Lineare Algebra: Analytische und numerische Behandlungen

390 Pages·1987·8.638 MB·German

by  Horst Niemeyer, Edgar Wermuth (auth.)

Horst Niemeyer
Edgar Wermuth
Lineare Algebra
Rechnerorientierte Ingenieurmathematik
Herausgegeben von Gisela Engeln-Mullges
Grundlagen bande
Funktionen einer Veranderlichen
von Klaus Niederdrenk, Harry Yserentant
Lineare Algebra
von Horst Niemeyer, Edgar Wermuth
Gewohnliche Differentialgleichungen
von Wolfram Luther, Klaus Niederdrenk, Fritz Reutter, Harry Yserentant
In Vorbereitung sind Bande mit den Themen:
"Funktionen mehrerer Veranderlichen" und "Geometrie"
Aufbaubande und Sondergebiete
Methoden und Modelle des Operations Research
von Hans-J urgen Zimmermann
In Vorbereitung sind Bande mit den Themen:
"Funktionentheorie", "Statistik" und "Partielle Differentialgleichungen"
Erganzend zur Reihe sind erschienen:
Die endliche Fourier-und Walsh-Transformation mit einer Einflihrung
in die Bildverarbeitung
von Klaus Niederdrenk
Computer-Losung gewohnlicher Differentiaigieichungen
von Lawrence F. Shampine, Marilyn K. Gordon
Numerische Losung partieller Differentiaigieichungen
mit der Finite-Elemente-Methode
von Wieland Richter
Horst Niemeyer
Edgar Wermuth
Lineare Algebra
Analytische und numerische Behandlung
Friedr.Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
1987
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1987
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt.
Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist
ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere
fUr VervielfaJtigungen, Dbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein
speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ludwig Markgraf, Wiesbaden
Satz: Vieweg, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-04163-2 e-ISBN-13: 978-3-322-83034-0
DOl: 10.1007/978-3-322-83034-0
v
Vorwort der Herausgeberin
Die Reihe soll ein moglichst vollstandiges Angebot an Lehr- und Arbeitsbtichern
bereitstellen, die das flir den Ingenieur in Hochschule und Wirtschaft erforderliche
mathematische Grundwissen darstellen und durch Zusatzbande zu Sondergebieten
und kommentierte Literaturhinweise komplettieren. Anders als in der traditionellen
Literatur verkntipft diese Reihe die Methoden der Analysis unmittelbar mit denen
der Numerik mit dem Ziel, die Mathematik handfester, anwendungsorientierter und
vor allem rechnerorientiert zu prasentieren.
Da es Bereiche der Ingenieurtatigkeit ohne Einsatz des Computers kaum noch gibt,
mtiBte dieser Tatsache auch in der mathematischen Ausbildung des Ingenieurs ent
sprechend Rechnung getragen werden. Dies wird in dieser Reihe versucht, indem
computergerechten numerischen Methoden, die eine Brticke zwischen der hoheren
Mathematik und dem Rechner darstellen, ein ebenso breiter Raum eingeraumt wird
wie dem klassischen Stoff.
Die Einzelbande der Reihe sind inhaltlich, im didaktischen Aufbau, in der Termino
logie und in der auBeren Gestaltung aufeinander abgestimmt, urn das Arbeiten mit
der Reihe zu erleichtern. Den Text begleiten zahlreiche durchgerechnete Beispiele.
Die numerischen Gesichtspunkte werden an einigen groBeren technischen Aufgaben
verdeutlicht. Es werden abprogrammierbare Algorithmen angegeben und Entschei
dungshilfen flir die Auswahl der geeigneten Methode. Am Ende der einzelnen Kapitel
werden noch strategisch wichtige Aufgaben zusammengestellt, deren Losungen am
Ende des jeweiligen Bandes angegeben werden. Dieses Konzept laBt die Bande auch
besonders zum Selbststudium geeignet erscheinen. Da durch den einheitlichen Aufbau
der Reihe die Orientierung tiber einen gr6Beren Teil der Mathematik flir Ingenieure
erleichtert wird, ist auch ein (erst in zweiter Linie beabsichtigter) Einsatz der Bande
als Nachschlagewerk m6glich.
Aachen, 1987 G. Engeln-Miillges
VI
Vorwort der Autoren
Der Band "Lineare Algebra" der Reihe "Rechnerorientierte Ingenieurmathematik"
behandelt die grundlegenden Teile der Theorie sowie die wichtigsten numerischen
Verfahren der linearen Algebra in einheitlichem Zusammenhang. Probleme und
Aufgaben, die mit Methoden der linearen Algebra behandelt werden, treten in fast
allen Gebieten der Mathematik und ihrer Anwendungen auf. So filhrt zum Beispiel
die Berechnung elektrischer Netzwerke, die Methode der finiten Elemente in der
Elastizitatstheorie oder allgemeiner bei partiellen Differentialgleichungen auf die
Lasung linearer Gleichungssysteme. Der heute immer breitere Einsatz von Rechnern
zur Lasung linear-algebraisch formulierbarer oder approximierbarer Probleme la~t es
sinnvoll erscheinen, in einer Darstellung filr den anwendungsorientierten Leser von
vornherein die numerischen Aspekte starker zu betonen, als es in den meisten
Lehrbtichern der linearen Algebra geschieht. Dies bedingt eine ausfilhrlichere Behand
lung normierter Vektorraume mit den zugeharigen Normen linearer Abbildungen
sowie der metrischen Eigenschaften des Eigenwertproblems.
Die im Buch dargestellten Verfahren werden nach Maglichkeit algorithmisch formu
liert; angesichts der vorhandenen gut dokumentierten Programmpakete zur linearen
Algebra und der Vielzahl gebrauchlicher Programmiersprachen wurde jedoch auf die
Wiedergabe spezieller Programme bewu~t verzichtet.
1m tibrigen werden die wichtigsten Begriffe und Satze der linearen Algebra erlautert,
wobei auf Beweise in der Regel nicht verzichtet wird, da ein Durcharbeiten der
Beweise das Verstandnis der abstrakten Begriffe sehr vertieft. Einige langere Beweise
kannen jedoch ohne Einbu~e an Verstandlichkeit zunachst tibergangen werden. Eine
gra~ere Zahl ausftihrlicher Beispiele erlautern die dargestellten Methoden und
Verfahren und machen exemplarisch mit Anwendungen vertraut. Die Aufgaben zu
jedem Kapitel bringen weitere Beispiele sowie stoffliche Erganzungen; ihre Lasungen
finden sich am Schlu~ des Bandes. Innerhalb eines Kapitels sind Definitionen, Satze
und Lemmata sowie Beispiele durchlaufend numeriert, sie werden z.B. mit "Satz
5 .31" zitiert.
Verweise auf das Literaturverzeichnis enthalten einen Anfangsbuchstaben, in der
Regel den Anfangsbuchstaben des erstgenannten Verfassers, und eine Numerierung
innerhalb desselben Buchstabens. Am Ende eines jeden Kapitels findet man Hinweise
auf weiterfilhrende und erganzende Literatur und gegebenenfalls Entscheidungs
hilfen filr die Auswahl numerischer Verfahren.
Das Buch wendet sich an Studenten der Ingenieur- und Naturwissenschaften, an in
Forschung und Entwicklung tatige Praktiker aus diesen Bereichen, an Informatiker
und anwendungsorientierte Mathematiker. Die Darstellung deckt insbesondere den
an Technischen Hochschulen und Universitaten tiblicherweise in den Kursvorlesungen
Vorwort der Autoren VII
"Hohere Mathematik" gebotenen Stoff im Bereich "Lineare Algebra" ab, geht aber
vertiefend darliber hinaus. Vorausgesetzt wird die Kenntnis der reellen und kom
p1exen Zah1en und eine Vertrautheit mit dem Begriff der Konvergenz, wie sie
etwa im Band "Funktionen einer Veranderlichen" dieser Reihe vermittelt wird.
Wir danken Herrn Dr. Heep fUr die sorgfaltige Durchsicht des Manuskripts und Frau
C. Wermuth sowie Alice und Barbara Niemeyer fUr die Anfertigung von Zeichnungen.
Nicht zu1etzt gilt unser Dank der Herausgeberin dieser Reihe, Frau Prof. Dr. Enge1n
Mlillges, und dem Verlag, insbesondere Frau Schmick1er-Hirzebruch, fUr ihr Entgegen
kommen in vie len Fragen und die Gedu1d, die sie bewiesen haben. Dem Verlag danken
wir auch fUr die gute technische Ausstattung des Bandes.
Aachen, im Frlihjahr 1987 Horst Niemeyer
Edgar Wermuth
VIII
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis ............................................ . .. XII
1 Die euklidischen Vektorraume lR? und JR.3 ......................... .
1.1 Der euklidische Vektorraum IR? ............................. .
1.2 Der euklidische Vektorraum 1R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. II
1.3.1 Hessesche N ormalform der Ebenengleichung. . . . . . . . . . . . . . .. II
1.3.2 Abstand windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
1.3.3 DrehungenimIR3 .................................... 13
1.4 Aufgaben zu Kapitel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
1.5 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel I. . . . . . . . . . .. 15
2 Vektorraume, lineare Abbildungen, Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
2.1 Vektorraume tiber IR oder <C • • • . • . • . . • • • • • . . . . • . . • • . • • • . . • • .• 16
2.2 Beispiele................................................ 18
2.3 Erste Foigerungen aus den Vektorraumaxiomen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
2.4 Lineare Abhangigkeit, Basis, Dimension, Steinitzscher Austauschsatz. .. 21
2.5 Koordinaten, Unterraume und !ineare Mannigfaltigkeiten. . . . . . . . . .. 25
2.6 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
2.6.1 @In (IR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
2.6.2 C21T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 30
2.6.3 Lineare Rekursionsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
2.7 Aufgaben zu Kapitel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
2.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 2. . . . . . . . . . .. 33
3 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
3.1 Lineare Abbildungen, Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
3.2 Das Matrizenprodukt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
3.2.1 Schemata und Beispiele zur Matrizenmultiplikation . . . . . . . . .. 40
3.2.2 Blockmatrizen.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3.3 Regeln flir das Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3.3.1 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
3.3.2 Funktionen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
3.4 Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . .. 46
3.5 Rang einer Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
3.6 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
3.6.1 Rangbestimmung..................................... 51
3.6.2 Lineare Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 52
3.6.3 Inverse Matrix einer (2,2)-Matrix ....................... , 53
3.6.4 Funktionen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
3.6.5 Anwendung der Matrizenrechnung in der Vierpoltheorie . . . . .. 54
Inhaltsverzeichnis IX
3.7 Aufgaben zu Kapitel3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
3.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu KapiteI 3. . . . . . . . . . .. 58
4 Lineare Gleichungssysteme, Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
4.1 Lasungen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
4.2 Bemerkungen und Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
4.3 Der Gau~sche Algorithmus, LR-Zerlegung von Matrizen. . . . . . . . . . .. 65
4.4 Das Verfahren von Gau~-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
4.5 Determinanten........................................... 70
4.6 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
4.6.1 LR-Zerlegung tridiagonaler Blockmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
4.6.2 Determinante von Tridiagonalmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
4.6.3 Kroneckerprodukt von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
4.7 Aufgaben zu Kapitel4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
4.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel4. . . . . . . . . . .. 90
5 Skalarprodukte, N ormen, Orthogonale, Transformationen . . . . . . . . . . . . .. 91
5.1 Skalarprodukte, Normen.... .. ..... . ...... .... .. .. ..... ..... 91
5.2 Normierte und metrische Raume, Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . .. 97
5.3 A.quivalenz von Normen, Normen linearer Abbildungen ............ 102
5.4 Orthogonalsysteme, Orthonormalbasen, orthogonale Unterraume .... 106
5.5 Adjungierte, orthogonale und unit are Transformationen ............ 1 I3
5.6 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
5.6.1 Beste Approximation ................................. 117
5.6.2 Iterationsverfahren zur Lasung linearer Gleichungssysteme. . . .. 118
5.6.3 Iterationsverfahren zur Berechnung der inversen Matrix. . . . . .. 119
5.6.4 Skalarprodukt und orthogonale Matrizen .................. 120
5.7 AufgabenzuKapiteI5 ...................................... 121
5.8 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 5. . . . . . . . . . .. 122
6 Numerische Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme. . . . . . . . . .. 123
6.1 Fehlerabschatzungen, Konditionszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
6.2 Bemerkungen zum Gau~schen Eliminationsverfahren .............. 132
6.2.1 Auswahl der Pivotelemente, Skalierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132
6.2.2 Rechen- und Speicherplatzbedarf ........................ 135
6.2.3 Bandmatrizen ....................................... 136
6.2.4 Schatzung der Konditionszahl. .......................... 138
6.2.5 Nachiteration ....................................... 140
6.3 Cholesky-Zerlegung........................................ 143
6.3.1 Das Verfahren ....................................... 143
6.3.2 Bemerkungen zum Cholesky-Verfahren .................... 145
6.4 QR-Zerlegung nach Householder. ............................. 145
6.4.1 Das Verfahren ....................................... 145
6.4.2 Beispiel und Bemerkungen ............................. 149
x Inhaltsverzeichnis
6.5 Iterationsverfahren zur Lasung von Gleichungssystemen. . . . . . . . . . .. 151
6.5.1 Allgemeines......................................... 151
6.5.2 Das Gesamtschrittverfahren (Jacobiverfahren) .............. 153
6.5.3 Das Einze1schrittverfahren (Gau£-Seide1-Verfahren) . . . . . . . . .. 158
6.5.4 Re1axationsverfahren...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161
6.5.5 B1ockiterationsverfahren............................... 164
6.6 Beispie1e und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 166
6.6.1 Beispiel (Randwertprob1em der Potentialtheorie) . . . . . . . . . . .. 166
6.6.2 Beispiel (Berechnung linearer Netzwerke) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 170
6.6.3 Beispiel (Methode der finiten Elemente) ................... 176
6.6.4 Aufgaben zu Kapite1 6 ................................ 180
6.7 Hinweise zur Auswah1 der Verfahren und auf weitere Literatur . . . . .. 181
7 Eigenwertprobleme und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183
7.1 Prob1emstellung ........................................... 183
7.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183
7.2.1 Grundbegriffe und einfilhrende Beispie1e ................... 186
7.2.2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren ........... 198
7.3 Spur, Minimalpo1ynom und Spektrum ......................... 210
7.3.1 Charakteristisches Polynom und Spur ..................... 210
7.3.2 Satz von Hamilton / Cayley und Minimalpolynom . . . . . . . . . . .. 215
7.3.3 Spektrum und Starungen .............................. 219
7.4 Spektralsatz und Hauptachsentransformation .................... 231
7.4.1 Der Spek tralsatz flir normale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231
7.4.2 Funktionen norma1er Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 240
7.4.3 Polarzerlegung und Quadratwurzel ....................... 244
7.4.4 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248
7.4.5 Verallgemeinerte Eigenwertprob1eme ..................... 258
7.5 Die lordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259
7.5.1 Herleitung der Normalform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260
7.5.2 Praktische Berechnung der lordanschen Normalform ......... 266
7.6 Einige Anwendungen der lordanschen Normalform ............... 280
7.6.1 Allgemeine Matrizenfunktionen ......................... 280
7.6.2 eA und log A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 285
7.7 Die schwingende Saite ...................................... 295
7.8 Aufgaben zu Kapitel 7 ..................................... 305
7.9 Entscheidungshilfen und Literaturhinweise zu Kapitel 7 ........... 308
8 Numerische Verfahren zur Losung von Eigenwertproblemen ............ 310
8.1 Fehlerabschatzungen und Einschlie£ungssatze ................... 312
8.2 Die Potenzmethode (Vektoriteration nach v. Mises) ............... 317
8.3 Die gebrochene Vektoriteration .............................. 324
8.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen in Hessenbergform ...... 327
8.4.1 Bisektionsverfahren................................... 327
8.4.2 Newtonverfahren ..................................... 329