragen der Realwissenschaften einzuüben. Dazu dient früh
der Abschnitt 1.6, durchgängig nummerierte Abschnitte zur Mathematischen Modellie-
rung und drei durchgehende,immer weiter entwickelte Beispiele aus der Mechanik,der
vii
Elektrizitätslehre und der Ökonomie (zusätzlich gibt es ein durchgängigesBeispiel, das
historischeFragestellungenbehandelt).
Die gerade angesprochene „Zergliederung“ soll andeuten, dass trotz des hohen Um-
fangsdesTexteseineAusgliederungeinerinzweiSemesternlehrbarenTeilmengeleicht
möglichseinsollte,widersprichtaberdochingewisserWeise derIntentionderAutoren.
Wirversteheneinen(mathematischen)TextimlateinischenWortsinnalseindichtzusam-
mengefügtesGewebe,daserstdurchseine„Verwebung“seineTragweiteeröffnet.Ande-
rerseitsistunsdieNotwendigkeiteinerAuswahlbewusst,auchdieGefahr,dasssichgera-
deeinStudienanfängerineinemsolchumfangreichenText„verlieren“kann.Daherhaben
wir versuchtdurch eine Reihe von Satzhilfsmitteln Hilfestellung zu leisten (s. Hinweise
zumGebrauchdesBuchs).Einemehrfacherprobte,weitgehendvollständigeBehandlung
desTextesineinemerstenStudienjahristetwadadurchmöglich,dassindenVorlesungen
die„Anwendungsteile“ausgeklammertwerden,diesedannallerdingsdenGegenstandei-
nes begleitenden Proseminars bilden. Andererseits können auch diese Teile Inhalt einer
aufeineGrundvorlesungaufbauende„AngewandtenLinearenAlgebra“sein.
Wir sehen es nicht als die Aufgabe eines Lehrbuchs an, die existierende Lehrbuchli-
teratur zu referieren oder gar zu bewerten. Gewiss haben wir in viele der existierenden
Lehrbücher geschaut und sind in vielen Aspekten beeinflusst worden. Der erstgenannte
AutormöchteseineWertschätzungspeziellfürStrang2003,HuppertundWillems
2006, und Lax 2007 nicht verleugnen. Dort, wo wir uns eng an eine Vorlage gehalten
haben,istdiesvermerkt.Sollteeseinmalversäumtwordensein,dadieLektüreüberdie
Jahre„vergessen“wurde,bittenwir dieszuentschuldigen.Selbstverständlichstehenwir
aufdenSchulternunsererVorgänger,auchdervielennichtzitiertenLehrbücher.
Das Buch ist hervorgegangen aus einer Vielzahl von Vorlesungen, die insbesondere
der zweitgenannteAutor an der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürnbergseit
1990sehrregelmäßigdurchgeführthat.HinzukamenwiederkehrendentsprechendeLehr-
veranstaltungenfür Studierendein der nicht-vertieftenLehramtsausbildung.So entstand
auch ein Großteil der Aufgabensammlung. Auf diesen „Urtext“ aufbauend, der an sich
schondasErgebniseinesjahrelangenWeiterentwicklungsprozesseswar,hatdanndererst-
genannteAutorineinerganzenReihevonErweiterungs-undUmarbeitungsschritten,die
aberdenKerntextinhaltlichunberührtgelassenhaben,denvorliegendenTextentwickelt.
Allein dieser Prozess hat sich mit Unterbrechung über die letzten fünf Jahre hinge-
zogenundwäreohnedieumfangreicheUnterstützungdurcheineVielzahlvonPersonen
nicht möglich gewesen, denen an dieser Stelle herzlich gedankt sei. Der vielschichtige
Umarbeitungsprozessdes TeX-Textes wurde von den Sekretärinnen des Lehrstuhls An-
gewandte Mathematiküber die Jahre durchgeführt,wobeihier nebenFrau Astrid Bigott
und Frau Silke Berghof insbesondere Frau Cornelia Kloß hervorgehoben sei. Ohne ih-
re immerwährendeGenauigkeit,Schnelligkeitunddie RuhebewahrendeÜbersichtwäre
die Erstellung dieses Textes nicht möglich gewesen. Bei fortschreitend komplexer wer-
dendemUmarbeitungsprozesswaresauchnotwendigweitereHilfspersoneneinzubinden.
DerenAnleitungundKoordinierungwurdenvonHerrnDipl.-Math.FlorianFrankdurch-
geführt,einerweiterentragendenSäuledesUnternehmensunterstütztdurchHerrnDipl.-
Math.FabianKlingbeil.AlsstudentischeHilfskräftewarenu.a.beteiligt:LudwigDietel,
Jasmin Gressmann, Fabian Langer, Benjamin Steber und Alexander Vibe. Wesentliche
inhaltliche Hilfestellung kam durch die Assistenten der jeweiligen Lehrveranstaltungen:
viii
Dipl.-Technomath.FabianBrunner,Dr.VolkerGrimm,Dr.JoachimHoffmann,Dr.Tycho
vanNoordenundDr.AlexanderPrechtel.SchließlichwurdenwichtigeKorrekturarbeiten
durchgeführtin großem Umfang von Dipl.-Math. Matthias Herz, aber auch von Dr. Va-
dymAizinger,Dr.SergeKräutle,Dipl.-Biomath.TorstenMüller,Dr.MariaNeuss-Radu,
Dipl.-Math.NadjaRay,Dr.RaphaelSchulzundDr.NicolaeSuciu.
ZwischenstadiendesTexteswurdenvondenProfessorenGünterLeugering,Alexander
MartinundKarl-HermannNeebbenutztundhilfreichkommentiert.
Erlangen,imJuli2012
PeterKnabner,WolfP.Barth
ix
Hinweisezur Benutzung des Buchs
GeradeeinsoumfangreicherTextkanneinemStudienanfängerSchwierigkeitenbereiten,
wenn er sich aus zeitlichen Gründen nicht in der Lage sieht, den Text vollständig sei-
nemAufbaugemäßdurchzuarbeiten,wasdieoptimaleSituationwäre.Dahersindeinige
satztechnischeStrukturierungshilfsmitteleingebautworden,dieeszumeinenerleichtern
sollen denKerntextzuerkennenundzum anderendie Teile zu identifizieren,die fürdie
spezifischeStudienrichtungvonhervorgehobenerBedeutungsind.
DerKerntextLineareAlgebraist,wiebeijedemMathematiklehrbuch,derdurch„De-
finition“ und „Satz/Beweis“ formalisierte Teil des Textes. Auch hier gibt es eine, auch
durchunterschiedlicheUmrahmungenersichtlicheStrukturierung,durch(inaufsteigender
Wichtigkeit)„Lemma“oder„Korollar“,„Satz“,„Theorem“undschließlich„Hauptsatz“.
DiesehöchsteStufewirdauchindenumfangreichenIndexaufgenommen.
Jeder Abschnitt (bis auf die Abschnitte aus Kapitel 8) wird von einer Zusammenfas-
sungabgeschlossen,dienocheinmalaufdiewesentlichenBegriffe,Zusammenhängeund
Beispielehinweist.
VieleüberdenKerntexthinausgehendeÜberlegungenfindensich inden„Bemerkun-
gen“.DabeihandeltessichentwederumErläuterungenoderaberumErweiterungenund
Ausblicke.FürderenBeweis,oderauchindenlaufendenTexteingeschobeneBeweisüber-
legungen, wird Kleindruck verwendet. Dies heißt nicht, dass der Kerntext nicht auf die
Bemerkungenzurückgreift,bedeutet aber, dass ihre Erarbeitungauch auf den „Bedarfs-
fall“eingeschränktwerdenkann.AuchaufderEbenederBemerkungenoderimFließtext
werden manche Begriffe (ohne die Definitionsumgebung)definiert. Dies ist dann durch
Kursivdruck des Begriffs zu erkennen. Auch auf Aussagen die dort entwickelt werden,
kann (immer wieder) zurückgegriffen werden. Solche Situationen werden durch kleine
Umrahmungenleichterauffindbargemacht.
Textteile,dieeherisoliertstehenunddaherohneNachteilfürdasweitereVerständnis
übergangenwerden können, sind mit * gekennzeichnet.Aussagen, die aufgrund des in-
duktivenAufbausdirekteWeiterentwicklungen(vonRnachCodervonCnachR)sind,
tragen die gleiche Nummer mit einer hochgestellten I. Eine Sonderstellung hat Haupt-
satz1.85,derständigerweitertwird(zusätzlicheVersionenIbisIV).
DieverschiedenenTextteilesinddurchunterschiedlicheSchlusszeichengekennzeich-
net:Beweisedurch(cid:2),Bemerkungendurch(cid:3),Beispieledurch◦.
Der Text enthält drei durchgängige Beispiele („Beispiel 2(1)“ etc.), die sich an ver-
schiedene Anwendungsinteressenrichten und darüber hinaus eine Vielzahl von Geome-
trieanwendungen(„Beispiel (Geometrie)“) bzw. Abschnitte, die sich schwerpunktmäßig
auf geometrische Inhalte konzentrieren. Je nach Interessenlage können diese Beispiele
betontoderübergangenwerden,dastheoretischeVerständniswirddaduchnichtberührt.
Einige der „Stories“, die das Buch erzählen möchte, erschließen sich aber gerade über
dieseBeispiele.
DieAnhängestellenverschiedeneHilfsmittelbereit,diezumTeilzurmathematischen
Propädeutik gehören, wie Anhang A über Logisches Schließen und Mengenlehre oder
AnhangB.1überdasZahlensystem,oderdiedenUmgangmitdenNotationenerleichtern
sollen (AnhangB.2). Hilfsmittel über Polynome(AnhangB.3) oder eine Zusammenfas-
x
sungderAnalysis(AnhangC), wiesie zumEndeeineserstenStudiensemestersbekannt
seinsollte,werdenebenfallsangeboten.
Die Aufgaben sind in die (offensichtlichen) Kategorien (K(alkül)), (T(heorie)) und
(G(eometrie))unterteilt.
WeitereaktuelleInformationenfindensichaufhttp://www.math.fau.de/knabner/LA.
Voraussichtlichzu Beginn2013erscheintein Aufgabenband,der fürdie meisten hier
abgedrucktenAufgabenMusterlösungenenthältunddarüberhinauseineVielzahlweiterer
Aufgaben. Insbesondere liefert er einen Leitfaden durch den hiesigen Text anhand von
Aufgaben.
Inhaltsverzeichnis
1 DerZahlenraumRnundderBegriffdesreellenVektorraums ........... 1
1.1 LineareGleichungssysteme ....................................... 1
1.1.1 BeispieleundSpezialfälle .................................. 1
1.1.2 DieEliminationsverfahrenvonGaussundGauss-Jordan .... 15
Aufgaben................................................ 28
1.2 VektorrechnungimRnundderBegriffdesR-Vektorraums............. 30
1.2.1 VektorenimRn,HyperebenenundGleichungen ............... 30
1.2.2 Tupel-VektorräumeundderallgemeineR-Vektorraum.......... 44
Aufgaben................................................ 52
1.3 LineareUnterräumeunddasMatrix-Vektor-Produkt .................. 53
1.3.1 ErzeugendensystemundlineareHülle........................ 53
1.3.2 DasMatrix-Vektor-Produkt................................. 60
Aufgaben................................................ 72
1.4 Lineare(Un-)AbhängigkeitundDimension.......................... 73
1.4.1 Lineare(Un-)AbhängigkeitundDimension ................... 73
1.4.2 Lineare Gleichungssysteme und ihre Unterräume I:
Dimensionsformeln ....................................... 86
Aufgaben................................................ 95
1.5 DaseuklidischeSkalarproduktimRnundVektorräumemitSkalarprodukt 97
1.5.1 Skalarprodukt,NormundWinkel............................ 97
1.5.2 OrthogonalitätundorthogonaleProjektion .................... 104
Aufgaben................................................ 123
1.6 MathematischeModellierung:DiskretelineareProblemeundihreHerkunft125
Aufgaben................................................ 131
1.7 AffineRäumeI ................................................. 133
Aufgaben................................................ 143
2 MatrizenundlineareAbbildungen.................................... 145
2.1 LineareAbbildungen ............................................ 145
2.1.1 AllgemeinelineareAbbildungen ............................ 145
2.1.2 BewegungenundorthogonaleTransformationen ............... 154
xi