Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger

406 Pages·2008·113.556 MB·German

by  Gerd Fischer (auth.)

Gerd Fischer
Lineare Algebra
Grundkurs Mathematik
Berater:
Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann
und Gisbert Wüstholz
Lineare Algebra
von Gerd Fischer
Übungsbuch zur Linearen Algebra
von Hannes Stoppel und Birgit Griese
Analytische Geometrie
von Gerd Fischer
Analysis 1
von Otto Forster
Übungsbuch zur Analysis 1
von Otto Forster und Rüdiger Wessoly
Analysis 2
von Otto Forster
Übungsbuch zur Analysis 2
von Otto Forster und Thomas Szymczak
Numerische Mathematik für Anfänger
von Gerhard Opfer
Numerische Mathematik
von Matthias Bollhöfer und Volker Mehrmann
www.viewegteubner.de
Gerd Fischer
Lineare Algebra
Eine Einführung für Studienanfänger
16., überabeitete und erweiterte Auflage
STUDIUM
BBiibblliiooggrraaffiisscchhee IInnffoorrmmaattiioonn ddeerr DDeeuuttsscchheenn NNaattiioonnaallbbiibblliiootthheekk
DDiiee DDeeuuttsscchhee NNaattiioonnaallbbiibblliiootthheekk vveerrzzeeiicchhnneett ddiieessee PPuubblliikkaattiioonn iinn ddeerr
DDeeuuttsscchheenn NNaattiioonnaallbbiibblliiooggrraaffiiee;; ddeettaaiilllliieerrttee bbiibblliiooggrraaffiisscchhee DDaatteenn ssiinndd iimm IInntteerrnneett üübbeerr
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Prof. Dr. Gerd Fischer
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Boltzmannstr. 3
85748 Garching
[email protected]
Der bisherige Titel der Reihe „Grundkurs Mathematik“ lautete „vieweg studium – Grundkurs
Mathematik“.
1.Auflage 1975 9.Auflage 1986
2.Auflage 1975 10.Auflage 1995
3.Auflage 1976 11.Auflage 1997
4.Auflage 1978 12.Auflage 2000
5.Auflage 1979 13.Auflage 2002
6.Auflage 1980 14.Auflage 2003
7.Auflage 1981 15.Auflage 2005
8.Auflage 1984 16.Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
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Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská Tiskárna, a.s., Tschechien
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0428-0
Wemustnot acceprtheoldb/asphemousnonsense
thattheultimatejustificationof mathematicaiscience
isthe .gloryvfthehumanmind",
Abstractionandgeneralization
arenotmorevitalformattiematics
than individualityofphenomena
and, beforeall,
notmurethaninductiveintuition.
Onlytheinterptayoftheseforcesandtheir svnthesis
cankeepmathemattesalive
andpreventitsdrying outintoadeadskeleton.
RICHARDCOURANT
Vorwort zur 10.Auflage
DieersteimJahr 1975veröffentlichteAuflagediesesBucheswarentstandenaus
meinerVorlesungimWintersemester1972/73anderUniversitätRegensburgund
einervonRichardSchimplangefertigtenAusarbeitung,diealsBand 1derReihe
,,DerRegensburgerTrichter"erschienenwar.Esfreutmich,daßdasBuchinden
vergangenen20JahrensovielAnklang gefundenhat.
ImJahr 1994/95hatte ichander UniversitätDüsseldorfwiedereinmalGele
genheit,eine Anfängervorlesung über "LineareAlgebra" zu halten.Dabeifand
ichindemaltenBuchzahlloseDinge,diemanwohlbessererklärenkann.Dazu
kam die Versuchung, die Möglichkeiten von LXfEX zu nutzen, was schließlich
dazugeführthat,daßichfastdasganzeBuchneuaufgeschriebenhabe.
GebliebenistdieÜberzeugung,daßamAnfangjederTheorieProblemestehen
müssen,unddaßdie entwickeltenMethoden danach zubewerten sind, wassie
zurLösungderProblemebeigetragenhaben.Diesdeutlichzumachen,istinder
linearen Algebra eine vordringliche Aufgabe, weil hier die axiomatische Me
thode sehr ausgeprägtist. Mit Hilfe eines wohlorganisiertenInstrumentariums
vonBegriffenkönnenBeweisekurzundklardurchgeführtwerden,Rechnungen
können weitgehend vermiedenwerden und erhalten- wosienotwendigsind
eineInterpretationvoneinemabstrakterenStandpunktaus.
Eshatlangegedauert, bissichdielineareAlgebra voneinem Hilfsmittelder
sogenannten"analytischenGeometrie" (das istdie Lehre vondenlinearen und
VI
quadratischen geometrischen Gebilden) zu einer selbständigen Disziplin ent
wickelt hat. DiegrößtenVeränderungen gabes zuAnfangdiesesJahrhunderts,
alsdieaxiomatischeMethodedurchden EinflußvonD. HILBERT undspeziellin
der Algebra durch EMMY NOETHERausgebaut wurde.Daszeigtganz deutlich
einBlick inLehrbücherausdieserZeit,etwadie ,,klassische" Darstellung von
KOWALEWSKI[Kow 2]*ausdem Jahr 1910unddie 1931 erschienene .moder
ne" Version vonSCHREIER-SPERNER[5-5].DieserWandelistvergleichbarmit
dem ÜbergangvomJugendstilzum Bauhaus.InzwischenistdielineareAlgebra
durchdrungen von einer Ökonomie der Gedanken sowie einer Ästhetik in der
Darstellung, und sie ist unentbehrlichesHilfsmittel in vielenanderenGebieten
geworden,etwaderAnalysisundderangewandtenMathematik.
Dieser eindrucksvolle Fortschritt ist nicht frei vonGefahren.Die Axiomatik
beginntmitdenallgemeinsten SituationenundschreitetfortinRichtungzuspe
ziellerenSachverhalten.Dieser Weg wurdemit letzter KonsequenzindenWer
kenvonN.BOURBAKI [Bo], [Clbeschritten.ErläuftderhistorischenEntwick
lung- die einem ,,natürlichen Wachstum" der Mathematikentspricht- jedoch
meist entgegen. So wurden etwa Determinanten schonvon LEIBNIZ um 1690
benutzt,CAYLEY begann 1850Matrizen alseigenständige Objekte anzusehen,
der allgemeine Begriff des Körpers ist erstmals in dem 1895 bei Vieweg er
schienenen,,LehrbuchderAlgebra" von H. WEBER [We] zu finden.Abstrakte
BegriffeundihreAxiomeentstehenausderEntdeckung vonGemeinsamkeiten,
siesetzenlangeErfahrungimnaivenUmgangundkreativeAuseinandersetzung
mit den Gegenständen der Mathematik voraus. Eine Darstellung,die mit den
Axiomenbeginnt,könntedenverhängnisvollenEindruckerwecken,alsseiendie
aufgestelltenRegelnzufälligoderwillkürlich.EinersolchenGefahrentgegenzu
wirken,istdassteteBestreben diesesBuches.Die neueAuflage sollhelfen,die
abstraktenBegriffenoch mehr zumotivierenund dieBeziehungender linearen
Algebra zuihrenAnwendungendeutlicherzumachen.
Vieletheoretische Überlegungender linearen Algebradienen der Rechtferti
gungoderder EntwicklungvonRechenverfahren.mitderen Hilfe manschließ
lieh gegebene Probleme durch eine Iteration lösen kann. Dieswird hier invie
lenFällen biszurBerechnungkonkreterBeispielevorgeführt.InderPraxisläßt
man besser einenComputerrechnen, aber die Schwelle zur Beschreibung von
Programmen dafür wurde indiesem Buch mit Vorsatz nicht überschritten.Für
einen Anfänger erscheint es mir viel wichtiger, zunächst einmal ohne Ablen
kung durch Probleme der Programmierung die Struktur des Lösungsweges zu
verstehenund miteinfachsten,im Kopfberechenbaren Beispielendieunmittel-
"EckigeKlammembeziehensichaufdasLiteraturverzeichnis
VII
bareguteErfahrungzumachen.daß einAlgorithmusfunktioniert.Danachkann
mangetrostdieAusführungderRechnungeneinemfertigenProgrammpaketwie
MapleoderMathematicaüberlassen.EtwaimRahmender numerischenMathe
matikhatmanGelegenheit.dieRechenverfahrengenauerzustudierenunddazu
weitere Hilfsmittelderlinearen Algebrakennenzulernen(vgl.etwa[Srr]).
DiesesBuchistentstandenaus VorlesungenfUTStudienanfängerinden Fäch
ernMathematik,PhysikundInformatik:anVorkenntnissenistnurdassogenann
te.Schulwissen"(etwaimUmfang von[Sch])nötig.Esenthältinsgesamtgenü
gendvielMaterialfürzweiSemester,dabeigibteszahlreicheMöglichkeitenfür
Auswahl und Reihenfolge. Der Text ist meist nach den Regeln der Logik an
geordnet. ineinerVorlesung kannes gute Grunde geben. davon abzuweichen.
*
EinigeAbschnittesinddurcheinenStern markiert,alsAnregung.siebeimers
ten Durchgang zu überspringen und später (etwa im zweiten Semester)darauf
zurückzukommen.Die Anwendungen der linearen Algebraaufaffine und pro
jektiveGeometriesowiedielineareOptimierungsindineinemeigenenBand[Fi}
enthalten,auchdamitkannmandenvorliegendenText nachBeliebenmischen.
Um Mathematik zu verstehen,genügt es nicht,ein Buch zu lesen odereine
Vorlesung zuhören.manmußselbstanProblemenarbeiten.AlsAnregungdazu
dienendie zahlreichen Aufgaben. Die dort eingestreuten Sterne sind nicht als
Warnung.sondernalsbesondererAnsporn zuverstehen.
Derdurch dieseNeuauflage abgelösteText wardurch zahllose Hinweise von
Lesern fastrestlosvon Druckfehlern befreit worden.Nungibtessicher wieder
reichlichNachschub,ichmöchteauchdieneuenLeserermuntern,mir.Ansichts
karten" zuschreiben.
Mein Dank giltalldenen,diebei der Neubearbeitungbeteiligtwaren:Iners
ter Linie Hannes Stoppel, durch dessen Begeisterung, Bücher zu L~-en. ich
indiesesProjekt geschlittertbin,MartinGräf,dermitvielSorgfaltdie Übungs
aufgaben zusammengestellthat,CarstenTöller,demeinfallsreichenMeisterder
Bilderunddem VerlagfürseinestetigeUnterstützung.
Düsseldorf,imSeptember1995 Gerd Fischer
VIII
Vorwort zur 16. Auflage
Seitder10.Auflagehatesnurwenigegr¨oßereA¨nderungengegeben.Siebetreffen
Erg¨anzungenzuQuotientenr¨aumen,Tensorproduktenund¨außerenProdukten.Die-
se grundlegenden abstrakten Begriffe bereiten erfahrungsgem¨aß Studienanf¨angern
einigeSchwierigkeiten;mansollteihnenjedochnichtzulangeausweichen,dennsie
treten sp¨ater als unentbehrliches Hilfsmittel an vielen Stellen wieder auf. Zudem
sindsieimhierbehandeltenFallvonVektorr¨aumenmitHilfevonBasennochrecht
konkretzubeschreiben.
Birgit Griese und Hannes Stoppel haben die Aufgaben teilweise u¨berarbeitet
undeineigenesBuchmitL¨osungenver¨offentlicht.DassolltedieLesernichtdavon
abhalten,zun¨achstselbstdaranzuarbeiten.
NeuindieserAuflageisteineEinfu¨hrungzumThemaWarumLineareAlgebra?
Sieistdieu¨berarbeiteteFassungeinereinfu¨hrendenVorlesungs-Doppelstunde,die
Gu¨nterM.ZieglerimApril2006anderTUBerlingehaltenhat.Zumgenaueren
Verst¨andnisderdarinausgefu¨hrtenBeispielesindKenntnisseu¨berdieeinfachsten
Begriffe und Techniken der Linearen Algebra nu¨tzlich. Wer damit noch gar nicht
vertrautist,kannEinzelheitenimLaufeseinesStudiumsderLinearenAlgebranach-
lesen.
ZuvielenThemenderLinearenAlgebrafindetmaninteraktiveVisualisierungen
unter
www.mathe-vital.de
DiesewurdenvonJu¨rgenRichter-GebertanderTUMu¨nchenimRahmendes
Projektesmathe-vital mitdemProgrammCinderella erstellt
MeinDankgiltdenzahlreichenLesern,diemichaufUnklarheitenundFehler
hingewiesenhaben,ganzbesondersKollegenundStudierendenausBerlin,Mu¨nchen
undRegensburg.Ichhabeversucht,dien¨otigenVerbesserungeneinzuarbeiten.Es
wirdnunschwersein,nochetwaszufinden;werdennochErfolggehabthat,wird
gebeten,mirdasmitzuteilen.
Mu¨nchen,imJuni2008 GerdFischer
IX
Warum Lineare Algebra?
(vonGerdFischerundGu¨nterM.Ziegler)
Was ist Lineare Algebra?
DieLineareAlgebrageh¨ortnebenderreellenAnalysiszumCurriculumfu¨rStudie-
rendederMathematikundandererF¨acher,diemathematischeMethodenintensiv
benutzen.Dasliegtdaran,dasssiezudenGrundpfeilernderMathematikz¨ahlt,auf
denenallesandereaufbaut.Zudendaru¨berliegendenGeb¨audeteilenderMathema-
tik geh¨oren beispielsweise Algebra, Differentialgleichungen, Numerik, Differential-
geometrie,Funktionalanalysisusw.DieBeziehungenundVerwindungenzwischenall
diesenGebietensindvielf¨altigundschwerschematischzuskizzieren.AberKonsens
besteht,dassLineareAlgebrazurunverzichtbarenBasisgeh¨ort.Sieistentstanden
aus der Aufgabe, lineare Gleichungssysteme zu l¨osen und solche Aufgaben treten
inallenGebietenderMathematikundihrenAnwendungenimmerwiederauf.Wie
schoninderEinleitungerw¨ahntwurde,hateslangegedauert,bisdieLineareAl-
gebraalseigenst¨andigesGebietindieLehrpl¨aneaufgenommenwurde.LangeZeit
wurdesievorwiegendalstechnischesHilfsmittelderGeometrieangesehen,zurBe-
schreibungvonlinearenGebildenwieGeradenundEbenen,sowieKegelschnitten.
Eine der ersten zusammenfassenden aber wenig beachteten Darstellungen war die
1844inLeipzigerschienene,,Ausdehnungslehre”vonH. Grassmann.Erstinder
G¨ottingerSchulewurdendieabstraktenHintergru¨ndekonsequentherausgearbeitet,
undVektorr¨aumealsdiewesentlichenObjektederUntersuchungeingefu¨hrt.Neben
demBuchvonSchreierundSperner[S-S]isthierzuauchdie1931erstmalser-
schienene,,ModerneAlgebra”vonB. L. Van Der Waerdenhervorzuheben.Bis
in die 50er Jahre des vorigen Jahrhunderts hatten die entsprechenden Anf¨anger-
vorlesungenmeistnochdenTitel,,AnalytischeGeometrie”,erstdanachwurdedie
Geometriealseinevonmehrerenm¨oglichenAnwendungenindenHintergrundge-
dr¨angt. Sorgf¨altige historische Hinweise zu dieser langen Entwicklung findet man
beiBrieskorn[B].
Seither wird in der Ausbildung in Linearer Algebra neben der Besch¨aftigung mit
linearen Gleichungssystemen auch der Umgang mit abstrakten mathematischen
Strukturen,wieGruppen,Ringen,K¨orpern,Vektorr¨aumenusw.geu¨bt.Dabeimuss
manzun¨achstdiemathematischeSprachelernen,d.h.pr¨aziseFormulierungenfin-
den, mit denen Strukturen definiert sind, sowie korrekte Behauptungen daru¨ber
aufstellen,undstichhaltigeBegru¨ndungendafu¨rerarbeiten.DieAnschauungkann
dabeihelfen,Beweisezufinden;aberdannbeginntdieKnochenarbeit,siepr¨azise
aufzuschreiben.Dasisterfahrungsgem¨aßdiegr¨oßteHu¨rdefu¨rStudienanf¨anger.
X
Anwendungen der Linearen Algebra
MansolltesichnichtderIllusionhingeben,dasseineinzelnesmathematischesTeil-
gebiet,wiedieLineareAlgebra,dieHilfsmittelzurL¨osunggroßerpraktischerPro-
blemeliefernk¨onnte.WennMathematikindiePraxisgeht,danngehendaimmer
verschiedene mathematische Teilgebiete gemeinsam. Aber trotzdem: Es gibt sehr
markanteBeispielefu¨rAnwendungenderLinearenAlgebra-einpaarwollenwirim
Folgendenbeschreiben.
1StatikvonGeru¨sten. DasProblem,BauwerkeundandereKonstruktionen
auszufu¨hren,diestabilsind,istaltundbeiweitemnichttrivial.Betrachtenwiretwa
einGeru¨st,d.h.einGebilde,dasausStrebenundKnotenbesteht(inderBaustatik
spricht man von einem Fachwerk). Soll es stabil gebaut werden, so muss man
wissen,welcheKr¨afteaufdieBauteilewirken.GrundlegendeUntersuchungendazu
hatu.a.J. C. Maxwell(1831-1879)geleistet,denmanvorallemwegenseiner
Beitr¨agezurElektrodynamikkennt;dannaberauchC. Culmann,vondem1866
dasBuch,,DieGraphischeStatik”erschien.DieMethodebenutztLineareAlgebra,
seinSchu¨lerM.KoechlinhatalsIngenieurdieStatikdesEiffel-Turmsgerechnet,
derseitderWeltausstellung1889nochheutesteht.
WirwollendieMethodeinihrergraphischenundihrerrechnerischenFormaneinem
ganzeinfachen,aberdochcharakteristischenBeispielillustrieren.
Zur Vereinfachung betrachten wir ein ebenes Problem, n¨amlich die Aufh¨an-
gungeinesGewichtes(etwaeinerLampe)aneinerMauermitHilfeeinesGest¨anges
inFormeinesrechtwinkligenDreiecks.DieStangenundihreBefestigungenmu¨ssen
so ausgelegt sein, dass sie den entstehenden Zug- und Druckkr¨aften standhalten.
Zun¨achstwirktimPunkt(cid:2)1 eineKraftK senkrechtnachunten,siesollgroßsein
imVergleichzumGewichtderStangen.
Kr¨afteaddierensichwieVektoren,imPunkt(cid:2)1 istK=K1SummevonK2undK3;
K2verursachteinenZuginRichtung(cid:2)2,K3einenDruckinRichtung(cid:2)3.Graphisch
kannmanK2 undK3 durcheineParallelogrammkonstruktionermitteln.